Is een negatieve oplossing altijd een schijnoplossing?

Nee. Het gaat om het teken van elk argument, niet om het teken van $x$. Bij $\log_2(x + 5) = 1$ krijg je $x + 5 = 2$, dus $x = -3$, en het argument $-3 + 5 = 2$ is positief. De oplossing $x = -3$ is geldig.

Gebruik ik log of ln om $3^x = 20$ op te lossen?

Allebei is goed. $\frac{\log 20}{\log 3}$ en $\frac{\ln 20}{\ln 3}$ geven hetzelfde getal, ongeveer $2{,}73$. Dat is precies de formule voor verandering van grondtal: beide zijn gelijk aan $\log_3 20$.

Kan een logaritmische vergelijking geen oplossing hebben?

Ja. Bij $\log_2(x - 4) = \log_2(2x - 1)$ geven de argumenten $x - 4 = 2x - 1$, dus $x = -3$. Maar dan zijn beide argumenten $-7$, en dat mag niet. De enige kandidaat valt af, dus de vergelijking heeft geen oplossing.

Leermiddelen

Logaritmische vergelijkingen oplossen

Q: Waarom ontstaan er eigenlijk schijnoplossingen?

Samenvoegen verandert het domein. $\log_2 x + \log_2(x - 2)$ vraagt $x > 2$, maar $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ vraagt alleen $x(x - 2) > 0$, en dat geldt ook voor $x < 0$. De samengevoegde vergelijking kan dus oplossingen hebben die de oorspronkelijke niet heeft. Daarom controleer je altijd in de oorspronkelijke vergelijking.

Los vergelijkingen op waarin de onbekende in een logaritme staat, verwerp schijnoplossingen en gebruik logaritmen om vergelijkingen als 3^x = 20 op te lossen.

Gevorderd30 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een logaritmische vergelijking is een vergelijking waarin de onbekende in het argument van een logaritme staat, bijvoorbeeld

\log_2 x = 3

\log_3(2x + 1) = 2

Met twee hulpmiddelen los je bijna elke logaritmische vergelijking op:

1. Schrijf in exponentiële vorm. Een logaritme is een exponent, dus

\log_b A = c \iff A = b^c

Zo betekent

\log_2 x = 3

dat

x = 2^3 = 8

. In de grafiek snijdt de lijn

y = 3

de kromme

y = \log_2 x

precies bij

x = 8

2. Gebruik de eigenschap van gelijke logaritmen. Als twee logaritmen met hetzelfde grondtal gelijk zijn, dan zijn hun argumenten gelijk:

\log_b M = \log_b N \implies M = N

De methode:

1.Samenvoegen: schrijf elk lid als één logaritme met de productregel, de quotiëntregel en de machtsregel.
2.Herschrijven: in exponentiële vorm, of stel de argumenten gelijk.
3.Oplossen: los de vergelijking op die je krijgt (meestal lineair of kwadratisch).
4.Domein controleren: elk argument in de OORSPRONKELIJKE vergelijking moet positief zijn. Een kandidaat die een argument nul of negatief maakt, is een schijnoplossing en wordt verworpen.

Exponentiële vergelijkingen met verschillende grondtallen. Als je de twee leden van een exponentiële vergelijking niet met hetzelfde grondtal kunt schrijven, neem je van beide leden de logaritme en gebruik je de machtsregel:

3^x = 20 \implies x \log 3 = \log 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73

Hier is

\log

de briggse logaritme (logaritme met grondtal 10). De natuurlijke logaritme

\ln

geeft hetzelfde resultaat.

Probeer het meteen

Welke vergelijking is de exponentiële vorm van

\log_4 x = 3

Uitgewerkte voorbeelden

Los $\log_2 x = 3$ op.

Benoem de onderdelen

Grondtal $2$ , argument $x$ , waarde van de logaritme $3$ → $\log_2 x = 3$

Schrijf in exponentiële vorm

$\log_b A = c \iff A = b^c$ → $x = 2^3$

Bereken de macht

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ → $x = 8$

Controleer

$\log_2 8 = 3$ omdat $2^3 = 8$ ✓, en het argument $8$ is positief → De oplossing is geldig

Antwoord: $x = 8$

Veelgemaakte fouten

Beide kandidaten houden: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x = 4$ of $x = -2$

Waarom het fout is: Na het samenvoegen tot $\log_2\big(x(x - 2)\big)$ lijken negatieve waarden van $x$ toegestaan, omdat het product van twee negatieve getallen positief is. Maar de oorspronkelijke vergelijking bevat $\log_2 x$ , en die bestaat niet voor $x = -2$ .

Correct: Controleer elke kandidaat in de OORSPRONKELIJKE vergelijking. Alleen $x = 4$ klopt; $x = -2$ is een schijnoplossing.

De logaritmen gewoon weglaten: $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3 \implies x + (x - 2) = 3$

Waarom het fout is: Je mag de logaritmen alleen weglaten als elk lid één logaritme met hetzelfde grondtal is (gelijke logaritmen). Hier staat links een som van logaritmen en rechts een getal.

Correct: Voeg eerst samen, $\log_2\big(x(x - 2)\big) = 3$ , en schrijf dan in exponentiële vorm: $x(x - 2) = 2^3 = 8$ .

Grondtal en exponent verwisselen: $\log_3(2x + 1) = 2 \implies 2x + 1 = 2^3$

Waarom het fout is: In $\log_b A = c$ wordt het grondtal $b$ tot de macht $c$ verheven. Het grondtal van de logaritme blijft het grondtal van de macht.

Correct: $2x + 1 = 3^2 = 9$ , dus $x = 4$ . Controle: $\log_3 9 = 2$ ✓

Delen in plaats van logaritmen nemen: $3^x = 20 \implies x = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$

Waarom het fout is: $3^x$ is een macht, niet het product $3 \cdot x$ . Een snelle controle laat de fout zien: $3^{6{,}67}$ is ongeveer $1500$ , veel meer dan $20$ .

Correct: $x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$ . Let op: $\frac{\log 20}{\log 3}$ is NIET hetzelfde als $\log \frac{20}{3}$ .

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

y = log₂(x)y = 3Asymptoot

Snijpunt: (8; 3)

Waardetabel

x	1	2	4	8	16
log₂(x)	0	1	2	3	4
3	3	3	3	3	3

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Asymptoot

Snijpunt: (-2; 3)
Snijpunt: (4; 3)
De grafieken vallen samen: oneindig veel gemeenschappelijke punten.

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Welke vergelijking is de exponentiële vorm van $\log_4 x = 3$ ?

Waarom het belangrijk is

Logaritmische vergelijkingen beantwoorden hoe lang? en hoe sterk? vragen, telkens als iets met een vaste factor groeit of krimpt:

Financiën: na hoeveel jaar is spaargeld bij 8 % rente verdubbeld? Los $1{,}08^t = 2$ op.
Biologie: wanneer bereikt een bacteriecultuur een grootte die geen macht van 2 is?
Geluid: hoeveel keer zo sterk is een grasmaaier van 90 dB als het zachtste geluid dat je kunt horen?
Scheikunde en aardwetenschappen: de pH en de schaal van Richter zijn logaritmen. Wie de concentratie of energie daarachter wil vinden, lost een logaritmische vergelijking op.

In de les Exponentiële vergelijkingen oplossen kon je alleen zeggen dat de oplossing van

2^x = 20

tussen

4

5

ligt. Met logaritmen krijg je de exacte waarde

x = \frac{\log 20}{\log 2} \approx 4{,}32

. En het domein controleren heb je weer nodig bij elke vergelijking met wortels, breuken of logaritmen.

Toepassingen in de echte wereld

Je spaargeld verdubbelen

Geld dat elk jaar met een vast percentage groeit, volgt $A = P \cdot (1 + r)^t$. Als je de exponent $t$ met logaritmen vrijmaakt, weet je wanneer een spaardoel bereikt is.

Voorbeeld:

Bij 6 % rente per jaar verdubbelt geld als $1{,}06^t = 2$ , dus na $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}9$ jaar.

1Probeer het zelf

Je zet 1000 € op een spaarrekening met 8 % rente per jaar. Na $t$ jaar heb je $1000 \cdot 1{,}08^t$ euro.

Na hoeveel jaar is het geld verdubbeld tot 2000 €?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Los $1000 \cdot 1{,}08^t = 2000$ op en schrijf de exacte waarde van $t$ als quotiënt van twee logaritmen, in de vorm ln(a)/ln(b) (nog niet afronden):

Geluidssterkte in decibel

Het geluidsniveau in decibel is $L = 10 \log r$, waarbij $r = \frac{I}{I_0}$ de intensiteit van een geluid vergelijkt met het zachtste geluid dat mensen kunnen horen.

Voorbeeld:

Een normaal gesprek is ongeveer 60 dB: $10 \log r = 60$ geeft $\log r = 6$ , dus $r = 10^6$ , een miljoen keer de gehoordrempel.

2Probeer het zelf

Een grasmaaier haalt 90 dB. De intensiteitsverhouding $r$ voldoet aan $10 \log r = 90$ .

Hoe groot is de intensiteitsverhouding $r$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schrijf $r$ als macht van 10:

Groeiende bacteriën

Een kolonie die elk uur verdubbelt, volgt $N = N_0 \cdot 2^t$. Als de doelgrootte geen macht van 2 is, geven logaritmen de exacte tijd.

Voorbeeld:

Een kolonie van 200 cellen bereikt 1000 cellen als $2^t = 5$ , dus na $t = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx 2{,}32$ uur.

3Probeer het zelf

Een cultuur begint met 500 bacteriën en verdubbelt elk uur.

Na hoeveel uur zijn er 6000 bacteriën?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Los $500 \cdot 2^t = 6000$ op en schrijf de exacte waarde van $t$ als quotiënt van twee logaritmen, in de vorm ln(a)/ln(b) (nog niet afronden):

Belangrijke punten

1In een logaritmische vergelijking staat de onbekende in een logaritme, zoals in $\log_2 x = 3$
2Exponentiële vorm: $\log_b A = c \iff A = b^c$
3Eenduidigheid: uit $\log_b M = \log_b N$ volgt $M = N$
4Voeg sommen en verschillen van logaritmen samen tot één logaritme voordat je oplost
5Controleer elke kandidaat in de OORSPRONKELIJKE vergelijking: alle argumenten moeten positief zijn, anders is de kandidaat een schijnoplossing
6Bij exponentiële vergelijkingen met verschillende grondtallen neem je logaritmen: $3^x = 20 \implies x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx 2{,}73$

Veelgestelde vragen

Samenvoegen verandert het domein.

\log_2 x + \log_2(x - 2)

vraagt

x > 2

, maar

\log_2\big(x(x - 2)\big)

vraagt alleen

x(x - 2) > 0

, en dat geldt ook voor

x < 0

. De samengevoegde vergelijking kan dus oplossingen hebben die de oorspronkelijke niet heeft. Daarom controleer je altijd in de oorspronkelijke vergelijking.

Woordenlijst

Logaritmische vergelijking: Een vergelijking waarin de onbekende in het argument van een logaritme staat, zoals $\log_3(2x + 1) = 2$
Exponentiële vorm: De machtsvorm van een logaritme: $\log_b A = c$ wordt $A = b^c$
Eenduidigheid: Als $\log_b M = \log_b N$ , dan $M = N$ (voor $M, N > 0$ )
Kandidaat: Een waarde die je bij het oplossen vindt en die je nog in de oorspronkelijke vergelijking moet controleren
Schijnoplossing: Een kandidaat die een argument van de oorspronkelijke vergelijking nul of negatief maakt en daarom wordt verworpen
Domein van een logaritme: De waarden waarvoor $\log_b A$ bestaat: het argument moet positief zijn, $A > 0$

Formulekaart

Exponentiële vorm

\log_b A = c \iff A = b^c

Geldt voor $b > 0$, $b \neq 1$. Gebruik dit als één lid een enkele logaritme is en het andere lid een getal.

Eenduidigheid

\log_b M = \log_b N \implies M = N

Gebruik dit als beide leden een enkele logaritme met hetzelfde grondtal zijn.

Domeincontrole

A > 0

Elk argument $A$ van een logaritme in de oorspronkelijke vergelijking moet positief zijn. Anders is de kandidaat een schijnoplossing.

Logaritme van beide leden

b^x = c \implies x = \frac{\log c}{\log b} = \frac{\ln c}{\ln b}

Lost exponentiële vergelijkingen op waarvan je de leden niet met hetzelfde grondtal kunt schrijven, bijvoorbeeld $3^x = 20$.

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Waardetabel

Grafiek van de functie

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Je spaargeld verdubbelen

Geluidssterkte in decibel

Groeiende bacteriën

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Exponentiële vorm

Eenduidigheid

Domeincontrole

Logaritme van beide leden

Meer over dit onderwerp

Introductie tot logaritmen

Definitie van een logaritme

Briggse logaritme (grondtal 10)

Natuurlijke logaritme (ln)