Berekenen met de machtsregel

Bereken $\log_2(8^5)$ zonder rekenmachine.

Zet de exponent ervoor: $\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ = $5 \log_2 8$

Bereken de eenvoudigere logaritme: $2^3 = 8$, dus $\log_2 8 = 3$ = $\log_2 8 = 3$

Vermenigvuldig: $5 \cdot 3 = 15$ = $15$

Answer: $\log_2(8^5) = 15$. Controle: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$.

Logaritme van een wortel

Bereken $\log_5 \sqrt{125}$.

Schrijf de wortel als macht met een breuk als exponent: $\sqrt{125} = 125^{1/2}$ = $\log_5(125^{1/2})$

Pas de machtsregel toe: $\log_5(125^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_5 125$ = $\frac{1}{2} \log_5 125$

Bereken de logaritme: $5^3 = 125$, dus $\log_5 125 = 3$ = $\log_5 125 = 3$

Vermenigvuldig: $\frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$ = $\frac{3}{2}$

Answer: $\log_5 \sqrt{125} = \frac{3}{2} = 1{,}5$

Uitschrijven met alle drie de regels

Schrijf $\log \dfrac{x^3 y^2}{\sqrt{z}}$ uit (alle variabelen positief).

Quotiëntregel: teller min noemer: $\log(x^3 y^2) - \log \sqrt{z}$ = Twee logaritmen

Productregel op de teller: $\log(x^3 y^2) = \log x^3 + \log y^2$ = $\log x^3 + \log y^2 - \log \sqrt{z}$

Schrijf de wortel als macht: $\sqrt{z} = z^{1/2}$ = $\log x^3 + \log y^2 - \log z^{1/2}$

Machtsregel op elke term: Zet elke exponent ervoor = $3 \log x + 2 \log y - \frac{1}{2} \log z$

Answer: $\log \dfrac{x^3 y^2}{\sqrt{z}} = 3 \log x + 2 \log y - \frac{1}{2} \log z$

Samenvoegen tot één logaritme

Schrijf $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z$ als één logaritme.

Machtsregel omgekeerd: coëfficiënten worden exponenten: $2 \ln x = \ln x^2$, $3 \ln y = \ln y^3$, $4 \ln z = \ln z^4$ = $\ln x^2 + \ln y^3 - \ln z^4$

Productregel omgekeerd op de som: $\ln x^2 + \ln y^3 = \ln(x^2 y^3)$ = $\ln(x^2 y^3) - \ln z^4$

Quotiëntregel omgekeerd op het verschil: $\ln(x^2 y^3) - \ln z^4 = \ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$ = $\ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$

Answer: $2 \ln x + 3 \ln y - 4 \ln z = \ln \dfrac{x^2 y^3}{z^4}$

Benaderen met bekende logaritmen

Gebruik $\log 2 \approx 0{,}301$ en $\log 3 \approx 0{,}477$ om $\log 72$ te benaderen.

Ontbind in machten van priemgetallen: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ = $\log 72 = \log(2^3 \cdot 3^2)$

Productregel: $\log(2^3 \cdot 3^2) = \log 2^3 + \log 3^2$ = $\log 2^3 + \log 3^2$

Machtsregel: $\log 2^3 + \log 3^2 = 3 \log 2 + 2 \log 3$ = $3 \log 2 + 2 \log 3$

Vul de waarden in: $3 \cdot 0{,}301 + 2 \cdot 0{,}477 = 0{,}903 + 0{,}954$ = $1{,}857$

Answer: $\log 72 \approx 1{,}857$ (de rekenmachine geeft $1{,}8573$)

Mistake: $(\log M)^p$ behandelen als $p \log M$

Why: De machtsregel werkt alleen als de exponent op het **argument** staat, binnen de logaritme. Bij $(\log M)^p$ wordt de hele logaritme tot een macht verheven. Voorbeeld: $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$, maar $3 \log 100 = 6$.

Correct: $\log(M^p) = p \log M$, terwijl $(\log M)^p$ niet te vereenvoudigen is met de machtsregel. Kijk waar de exponent staat voordat je hem verplaatst.

Mistake: De exponent op het hele argument toepassen: $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Why: In $3x^2$ wordt alleen $x$ gekwadrateerd, niet de $3$. Controleer met $x = 10$: $\log 300 \approx 2{,}48$, maar $2 \log 30 \approx 2{,}95$.

Correct: Splits eerst het product: $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$.

Mistake: Van een vierkantswortel een factor 2 maken: $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Why: Een vierkantswortel is de macht $\frac{1}{2}$, niet de macht $2$. De wortelexponent komt in de noemer.

Correct: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$, en $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$.

Mistake: $3 \log x - \log y$ samenvoegen tot $\log \frac{3x}{y}$

Why: Een coëfficiënt voor een logaritme is een **exponent** van het argument, geen factor ervan.

Correct: Maak eerst van de coëfficiënt een exponent: $3 \log x = \log x^3$. Dan is $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$.

Geluidsniveau in decibel

De verandering van het geluidsniveau is $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ decibel, waarbij $\frac{I_2}{I_1}$ aangeeft hoeveel keer de intensiteit groter wordt. De machtsregel maakt van machten van 10 een eenvoudige vermenigvuldiging.

Als je je afstand tot een luidspreker verdubbelt, wordt de intensiteit gedeeld door $2^2 = 4$, dus $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

Cijfers van enorme getallen tellen

Een natuurlijk getal $N$ heeft $\lfloor \log N \rfloor + 1$ cijfers. Met de machtsregel tel je de cijfers van enorme machten zonder ze uit te rekenen.

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$, dus $2^{10} = 1024$ heeft $3 + 1 = 4$ cijfers.

Bevolkingsgroei

Een bevolking die elk jaar met een vast percentage groeit, is een exponentiële functie van de tijd. Om te weten wanneer ze een doel bereikt, haalt de machtsregel de tijd uit de exponent.

Bij 10 % groei per jaar verdubbelt een bevolking als $1{,}1^t = 2$: $t \log 1{,}1 = \log 2$, dus $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ jaar.

Q: Waarom klopt de machtsregel?

A: Een logaritme is een exponent. Als $\log_b M = x$, dan is $M = b^x$ en $M^p = b^{px}$. Verheffen tot de macht $p$ vermenigvuldigt de exponent met $p$, dus ook de logaritme (de exponent) wordt met $p$ vermenigvuldigd.

Q: Moet de exponent een geheel getal zijn?

A: Nee. De machtsregel geldt voor elke reële exponent: negatief ($\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M$), gebroken ($\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M$) en zelfs irrationaal.

Q: Zijn $\log(x^2)$ en $2 \log x$ echt dezelfde functie?

A: Alleen voor $x > 0$. De functie $\log(x^2)$ bestaat ook voor negatieve $x$ (bijvoorbeeld $\log((-10)^2) = \log 100 = 2$), maar $2 \log x$ niet. Voor alle $x \neq 0$ is de precieze uitspraak $\log(x^2) = 2 \log |x|$. De grafiek hierboven toont beide krommen.

Q: Wanneer schrijf ik uit en wanneer voeg ik samen?

A: Schrijf uit als je eenvoudige stukken wilt, bijvoorbeeld om $\log 72$ te benaderen met $\log 2$ en $\log 3$. Voeg samen als je één logaritme wilt, bijvoorbeeld om een vergelijking als $2 \log x - \log 4 = 2$ op te lossen (zie Logaritmische vergelijkingen oplossen).