Herschrijven in exponentiële vorm

Los $\log_2 x = 3$ op.

Benoem de onderdelen: Grondtal $2$, argument $x$, waarde van de logaritme $3$ = $\log_2 x = 3$

Schrijf in exponentiële vorm: $\log_b A = c \iff A = b^c$ = $x = 2^3$

Bereken de macht: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ = $x = 8$

Controleer: $\log_2 8 = 3$ omdat $2^3 = 8$ ✓, en het argument $8$ is positief = De oplossing is geldig

Answer: $x = 8$

Een uitdrukking in de logaritme

Los $\log_3(2x + 1) = 2$ op.

Schrijf in exponentiële vorm: Het grondtal $3$ wordt tot de macht $2$ verheven: $2x + 1 = 3^2$ = $2x + 1 = 9$

Los de lineaire vergelijking op: $2x = 9 - 1 = 8$ = $x = 4$

Controleer het domein: Argument: $2 \cdot 4 + 1 = 9 > 0$ = Het argument is positief

Controleer de vergelijking: $\log_3 9 = 2$ omdat $3^2 = 9$ ✓ = De oplossing is geldig

Answer: $x = 4$

Logaritmen aan beide kanten

Los $\log_5(3x - 2) = \log_5(x + 6)$ op.

Gebruik de eigenschap van gelijke logaritmen: Beide leden zijn één logaritme met grondtal $5$, dus de argumenten zijn gelijk = $3x - 2 = x + 6$

Los de lineaire vergelijking op: $3x - x = 6 + 2$, dus $2x = 8$ = $x = 4$

Controleer beide argumenten: $3 \cdot 4 - 2 = 10 > 0$ en $4 + 6 = 10 > 0$ = Beide argumenten zijn positief ✓

Answer: $x = 4$

Eerst samenvoegen: twee kandidaten, één valt af

Los $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$ op.

Voeg samen met de productregel: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = \log_2\big(x(x - 2)\big)$ = $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$

Schrijf in exponentiële vorm: $x(x - 2) = 2^3$ = $x^2 - 2x = 8$

Los de kwadratische vergelijking op: $x^2 - 2x - 8 = 0$, dus $(x - 4)(x + 2) = 0$ = Kandidaten: $x = 4$ of $x = -2$

Controleer elke kandidaat in de oorspronkelijke vergelijking: $x = 4$: de argumenten $4$ en $2$ zijn positief ✓. $x = -2$: $\log_2(-2)$ bestaat niet ✗ = $x = -2$ is een schijnoplossing

Answer: $x = 4$ (de kandidaat $x = -2$ wordt verworpen). De tweede grafiek laat zien waarom: de samengevoegde kromme $y = \log_2\big(x(x-2)\big)$ bestaat ook voor negatieve $x$ en snijdt $y = 3$ twee keer, maar de oorspronkelijke kromme snijdt die lijn alleen bij $x = 4$. Voor $x > 2$ vallen de twee krommen samen; zet ze in de legenda aan en uit om ze te vergelijken.

Verschillende grondtallen: neem van beide leden de logaritme

Los $3^x = 20$ op. Rond af op twee decimalen.

Zoek een gemeenschappelijk grondtal: $3^2 = 9$ en $3^3 = 27$, dus $20$ is geen macht van $3$ = Hetzelfde grondtal lukt niet, maar $2 < x < 3$

Neem van beide leden de briggse logaritme: $\log(3^x) = \log 20$, daarna de machtsregel = $x \log 3 = \log 20$

Deel door $\log 3$: $\log 3$ is een getal, ongeveer $0{,}4771$ = $x = \frac{\log 20}{\log 3}$ (exact)

Gebruik de rekenmachine: $\frac{1{,}3010}{0{,}4771} \approx 2{,}727$ = $x \approx 2{,}73$

Controleer: $3^{2{,}73} \approx 20{,}07 \approx 20$ ✓, en $2{,}73$ ligt tussen $2$ en $3$ = De oplossing is geldig

Answer: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Mistake: Beide kandidaten houden: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ of $x = -2$

Why: Na het samenvoegen tot $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ lijken negatieve waarden van $x$ toegestaan, omdat het product van twee negatieve getallen positief is. Maar de oorspronkelijke vergelijking bevat $\log_2 x$, en die bestaat niet voor $x = -2$.

Correct: Controleer elke kandidaat in de OORSPRONKELIJKE vergelijking. Alleen $x = 4$ klopt; $x = -2$ is een schijnoplossing.

Mistake: De logaritmen gewoon weglaten: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Why: Je mag de logaritmen alleen weglaten als elk lid één logaritme met hetzelfde grondtal is (gelijke logaritmen). Hier staat links een som van logaritmen en rechts een getal.

Correct: Voeg eerst samen, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$, en schrijf dan in exponentiële vorm: $x(x - 2) = 2^3 = 8$.

Mistake: Grondtal en exponent verwisselen: $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Why: In $\log_b A = c$ wordt het grondtal $b$ tot de macht $c$ verheven. Het grondtal van de logaritme blijft het grondtal van de macht.

Correct: $2x + 1 = 3^2 = 9$, dus $x = 4$. Controle: $\log_3 9 = 2$ ✓

Mistake: Delen in plaats van logaritmen nemen: $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Why: $3^x$ is een macht, niet het product $3 \cdot x$. Een snelle controle laat de fout zien: $3^{6{,}67}$ is ongeveer $1500$, veel meer dan $20$.

Correct: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$. Let op: $\frac{\log 20}{\log 3}$ is NIET hetzelfde als $\log \frac{20}{3}$.

Je spaargeld verdubbelen

Geld dat elk jaar met een vast percentage groeit, volgt $A = P \cdot (1 + r)^t$. Als je de exponent $t$ met logaritmen vrijmaakt, weet je wanneer een spaardoel bereikt is.

Bij 6 % rente per jaar verdubbelt geld als $1{,}06^t = 2$, dus na $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ jaar.

Geluidssterkte in decibel

Het geluidsniveau in decibel is $L = 10 \log r$, waarbij $r = \frac{I}{I_0}$ de intensiteit van een geluid vergelijkt met het zachtste geluid dat mensen kunnen horen.

Een normaal gesprek is ongeveer 60 dB: $10 \log r = 60$ geeft $\log r = 6$, dus $r = 10^6$, een miljoen keer de gehoordrempel.

Groeiende bacteriën

Een kolonie die elk uur verdubbelt, volgt $N = N_0 \cdot 2^t$. Als de doelgrootte geen macht van 2 is, geven logaritmen de exacte tijd.

Een kolonie van 200 cellen bereikt 1000 cellen als $2^t = 5$, dus na $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ uur.

Q: Waarom ontstaan er eigenlijk schijnoplossingen?

A: Samenvoegen verandert het domein. $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ vraagt $x > 2$, maar $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ vraagt alleen $x(x - 2) > 0$, en dat geldt ook voor $x < 0$. De samengevoegde vergelijking kan dus oplossingen hebben die de oorspronkelijke niet heeft. Daarom controleer je altijd in de oorspronkelijke vergelijking.

Q: Is een negatieve oplossing altijd een schijnoplossing?

A: Nee. Het gaat om het teken van elk argument, niet om het teken van $x$. Bij $\log_2(x + 5) = 1$ krijg je $x + 5 = 2$, dus $x = -3$, en het argument $-3 + 5 = 2$ is positief. De oplossing $x = -3$ is geldig.

Q: Gebruik ik log of ln om $3^x = 20$ op te lossen?

A: Allebei is goed. $\frac{\log 20}{\log 3}$ en $\frac{\ln 20}{\ln 3}$ geven hetzelfde getal, ongeveer $2{,}73$. Dat is precies de formule voor verandering van grondtal: beide zijn gelijk aan $\log_3 20$.

Q: Kan een logaritmische vergelijking geen oplossing hebben?

A: Ja. Bij $\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)$ geven de argumenten $x - 4 = 2x - 1$, dus $x = -3$. Maar dan zijn beide argumenten $-7$, en dat mag niet. De enige kandidaat valt af, dus de vergelijking heeft geen oplossing.