Bestaat er een formule voor $F_n$ zonder alle termen uit te schrijven?

Ja, de formule van Binet: $F_n = \frac{\varphi^n - (1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}}$. Hoewel er $\sqrt{5}$ in staat, komt er altijd een geheel getal uit. Het bewijs volgt later bij algebra; voorlopig is termen optellen de betrouwbare manier.

Begint de rij met 0 of met 1?

Beide versies komen veel voor. Veel boeken zetten $F_0 = 0$ ervoor: $0, 1, 1, 2, 3, 5, \ldots$ Met $F_0 = 0$ en $F_1 = 1$ houdt elke term zijn nummer ($F_{10} = 55$ in beide gevallen); de plaatsen schuiven alleen op als iemand die $0$ de eerste term noemt. In deze les is $F_1 = F_2 = 1$.

Zit de gulden snede echt in het Parthenon en de Mona Lisa?

Waarschijnlijk veel minder dan vaak beweerd wordt. Als je de lijnen vrij mag kiezen, vind je bijna altijd twee lengtes met een verhouding rond $1{,}6$, en er is weinig historisch bewijs dat deze kunstenaars dat zo bedoelden. De spiralen in planten zijn veel beter onderbouwd, en zelfs daar zijn de aantallen niet altijd Fibonacci-getallen.

Leermiddelen

De rij van Fibonacci

Q: Waarom gaan de verhoudingen naar $1{,}618$ en niet naar een ander getal?

Als de verhouding uitkomt op een getal $r$, dan wordt $\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}$ de vergelijking $r = 1 + \frac{1}{r}$, dus $r^2 = r + 1$. De positieve oplossing is $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$, de gulden snede. Controle: $1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1$.

Leer de rij van Fibonacci kennen, waarin elke term de som is van de twee termen ervoor, ontdek de verborgen patronen en zie waarom de verhouding van buren naar de gulden snede gaat.

Gemiddeld25 minLes

Delen in Classroom

Werkblad om te printen

Definitie

De rij van Fibonacci is de rij getallen

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, \ldots

waarin elke term na de eerste twee de som is van de twee termen ervoor:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

, enzovoort.

Het recursieve voorschrift

We noemen de termen

F_1, F_2, F_3, \ldots

en schrijven:

F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \text{ voor } n \geq 3

Je ziet ook de schrijfwijze

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

. Dit is een recursief voorschrift: om een term te vinden heb je de termen vlak ervoor nodig. Bij een rekenkundige rij tel je steeds hetzelfde verschil

d

op, bij een meetkundige rij vermenigvuldig je steeds met dezelfde reden

r

, maar hier wordt wat je optelt steeds groter.

De konijnen van Fibonacci

In 1202 stelde Leonardo van Pisa, bekend als Fibonacci, een konijnenpuzzel in zijn boek *Liber Abaci*. Tegenwoordig vertelt men hem meestal zo: een pasgeboren paar konijnen wordt in een weide gezet. Een paar is na een maand volwassen, en vanaf dan krijgt elk volwassen paar elke maand een nieuw paar. Er gaat geen konijn dood. Tel je de paren maand na maand, dan krijg je

1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots

(Bij Fibonacci zelf kreeg het eerste paar al in de eerste maand jongen, dus zijn telling begon met

1, 2, 3, 5, \ldots

, dezelfde getallen. Geleerden in India hadden ze al eeuwen eerder gevonden, toen ze ritmes van lange en korte lettergrepen in gedichten telden.)

Verborgen patronen

Elke derde term is even: $F_3 = 2$ , $F_6 = 8$ , $F_9 = 34$ , $F_{12} = 144$ , en alle andere termen zijn oneven.
**Som van de eerste $n$ termen**: $F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1$ . Bijvoorbeeld $1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12 = 13 - 1$ .
Verhouding van buren: $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ komt steeds dichter bij de gulden snede

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Probeer het meteen

Welk getal komt hierna?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

Uitgewerkte voorbeelden

De rij van Fibonacci begint met

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots

Bereken

F_{10}

F_{11}

F_{12}

Zoek de laatste twee bekende termen

F_8 = 21

F_9 = 34

→

F_8 = 21

F_9 = 34

Tel ze op om $F_{10}$ te krijgen

F_{10} = F_9 + F_8 = 34 + 21

→

F_{10} = 55

Tel de twee nieuwste termen op voor $F_{11}$

F_{11} = F_{10} + F_9 = 55 + 34

→

F_{11} = 89

Herhaal dit nog een keer voor $F_{12}$

F_{12} = F_{11} + F_{10} = 89 + 55

→

F_{12} = 144

Antwoord: $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ en $F_{12} = 144$ . Tel altijd de twee meest recente termen op.

Veelgemaakte fouten

De laatste term verdubbelen: $1, 1, 2, 4, 8, 16, \ldots$

Waarom het fout is: Verdubbelen geeft een meetkundige rij. De regel van Fibonacci telt de laatste TWEE termen op, en die zijn niet gelijk (behalve helemaal aan het begin).

Correct: Na $2$ komt $1 + 2 = 3$ , daarna $2 + 3 = 5$ : $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$

De plaatsen verkeerd tellen, bijvoorbeeld zeggen dat $F_{10} = 89$

Waarom het fout is: De eerste twee termen zijn allebei $1$ , dus je slaat er makkelijk een over. Sommige boeken zetten ook een $0$ vooraan ( $0, 1, 1, 2, \ldots$ ); als je die $0$ als eerste term telt, schuift elke plaats één op.

Correct: Schrijf de plaatsen boven de termen: $F_1 = 1$ , $F_2 = 1$ , $F_3 = 2$ , ..., $F_{10} = 55$ , $F_{11} = 89$ . Controleer met welk begin je boek werkt.

Denken dat de verhoudingen gelijkmatig stijgen tot $1{,}618$ , of dat een verhouding precies $\varphi$ is

Waarom het fout is: De verhoudingen springen boven en onder $\varphi$ : $1{,}6$ , $1{,}625$ , $1{,}615$ , $1{,}619$ , ... Elke verhouding is een breuk en $\varphi$ is irrationaal, dus geen enkele verhouding is ooit gelijk aan $\varphi$ .

Correct: Zeg dat de verhoudingen van twee kanten naar $\varphi$ gaan en er zo dicht bij komen als je wilt, maar het nooit bereiken.

Geloven dat elke spiraal en elke mooie rechthoek Fibonacci of gulden is

Waarom het fout is: De schelp van een nautilus is een spiraal, maar de groeifactor is niet $\varphi$ . Veel beweringen over de gulden snede in het Parthenon of de Mona Lisa hangen af van waar je de lijnen kiest te tekenen.

Correct: Eerst tellen of meten. Aantallen spiralen bij zonnebloemen en dennenappels zijn vaak Fibonacci-getallen, maar niet altijd, en beweringen over kunst vragen om echte metingen.

Interactieve visualisatie

Voeg vierkanten met zijde 1, 1, 2, 3, 5, 8... toe en zie de verhouding naar 1,618 gaan

Rechthoek: 5 × 8

De rij

11235

2 + 3 = 5

Elke nieuwe term is de som van de twee termen ervoor.

Verhouding van buren: nieuwe term ÷ term ervoor

1 ÷ 1 = 1< φ
2 ÷ 1 = 2> φ
3 ÷ 2 = 1,5< φ
5 ÷ 3 = 1,66667> φ

De verhoudingen springen boven en onder φ = 1,618034 en komen elke keer dichterbij (nu 0,048633 ervan af).

De konijnen van Fibonacci: paren per maand

Een jong paar wordt in één maand volwassen. Elk volwassen paar krijgt elke maand een jong paar. Er gaat nooit een konijn weg.

Maand	Volwassen	Jong	Totaal
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	2
4	2	1	3

volwassen paarjong paar

Konijnenparen, maand na maand

1123

1 + 2 = 3

Elke nieuwe term is de som van de twee termen ervoor.

Verhouding van buren: nieuwe term ÷ term ervoor

1 ÷ 1 = 1< φ
2 ÷ 1 = 2> φ
3 ÷ 2 = 1,5< φ

De verhoudingen springen boven en onder φ = 1,618034 en komen elke keer dichterbij (nu 0,118034 ervan af).

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Welk getal komt hierna?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots

Waarom het belangrijk is

De rij van Fibonacci is een van de bekendste patronen in de wiskunde en duikt op verrassende plekken op:

Planten: veel zonnebloemen hebben 34 spiralen in de ene richting en 55 in de andere, dennenappels vaak 8 en 13, ananassen ook 8 en 13. Als zaden steeds onder dezelfde draaihoek (ongeveer $137{,}5°$ , verbonden met $\varphi$ ) worden geplaatst, liggen ze gelijkmatig verdeeld, bijna zonder gaten, en daaruit volgen de Fibonacci-aantallen spiralen.
Tellen: het aantal manieren om een trap op te lopen met telkens 1 of 2 treden is een Fibonacci-getal.
Eenheden: omdat $\varphi \approx 1{,}618$ dicht bij $1{,}609$ (kilometer per mijl) ligt, rekenen buurgetallen van Fibonacci mijlen om naar kilometers: 5 mijl is ongeveer 8 km, 8 mijl ongeveer 13 km.
Recursief denken: elke stap opbouwen uit de vorige stappen is hoe veel computerprogramma's en groeimodellen werken.

Eerlijk gezegd: niet elke spiraal in de natuur is een Fibonacci-spiraal, tellingen bij planten zitten er soms één naast, en veel beweringen over de gulden snede in beroemde schilderijen en gebouwen zijn overdreven. Een goede wiskundige controleert de getallen voordat ze het verhaal gelooft.

Toepassingen in de echte wereld

Spiralen in een zonnebloem

De zaden in een zonnebloem vormen twee families spiralen, een met de klok mee en een tegen de klok in. Hun aantallen zijn heel vaak twee naburige Fibonacci-getallen.

Voorbeeld:

Een gewone zonnebloem heeft 34 spiralen in de ene richting en 55 in de andere. Kleinere bloemen hebben soms 21 en 34, heel grote 89 en 144. Sommige bloemen wijken af, dus tel altijd na.

1Probeer het zelf

Een reuzenzonnebloem heeft 55 spiralen met de klok mee. Haar spiralen tegen de klok in volgen het volgende Fibonacci-getal.

Hoeveel spiralen tegen de klok in verwacht je?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Tel 55 op bij het Fibonacci-getal vlak ervoor:

Trappen lopen

Als je een trap oploopt met telkens 1 of 2 treden tegelijk, volgt het aantal verschillende manieren om boven te komen de regel van Fibonacci.

Voorbeeld:

1 trede: 1 manier. 2 treden: 2 manieren (1 + 1 of 2). 3 treden: 3 manieren. Om trede $n$ te bereiken kwam je laatste stap van trede $n - 1$ (stap van 1) of van trede $n - 2$ (stap van 2), dus manieren( $n$ ) = manieren( $n - 1$ ) + manieren( $n - 2$ ).

2Probeer het zelf

Een trap heeft 8 treden. Je neemt 1 of 2 treden tegelijk. 1 trede geeft 1 manier, 2 treden geven 2 manieren, en elk volgend aantal is de som van de twee vorige.

Op hoeveel verschillende manieren kun je alle 8 treden oplopen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Tel de manieren voor 6 en 7 treden op:

Van mijlen naar kilometers

Een mijl is ongeveer $1{,}609$ km, heel dicht bij $\varphi \approx 1{,}618$. Een Fibonacci-getal aan mijlen is dus ongeveer het volgende Fibonacci-getal aan kilometers.

Voorbeeld:

5 mijl $\approx$ 8 km (precies $8{,}05$ km), 8 mijl $\approx$ 13 km (precies $12{,}87$ km), 13 mijl $\approx$ 21 km (precies $20{,}92$ km).

3Probeer het zelf

Een fietsroute is 21 mijl lang. Je wilt snel schatten hoeveel kilometer dat is.

Hoeveel kilometer is 21 mijl ongeveer?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik het Fibonacci-getal na 21:

Belangrijke punten

1De rij van Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ volgt het recursieve voorschrift $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ met $F_1 = F_2 = 1$
2Het konijnenprobleem van Fibonacci (1202) geeft maand na maand precies deze getallen
3Elke derde term is even ( $F_3, F_6, F_9, \ldots$ ) en alle andere zijn oneven
4De som van de eerste $n$ termen is $F_{n+2} - 1$
5De verhouding $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ gaat naar de gulden snede $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ en ligt om beurten erboven en eronder
6Andere startgetallen, zoals de getallen van Lucas $2, 1, 3, 4, 7, \ldots$ , hebben dezelfde limiet $\varphi$ ; Fibonacci-getallen komen vaak voor in planten, maar niet in elke spiraal

Veelgestelde vragen

Als de verhouding uitkomt op een getal

r

, dan wordt

\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n}

de vergelijking

r = 1 + \frac{1}{r}

, dus

r^2 = r + 1

. De positieve oplossing is

r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

, de gulden snede. Controle:

1{,}618^2 \approx 2{,}618 = 1{,}618 + 1

Woordenlijst

Rij van Fibonacci: De rij $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ waarin elke term de som is van de twee termen ervoor
Recursief voorschrift: Een regel die elke term uit eerdere termen berekent, zoals $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$
Gulden snede ( $\varphi$ ): Het getal $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ , de limiet van de verhouding van naburige Fibonacci-getallen
Getallen van Lucas: De rij $2, 1, 3, 4, 7, 11, \ldots$ , gemaakt met de regel van Fibonacci vanuit de startgetallen 2 en 1
Gulden spiraal: De spiraal van kwartcirkels getekend in vierkanten waarvan de zijden Fibonacci-getallen zijn

Formulekaart

Recursief voorschrift

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}

F_1 = F_2 = 1

Elke term is de som van de twee termen ervoor

Som van de eerste $n$ termen

F_1 + F_2 + \cdots + F_n = F_{n+2} - 1

Eén minder dan de term twee plaatsen verder

Gulden snede

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

De limiet van $\frac{F_{n+1}}{F_n}$

Belangrijke eigenschap van $\varphi$

\varphi^2 = \varphi + 1

$\varphi$ kwadrateren is hetzelfde als er 1 bij optellen

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Het recursieve voorschrift

De konijnen van Fibonacci

Verborgen patronen

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Spiralen in een zonnebloem

Trappen lopen

Van mijlen naar kilometers

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Recursief voorschrift

Som van de eerste $n$ termen

Gulden snede

Belangrijke eigenschap van $\varphi$

Meer over dit onderwerp

Introductie tot rijen

Rekenkundige rijen

Meetkundige rijen