Toepassingen van logaritmen

Gebruik logaritmen om echte problemen op te lossen: pH, decibel, de kracht van aardbevingen, verdubbelingstijd, halveringstijd en hoe lang geld nodig heeft om te groeien.

Gevorderd35 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Een contextopgave met logaritmen beschrijft een echte situatie waarin de onbekende een exponent is: een tijd, een kracht of een niveau. Je lost hem in drie stappen op: schrijf de formule op, maak de macht vrij en neem daarna van beide kanten een logaritme.
Twee soorten opgaven komen steeds terug:
1. Logaritmische schalen (de formule bevat al een logaritme):
  • pH van een oplossing: pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+], waarbij [H+][H^+] de waterstofionenconcentratie in mol/L is
  • Geluidsniveau in decibel: L=10log⁡(II0)L = 10 \log\left(\frac{I}{I_0}\right), waarbij I0I_0 de gehoordrempel is
  • Magnitude op de schaal van Richter: twee aardbevingen waarvan de magnitudes dd verschillen, hebben amplitudes in de verhouding 10d10^{d}
2. Groei en verval in de tijd (de onbekende tt staat in de exponent):
A=P(1+r)t⇒t=ln⁡(AP)ln⁡(1+r)A = P(1 + r)^t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\ln\left(\frac{A}{P}\right)}{\ln(1 + r)}
Bij continue groei geeft A=PertA = Pe^{rt} de tijd t=ln⁡(A/P)rt = \frac{\ln(A/P)}{r}, en bij een halveringstijd hh geeft de hoeveelheid N=N0(12)t/hN = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/h} de tijd t=h⋅ln⁡(N/N0)ln⁡(0,5)t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln(0{,}5)}.
Hier is log⁡\log de briggse logaritme (logaritme met grondtal 10) en ln⁡\ln de natuurlijke logaritme (grondtal ee). De meeste antwoorden zijn kommagetallen, dus bij elke opgave staat hoe je afrondt, en je rondt pas helemaal aan het eind af.

Probeer het meteen

Een aardbeving met magnitude 66 wordt vergeleken met een van magnitude 44 op de schaal van Richter. Hoeveel keer zo groot is de amplitude van de sterkste aardbeving?

Uitgewerkte voorbeelden

Een frisdrank heeft een waterstofionenconcentratie van [H+]=3,2×10−4[H^+] = 3{,}2 \times 10^{-4} mol/L. Bereken de pH, afgerond op twee decimalen.

1

Schrijf de formule op

pH=−log⁡[H+]=−log⁡(0,00032)\text{pH} = -\log[H^+] = -\log(0{,}00032) → pH=−log⁡(0,00032)\text{pH} = -\log(0{,}00032)

2

Bereken de briggse logaritme

log⁡(0,00032)≈−3,49485\log(0{,}00032) \approx -3{,}49485

3

Pas het minteken toe

pH=−(−3,49485)=3,49485\text{pH} = -(-3{,}49485) = 3{,}49485

4

Rond af op twee decimalen

De derde decimaal is 44, dus rond je naar beneden af → pH≈3,49\text{pH} \approx 3{,}49

Veelgemaakte fouten

Zeggen dat een aardbeving met magnitude 8 "2 keer" of "twee keer" zo sterk is als een met magnitude 6

Waarom het fout is: De schaal van Richter is logaritmisch: elke hele stap vermenigvuldigt de amplitude met 10. Verschillen in magnitude zijn exponenten, geen factoren.

Correct: Verhouding van de amplitudes =108−6=102=100= 10^{8 - 6} = 10^2 = 100 keer.

Het minteken in pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+] vergeten en een negatieve pH zoals −3,49-3{,}49 krijgen

Waarom het fout is: Concentraties zoals 0,000320{,}00032 zijn kleiner dan 1, dus hun logaritme is negatief. Het minteken in de formule maakt de pH positief.

Correct: pH=−log⁡(0,00032)=−(−3,49485)≈3,49\text{pH} = -\log(0{,}00032) = -(-3{,}49485) \approx 3{,}49

Het rentepercentage gebruiken in plaats van de groeifactor: t=ln⁡2ln⁡0,05t = \frac{\ln 2}{\ln 0{,}05}

Waarom het fout is: Het saldo wordt elk jaar vermenigvuldigd met 1+r=1,051 + r = 1{,}05, niet met 0,050{,}05. Bovendien is ln⁡0,05\ln 0{,}05 negatief, wat een negatieve tijd zou geven.

Correct: t=ln⁡2ln⁡(1,05)≈14,21t = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} \approx 14{,}21 jaar. Bij afname gebruik je 1−r1 - r, bijvoorbeeld 0,850{,}85 bij 15 %15\,\% verlies.

Te vroeg afronden, bijvoorbeeld ln⁡1,05≈0,05\ln 1{,}05 \approx 0{,}05 schrijven

Waarom het fout is: Kleine afrondingen in een quotiënt worden groter: 0,69310,05≈13,86\frac{0{,}6931}{0{,}05} \approx 13{,}86 in plaats van 14,2114{,}21, ongeveer 4 maanden ernaast.

Correct: Reken met de volledige nauwkeurigheid van de rekenmachine (of minstens 5 significante cijfers) en rond alleen het eindantwoord af, zoals de opgave vraagt.

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

05101520253001000200030004000JarenEuro(14,21; 2000)

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

  • Snijpunt: (14,21; 2000)
10³ = 1000
3

Zie hoe machten van een getal groeien op de getallenlijn. Verander het grondtal en de exponent.

10³ = 1000
3

Zie hoe machten van een getal groeien op de getallenlijn. Verander het grondtal en de exponent.

Renteberekening

Formule
Samengestelde rente:A = P(1 + r/n)^(nt)A = 1000 · (1 + 0,05)^15 = € 2.078,93

Samengestelde rente

Verdiende rente:€ 1.078,93
Totaalbedrag:€ 2.078,93

Groei over tijd

jarenBedrag

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

051015202530-10-50510xy

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven
Opgave 1 van 18
Makkelijk

Een aardbeving met magnitude 66 wordt vergeleken met een van magnitude 44 op de schaal van Richter. Hoeveel keer zo groot is de amplitude van de sterkste aardbeving?

Waarom het belangrijk is

Logaritmen maken van enorme getalbereiken kleine, leesbare getallen, en ze zijn het enige gereedschap waarmee je een onbekende uit een exponent haalt:
  • Scheikunde: citroensap (pH ongeveer 2) heeft 100 000100\,000 keer zoveel waterstofionen als zuiver water (pH 7).
  • Gezondheid: een concert van 110 dB is 10001000 keer zo intens als een straat van 80 dB, daarom is gehoorbescherming belangrijk.
  • Geologie: een aardbeving met magnitude 7 heeft een 100100 keer zo grote amplitude als een met magnitude 5.
  • Geld: banken, spaarders en adviseurs vragen zich af "na hoeveel jaar is mijn geld verdubbeld?" en beantwoorden dat met ln⁡\ln.
  • Geneeskunde: artsen gebruiken de halveringstijd om te bepalen wanneer een medicijn onder een werkzaam niveau is gezakt.
Elk van deze vragen gaat over een exponent, en een logaritme geeft het antwoord.

Toepassingen in de echte wereld

Zure regen

Milieuwetenschappers vergelijken de zuurgraad van regen met de pH. Omdat de pH een logaritme is, betekent een klein pH-verschil een groot verschil in waterstofionen.

Voorbeeld:

Gewone regen heeft een pH van ongeveer 5,65{,}6. Regen met pH 4,64{,}6 heeft 101=1010^{1} = 10 keer zoveel waterstofionen.

1Probeer het zelf

Gewone regen heeft een pH van 5,65{,}6. Een onweersbui brengt zure regen met een pH van 4,34{,}3.

Hoeveel keer zoveel waterstofionen bevat de zure regen? Rond af op een geheel getal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken 105,6−4,310^{5{,}6 - 4{,}3} en rond af op een geheel getal:

Gehoorbescherming bij concerten

Geluidstechnici en audiologen werken in decibel. Oordoppen worden beoordeeld op hoeveel ze de geluidsintensiteit verminderen.

Voorbeeld:

Als je de intensiteit door 1010 deelt, daalt het niveau 1010 dB, deel je door 100100, dan daalt het 2020 dB.

2Probeer het zelf

Een rockconcert haalt 110110 dB. Oordoppen verminderen de geluidsintensiteit die je oor bereikt tot 11000\frac{1}{1000} van de waarde.

Welk geluidsniveau in decibel bereikt je oor? (Het antwoord is een geheel getal, afronden is niet nodig.)

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf het nieuwe niveau als 10log⁡(10111000)10 \log\left(\frac{10^{11}}{1000}\right) en bereken het:

Een spaardoel plannen

Financieel adviseurs gebruiken logaritmen om te berekenen hoeveel jaar een belegging nodig heeft om een doel te halen.

Voorbeeld:

Bij 4 %4\,\% per jaar wordt het geld elk jaar met 1,041{,}04 vermenigvuldigd, dus het aantal jaren is t=ln⁡(doel/start)ln⁡1,04t = \frac{\ln(\text{doel}/\text{start})}{\ln 1{,}04}.

3Probeer het zelf

Je belegt 5000 € tegen 4 %4\,\% rente die één keer per jaar wordt bijgeschreven. Je doel is 8000 €.

Hoeveel hele jaren moet je wachten tot het saldo het doel voor het eerst bereikt?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Los 5000⋅1,04t=80005000 \cdot 1{,}04^t = 8000 op en rond daarna naar boven af op hele jaren:

Belangrijke punten

  • 1In een contextopgave met logaritmen is de onbekende een exponent: een tijd, een kracht of een niveau
  • 2pH: pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+]; terug: [H+]=10−pH[H^+] = 10^{-\text{pH}}
  • 3Decibel: L=10log⁡(II0)L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right); elke 1010 dB meer betekent 1010 keer zo veel intensiteit
  • 4Richter: magnitudes die dd verschillen, betekenen amplitudes in de verhouding 10d10^{d}
  • 5Tijd bij groei of verval: maak de macht vrij, neem van beide kanten ln⁡\ln, dan t=ln⁡(A/P)ln⁡(1±r)t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 \pm r)}; verdubbelingstijd ln⁡2ln⁡(1+r)\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}
  • 6Rond pas aan het eind af, precies zoals de opgave vraagt, en controleer of de situatie hele jaren nodig heeft

Veelgestelde vragen

Allebei werkt, zolang je boven en onder dezelfde gebruikt: log⁡2log⁡1,05=ln⁡2ln⁡1,05≈14,21\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21. De formules voor pH en decibel zijn gedefinieerd met de briggse logaritme log⁡\log (grondtal 10), dus daar gebruik je log⁡\log.
Allebei werkt, zolang je boven en onder dezelfde gebruikt: log⁡2log⁡1,05=ln⁡2ln⁡1,05≈14,21\frac{\log 2}{\log 1{,}05} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21. De formules voor pH en decibel zijn gedefinieerd met de briggse logaritme log⁡\log (grondtal 10), dus daar gebruik je log⁡\log.
De vergelijking behandelt de tijd als continu, maar een bank schrijft de rente maar één keer per jaar bij. Na 14 jaar zit het saldo nog onder het doel, dus heb je de 15e rentebetaling nodig. Vraag je altijd af of de situatie delen van een jaar toelaat.
Wiskundig wel: [H+]=2[H^+] = 2 mol/L geeft pH=−log⁡2≈−0,30\text{pH} = -\log 2 \approx -0{,}30. In de dagelijkse scheikunde liggen bijna alle oplossingen echter tussen 0 en 14.
De "regel van 72" zegt dat de verdubbelingstijd ongeveer 72÷(rente in %)72 \div (\text{rente in }\%) is. Bij 5 %5\,\%: 72÷5=14,472 \div 5 = 14{,}4 jaar, dicht bij de exacte 14,2114{,}21. Gebruik logaritmen als de opgave een exact antwoord vraagt.

Woordenlijst

pH
Een maat voor de zuurgraad: pH=−log⁡[H+]\text{pH} = -\log[H^+]. Onder 7 is zuur, 7 is neutraal, boven 7 is basisch.
Decibel (dB)
Eenheid van geluidsniveau: L=10log⁡(II0)L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right), waarbij I0I_0 de gehoordrempel is.
Schaal van Richter
Een logaritmische schaal voor aardbevingen: één hele stap betekent een 1010 keer zo grote amplitude van de bodembeweging.
Verdubbelingstijd
De tijd die een groeiende hoeveelheid nodig heeft om te verdubbelen: t=ln⁡2ln⁡(1+r)t = \frac{\ln 2}{\ln(1 + r)} bij groei van rr per periode.
Halveringstijd
De tijd waarin een afnemende hoeveelheid tot de helft van haar waarde daalt.
Groeifactor
Het getal waarmee een hoeveelheid elke periode wordt vermenigvuldigd: 1+r1 + r bij groei, 1−r1 - r bij afname.

Formulekaart

pH

pH=−log⁡[H+]  ⟺  [H+]=10−pH\text{pH} = -\log[H^+] \iff [H^+] = 10^{-\text{pH}}

Zuurgraad uit de waterstofionenconcentratie

Geluidsniveau

L=10log⁡(II0)  ⟺  II0=10L/10L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right) \iff \frac{I}{I_0} = 10^{L/10}

Decibel uit de verhouding van intensiteiten

Vergelijking op de schaal van Richter

A1A2=10M1−M2\frac{A_1}{A_2} = 10^{M_1 - M_2}

Verhouding van de amplitudes van twee aardbevingen

Tijd tot een doel

t=ln⁡(A/P)ln⁡(1+r)t = \frac{\ln(A/P)}{\ln(1 + r)}

Uit $A = P(1 + r)^t$; gebruik $1 - r$ bij verval

Continue groei

t=ln⁡(A/P)rt = \frac{\ln(A/P)}{r}

Uit $A = Pe^{rt}$

Halveringstijd

t=h⋅ln⁡(N/N0)ln⁡0,5t = h \cdot \frac{\ln(N/N_0)}{\ln 0{,}5}

Uit $N = N_0 \cdot 0{,}5^{t/h}$ met halveringstijd $h$

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Gevorderd25 min

Definitie van een logaritme

Gevorderd25 min

Briggse logaritme (grondtal 10)

Gevorderd25 min

Natuurlijke logaritme (ln)

Gevorderd25 min