De rij voortzetten

De rij van Fibonacci begint met $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$ Bereken $F_{10}$, $F_{11}$ en $F_{12}$.

Zoek de laatste twee bekende termen: $F_8 = 21$ en $F_9 = 34$ = $F_8 = 21$, $F_9 = 34$

Tel ze op om $F_{10}$ te krijgen: $F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21$ = $F_{10} = 55$

Tel de twee nieuwste termen op voor $F_{11}$: $F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34$ = $F_{11} = 89$

Herhaal dit nog een keer voor $F_{12}$: $F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55$ = $F_{12} = 144$

Answer: $F_{10} = 55$, $F_{11} = 89$ en $F_{12} = 144$. Tel altijd de twee meest recente termen op.

Het konijnenprobleem van Fibonacci

In maand 1 leeft er één pasgeboren paar konijnen in een weide. Een paar is na een maand volwassen, en elk volwassen paar krijgt elke maand een nieuw paar. Er gaat geen konijn dood. Hoeveel paren zijn er in maand 8?

Tel de eerste maanden: Maand 1: één babypaar. Maand 2: dat paar is volwassen maar heeft nog geen jongen. Maand 3: het krijgt zijn eerste babypaar. = $1, 1, 2$

Zoek de regel: Paren deze maand = paren vorige maand (er gaat niemand dood) + één babypaar voor elk paar dat twee maanden geleden al leefde (die zijn nu volwassen) = $R_n = R_{n-1} + R_{n-2}$

Ga door tot maand 8: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21$ = Maand 8: $21$ paren

Splits in volwassen paren en babyparen: Volwassen paren in maand 8 = alle paren van maand 7 = 13; baby's = volwassenen van maand 7 = alle paren van maand 6 = 8 = $13 + 8 = 21$

Answer: In maand 8 zijn er $21$ paren: $13$ volwassen paren en $8$ babyparen. De aantallen konijnen zijn precies de Fibonacci-getallen.

De verhoudingen gaan naar de gulden snede

Deel elk Fibonacci-getal door het getal ervoor, van $\frac{5}{3}$ tot $\frac{34}{21}$. Naar welk getal gaan de verhoudingen?

Bereken de eerste twee verhoudingen: $\frac{5}{3} \approx 1{,}667$ en $\frac{8}{5} = 1{,}600$ = $1{,}667$, $1{,}600$

Bereken de volgende twee: $\frac{13}{8} = 1{,}625$ en $\frac{21}{13} \approx 1{,}615$ = $1{,}625$, $1{,}615$

Nog één verhouding: $\frac{34}{21} \approx 1{,}619$ = $1{,}619$

Vergelijk met $\varphi$: $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$. De verhoudingen liggen om beurten boven en onder $\varphi$, en het verschil wordt steeds kleiner = Verhoudingen gaan naar $1{,}618$

Answer: De verhoudingen schommelen boven en onder $\varphi \approx 1{,}618$ en komen elke keer dichterbij. Bij $\frac{89}{55} \approx 1{,}6182$ komen ze al tot op drie decimalen overeen met $\varphi$.

De snelle manier voor de som

Bereken $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21$ zonder alle termen één voor één op te tellen.

Tel het aantal termen: Dit zijn $F_1$ tot en met $F_8$ = $n = 8$

Gebruik de somregel: $F_1 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$, dus de som is $F_{10} - 1$ = Som $= F_{10} - 1$

Zoek $F_{10}$ op: $F_9 = 34$, dus $F_{10} = 21 + 34 = 55$ = Som $= 55 - 1 = 54$

Controleer door op te tellen: $1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 = 54$ = Klopt: $54$

Answer: De som is $54$, dus $F_{10} - 1$. De som van de eerste $n$ Fibonacci-getallen is altijd één minder dan de term twee plaatsen verder.

Nieuwe startgetallen: de getallen van Lucas

Gebruik dezelfde regel (tel de twee vorige termen op), maar begin met $2$ en $1$. Bereken de eerste 10 termen en de verhouding van de 10e term tot de 9e.

Bereken de termen 3 tot en met 6: $2 + 1 = 3$, $1 + 3 = 4$, $3 + 4 = 7$, $4 + 7 = 11$ = $2, 1, 3, 4, 7, 11$

Bereken de termen 7 tot en met 10: $7 + 11 = 18$, $11 + 18 = 29$, $18 + 29 = 47$, $29 + 47 = 76$ = $18, 29, 47, 76$

Deel de 10e term door de 9e: $\frac{76}{47} \approx 1{,}617$ = $\approx 1{,}617$

Vergelijk met de verhouding bij Fibonacci: Fibonacci: $\frac{55}{34} \approx 1{,}618$. Beide liggen dicht bij $\varphi \approx 1{,}618$ = Dezelfde limiet $\varphi$

Answer: De getallen van Lucas zijn $2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, \ldots$ en $\frac{76}{47} \approx 1{,}617$. Met elke twee positieve startgetallen gaat de verhouding van buren toch naar $\varphi$.

Mistake: De laatste term verdubbelen: $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Why: Verdubbelen geeft een meetkundige rij. De regel van Fibonacci telt de laatste TWEE termen op, en die zijn niet gelijk (behalve helemaal aan het begin).

Correct: Na $2$ komt $1 + 2 = 3$, daarna $2 + 3 = 5$: $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

Mistake: De plaatsen verkeerd tellen, bijvoorbeeld zeggen dat $F_{10} = 89$

Why: De eerste twee termen zijn allebei $1$, dus je slaat er makkelijk een over. Sommige boeken zetten ook een $0$ vooraan ($0, 1, 1, 2, \ldots$); als je die $0$ als eerste term telt, schuift elke plaats één op.

Correct: Schrijf de plaatsen boven de termen: $F_1 = 1$, $F_2 = 1$, $F_3 = 2$, ..., $F_{10} = 55$, $F_{11} = 89$. Controleer met welk begin je boek werkt.

Mistake: Denken dat de verhoudingen gelijkmatig stijgen tot $1{,}618$, of dat een verhouding precies $\varphi$ is

Why: De verhoudingen springen boven en onder $\varphi$: $1{,}6$, $1{,}625$, $1{,}615$, $1{,}619$, ... Elke verhouding is een breuk en $\varphi$ is irrationaal, dus geen enkele verhouding is ooit gelijk aan $\varphi$.

Correct: Zeg dat de verhoudingen van twee kanten naar $\varphi$ gaan en er zo dicht bij komen als je wilt, maar het nooit bereiken.

Mistake: Geloven dat elke spiraal en elke mooie rechthoek Fibonacci of gulden is

Why: De schelp van een nautilus is een spiraal, maar de groeifactor is niet $\varphi$. Veel beweringen over de gulden snede in het Parthenon of de Mona Lisa hangen af van waar je de lijnen kiest te tekenen.

Correct: Eerst tellen of meten. Aantallen spiralen bij zonnebloemen en dennenappels zijn vaak Fibonacci-getallen, maar niet altijd, en beweringen over kunst vragen om echte metingen.

Spiralen in een zonnebloem

De zaden in een zonnebloem vormen twee families spiralen, een met de klok mee en een tegen de klok in. Hun aantallen zijn heel vaak twee naburige Fibonacci-getallen.

Een gewone zonnebloem heeft 34 spiralen in de ene richting en 55 in de andere. Kleinere bloemen hebben soms 21 en 34, heel grote 89 en 144. Sommige bloemen wijken af, dus tel altijd na.

Trappen lopen

Als je een trap oploopt met telkens 1 of 2 treden tegelijk, volgt het aantal verschillende manieren om boven te komen de regel van Fibonacci.

1 trede: 1 manier. 2 treden: 2 manieren (1 + 1 of 2). 3 treden: 3 manieren. Om trede $n$ te bereiken kwam je laatste stap van trede $n - 1$ (stap van 1) of van trede $n - 2$ (stap van 2), dus manieren($n$) = manieren($n - 1$) + manieren($n - 2$).

Van mijlen naar kilometers

Een mijl is ongeveer $1{,}609$ km, heel dicht bij $\varphi \approx 1{,}618$. Een Fibonacci-getal aan mijlen is dus ongeveer het volgende Fibonacci-getal aan kilometers.

5 mijl $\approx$ 8 km (precies $8{,}05$ km), 8 mijl $\approx$ 13 km (precies $12{,}87$ km), 13 mijl $\approx$ 21 km (precies $20{,}92$ km).

Q: Waarom gaan de verhoudingen naar $1{,}618$ en niet naar een ander getal?

A: Als de verhouding uitkomt op een getal $r$, dan wordt $\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}$ de vergelijking $r = 1 + \frac{1}{r}$, dus $r^2 = r + 1$. De positieve oplossing is $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, de gulden snede. Controle: $1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1$.

Q: Bestaat er een formule voor $F_n$ zonder alle termen uit te schrijven?

A: Ja, de formule van Binet: $F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}$. Hoewel er $\sqrt{5}$ in staat, komt er altijd een geheel getal uit. Het bewijs volgt later bij algebra; voorlopig is termen optellen de betrouwbare manier.

Q: Begint de rij met 0 of met 1?

A: Beide versies komen veel voor. Veel boeken zetten $F_0 = 0$ ervoor: $0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots$ Met $F_0 = 0$ en $F_1 = 1$ houdt elke term zijn nummer ($F_{10} = 55$ in beide gevallen); de plaatsen schuiven alleen op als iemand die $0$ de eerste term noemt. In deze les is $F_1 = F_2 = 1$.

Q: Zit de gulden snede echt in het Parthenon en de Mona Lisa?

A: Waarschijnlijk veel minder dan vaak beweerd wordt. Als je de lijnen vrij mag kiezen, vind je bijna altijd twee lengtes met een verhouding rond $1{,}6$, en er is weinig historisch bewijs dat deze kunstenaars dat zo bedoelden. De spiralen in planten zijn veel beter onderbouwd, en zelfs daar zijn de aantallen niet altijd Fibonacci-getallen.