Moet de exponent een geheel getal zijn?

Nee. De machtsregel geldt voor elke reële exponent: negatief ($\log_b \frac{1}{M^2} = -2 \log_b M$), gebroken ($\log_b \sqrt[3]{M} = \frac{1}{3} \log_b M$) en zelfs irrationaal.

Zijn $\log(x^2)$ en $2 \log x$ echt dezelfde functie?

Alleen voor $x > 0$. De functie $\log(x^2)$ bestaat ook voor negatieve $x$ (bijvoorbeeld $\log((-10)^2) = \log 100 = 2$), maar $2 \log x$ niet. Voor alle $x \neq 0$ is de precieze uitspraak $\log(x^2) = 2 \log |x|$. De grafiek hierboven toont beide krommen.

Wanneer schrijf ik uit en wanneer voeg ik samen?

Schrijf uit als je eenvoudige stukken wilt, bijvoorbeeld om $\log 72$ te benaderen met $\log 2$ en $\log 3$. Voeg samen als je één logaritme wilt, bijvoorbeeld om een vergelijking als $2 \log x - \log 4 = 2$ op te lossen (zie Logaritmische vergelijkingen oplossen).

Leermiddelen

Machtsregel voor logaritmen

Q: Waarom klopt de machtsregel?

Een logaritme is een exponent. Als $\log_b M = x$, dan is $M = b^x$ en $M^p = b^{px}$. Verheffen tot de macht $p$ vermenigvuldigt de exponent met $p$, dus ook de logaritme (de exponent) wordt met $p$ vermenigvuldigd.

Leer hoe de machtsregel een exponent voor de logaritme zet, hoe wortels machten met een breuk als exponent worden en hoe je logaritmen met alle drie de regels uitschrijft en samenvoegt.

Gevorderd25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

De machtsregel voor logaritmen zegt dat een exponent binnen een logaritme als factor naar voren mag:

\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M

Dit geldt voor elke reële exponent

p

, zolang

M > 0

b > 0

b \neq 1

Waarom het klopt: stel

x = \log_b M

, dus

M = b^x

. Dan is

M^p = (b^x)^p = b^{px}

, en de logaritme van

b^{px}

is gewoon

px

. Dus

\log_b(M^p) = p \cdot x = p \cdot \log_b M

Ook wortels zijn machten. Omdat

\sqrt[n]{M} = M^{1/n}

geldt:

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Voorbeeld:

\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8 = 5 \cdot 3 = 15

, en

\log \sqrt{1000} = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}

Samen met de productregel (

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

) en de quotiëntregel (

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

) kun je met de machtsregel één logaritme uitschrijven in veel eenvoudige logaritmen, of meerdere logaritmen samenvoegen tot één.

Probeer het meteen

Welke uitdrukking is gelijk aan

\log_3(x^5)

voor

x > 0

Uitgewerkte voorbeelden

Bereken $\log_2(8^5)$ zonder rekenmachine.

Zet de exponent ervoor

$\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2 8$ → $5 \log_2 8$

Bereken de eenvoudigere logaritme

$2^3 = 8$ , dus $\log_2 8 = 3$

Vermenigvuldig

$5 \cdot 3 = 15$

Antwoord: $\log_2(8^5) = 15$ . Controle: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$ .

Veelgemaakte fouten

$(\log M)^p$ behandelen als $p \log M$

Waarom het fout is: De machtsregel werkt alleen als de exponent op het argument staat, binnen de logaritme. Bij $(\log M)^p$ wordt de hele logaritme tot een macht verheven. Voorbeeld: $(\log 100)^3 = 2^3 = 8$ , maar $3 \log 100 = 6$ .

Correct: $\log(M^p) = p \log M$ , terwijl $(\log M)^p$ niet te vereenvoudigen is met de machtsregel. Kijk waar de exponent staat voordat je hem verplaatst.

De exponent op het hele argument toepassen: $\log(3x^2) = 2 \log(3x)$

Waarom het fout is: In $3x^2$ wordt alleen $x$ gekwadrateerd, niet de $3$ . Controleer met $x = 10$ : $\log 300 \approx 2{,}48$ , maar $2 \log 30 \approx 2{,}95$ .

Correct: Splits eerst het product: $\log(3x^2) = \log 3 + \log x^2 = \log 3 + 2 \log x$ .

Van een vierkantswortel een factor 2 maken: $\log \sqrt{x} = 2 \log x$

Waarom het fout is: Een vierkantswortel is de macht $\frac{1}{2}$ , niet de macht $2$ . De wortelexponent komt in de noemer.

Correct: $\log \sqrt{x} = \log x^{1/2} = \frac{1}{2} \log x$ , en $\log \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3} \log x$ .

$3 \log x - \log y$ samenvoegen tot $\log \frac{3x}{y}$

Waarom het fout is: Een coëfficiënt voor een logaritme is een exponent van het argument, geen factor ervan.

Correct: Maak eerst van de coëfficiënt een exponent: $3 \log x = \log x^3$ . Dan is $3 \log x - \log y = \log \frac{x^3}{y}$ .

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Asymptoot

Waardetabel

x	-10	0,1	1	10	1000
log(x²)	2	-2	0	2	6
2 log(x)	niet gedef.	-2	0	2	6
(log x)²	niet gedef.	1	0	1	9

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Welke uitdrukking is gelijk aan $\log_3(x^5)$ voor $x > 0$ ?

Waarom het belangrijk is

De machtsregel maakt logaritmen pas echt nuttig:

Exponentiële vergelijkingen oplossen: in $1{,}05^t = 2$ staat de onbekende in de exponent. Neem je de logaritme en gebruik je de machtsregel, dan krijg je $t \cdot \log 1{,}05 = \log 2$ : de exponent komt naar beneden en wordt een gewone factor.
Enorme getallen: $\log(2^{64}) = 64 \log 2 \approx 19{,}3$ vertelt je meteen dat $2^{64}$ 20 cijfers heeft, zonder het uit te rekenen.
Schalen in de wetenschap: decibel, pH en de schaal van Richter gebruiken logaritmen; de machtsregel verklaart waarom het kwadrateren van een intensiteitsverhouding de verandering in decibel verdubbelt.
Analyse: voordat je een ingewikkeld product van machten differentieert, schrijf je de logaritme ervan uit met de machtsregel.

Het is de laatste van de drie belangrijke rekenregels voor logaritmen, en vanaf nu gebruik je ze alle drie samen in bijna elke opgave met logaritmen.

Toepassingen in de echte wereld

Geluidsniveau in decibel

De verandering van het geluidsniveau is $\Delta L = 10 \log \frac{I_2}{I_1}$ decibel, waarbij $\frac{I_2}{I_1}$ aangeeft hoeveel keer de intensiteit groter wordt. De machtsregel maakt van machten van 10 een eenvoudige vermenigvuldiging.

Voorbeeld:

Als je je afstand tot een luidspreker verdubbelt, wordt de intensiteit gedeeld door $2^2 = 4$ , dus $\Delta L = 10 \log(2^{-2}) = -20 \log 2 \approx -6$ dB.

1Probeer het zelf

Je staat 2 m van een luidspreker en loopt terug tot 20 m. De geluidsintensiteit neemt af met het kwadraat van de afstand, dus wordt ze gedeeld door $\left(\frac{20}{2}\right)^2$ . Het niveau daalt met $10 \log\left(\left(\frac{20}{2}\right)^2\right)$ decibel.

Hoeveel decibel daalt het geluidsniveau?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $10 \log(10^2)$ :

Cijfers van enorme getallen tellen

Een natuurlijk getal $N$ heeft $\lfloor \log N \rfloor + 1$ cijfers. Met de machtsregel tel je de cijfers van enorme machten zonder ze uit te rekenen.

Voorbeeld:

$\log(2^{10}) = 10 \log 2 \approx 3{,}01$ , dus $2^{10} = 1024$ heeft $3 + 1 = 4$ cijfers.

2Probeer het zelf

Computers gebruiken vaak getallen van $64$ bits, en $2^{64}$ is het aantal verschillende waarden dat ze kunnen opslaan. Gebruik $\log 2 \approx 0{,}301$ .

Hoeveel cijfers heeft $2^{64}$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Aantal cijfers: $\lfloor 64 \log 2 \rfloor + 1$

Bevolkingsgroei

Een bevolking die elk jaar met een vast percentage groeit, is een exponentiële functie van de tijd. Om te weten wanneer ze een doel bereikt, haalt de machtsregel de tijd uit de exponent.

Voorbeeld:

Bij 10 % groei per jaar verdubbelt een bevolking als $1{,}1^t = 2$ : $t \log 1{,}1 = \log 2$ , dus $t = \frac{\log 2}{\log 1{,}1} \approx 7{,}3$ jaar.

3Probeer het zelf

Een stad heeft 20000 inwoners en groeit met 3 % per jaar. Na $t$ jaar heeft ze $20000 \cdot 1{,}03^t$ inwoners.

Na hoeveel volle jaren heeft de stad minstens 30000 inwoners?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Rond $t = \frac{\log 1{,}5}{\log 1{,}03}$ naar boven af op hele jaren:

Belangrijke punten

1Machtsregel: $\log_b(M^p) = p \log_b M$ voor $M > 0$ en elke reële exponent $p$
2Wortels zijn machten met een breuk als exponent: $\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M$
3Een omgekeerde is de macht $-1$ : $\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M$
4Uitschrijven: splits eerst producten en quotiënten, zet daarna elke exponent ervoor
5Samenvoegen: maak eerst van elke coëfficiënt een exponent, voeg daarna sommen samen tot producten en verschillen tot quotiënten
6 $(\log M)^p$ is niet $p \log M$ : de exponent moet binnen de logaritme staan

Veelgestelde vragen

Een logaritme is een exponent. Als

\log_b M = x

, dan is

M = b^x

M^p = b^{px}

. Verheffen tot de macht

p

vermenigvuldigt de exponent met

p

, dus ook de logaritme (de exponent) wordt met

p

vermenigvuldigd.

Woordenlijst

Machtsregel: De rekenregel voor logaritmen $\log_b(M^p) = p \log_b M$
Exponent: Het getal dat aangeeft hoe vaak het grondtal als factor voorkomt, zoals in $M^p$
Gebroken exponent: Een exponent die een breuk is; $M^{1/n}$ is de $n$ -de machtswortel van $M$
Uitschrijven: Eén logaritme schrijven als som en verschil van eenvoudigere logaritmen
Samenvoegen: Meerdere logaritmen schrijven als één logaritme
Coëfficiënt: Een getal waarmee een logaritme vermenigvuldigd wordt, zoals de $3$ in $3 \log x$ ; de machtsregel maakt er een exponent van

Formulekaart

Machtsregel

\log_b(M^p) = p \log_b M

De exponent van het argument gaat naar voren

Wortelregel

\log_b \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_b M

Omdat $\sqrt[n]{M} = M^{1/n}$

Omgekeerde

\log_b \frac{1}{M} = -\log_b M

Omdat $\frac{1}{M} = M^{-1}$

Productregel

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Herinnering: producten worden sommen

Quotiëntregel

\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Herinnering: quotiënten worden verschillen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Waardetabel

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Geluidsniveau in decibel

Cijfers van enorme getallen tellen

Bevolkingsgroei

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Machtsregel

Wortelregel

Omgekeerde

Productregel

Quotiëntregel

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Definitie van een logaritme

Briggse logaritme (grondtal 10)

Natuurlijke logaritme (ln)