Eerlijke dobbelsteenworp

Wat is de verwachtingswaarde bij het werpen van een eerlijke zeszijdige dobbelsteen?

Maak een lijst van alle uitkomsten en hun kansen: Uitkomsten: $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Elk heeft kans $\frac{1}{6}$ = 6 even waarschijnlijke uitkomsten

Pas de verwachtingswaardeformule toe: $E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$ = Som van gewogen uitkomsten

Vereenvoudig de berekening: $E(X) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{21}{6}$ = $\frac{21}{6} = 3{,}5$

Answer: $E(X) = 3{,}5$. Gemiddeld verwacht je 3,5 te gooien (ook al kun je nooit echt 3,5 gooien)!

Loterijlot

Een loterijlot kost 2 euro. Je hebt 1% kans om 100 euro te winnen en 99% kans om niets te winnen. Wat is de verwachtingswaarde van het kopen van een lot?

Identificeer uitkomsten en kansen: Winst: 100 euro met $P = 0{,}01$. Verlies: 0 euro met $P = 0{,}99$ = Twee mogelijke uitkomsten

Bereken de verwachte winst: $E(\text{winst}) = 100 \cdot 0{,}01 + 0 \cdot 0{,}99 = 1$ euro = Verwachte winst: 1 euro

Trek de kosten van het lot af: $E(\text{winst}) = 1 - 2 = -1$ euro = Verwacht verlies van 1 euro

Answer: $E(\text{winst}) = -1$ euro. Gemiddeld verlies je 1 euro per lot. Daarom zijn loterijen winstgevend voor de organisatoren!

Spel met oneerlijke munt

Een oneerlijke munt landt 70% van de tijd op kop. Je wint 5 euro voor kop en verliest 8 euro voor munt. Wat is de verwachtingswaarde van één worp?

Wijs waarden en kansen toe: Kop: +5 euro, $P = 0{,}70$. Munt: $-8$ euro, $P = 0{,}30$ = Eén positieve, één negatieve uitkomst

Pas de verwachtingswaardeformule toe: $E(X) = 5 \cdot 0{,}70 + (-8) \cdot 0{,}30$ = $E(X) = 3{,}5 + (-2{,}4)$

Bereken het eindresultaat: $E(X) = 3{,}5 - 2{,}4 = 1{,}1$ = $E(X) = 1{,}1$ euro

Answer: $E(X) = 1{,}1$ euro. Gemiddeld win je 1,10 euro per worp. Dit is een gunstig spel!

Verwachte verzekeringskosten

Een verzekeringsmaatschappij weet dat 2% van de klanten een claim zal indienen van gemiddeld 5000 euro. De jaarlijkse premie is 150 euro. Wat is de verwachte winst per klant?

Bereken de verwachte uitbetaling: $E(\text{uitbetaling}) = 5000 \cdot 0{,}02 + 0 \cdot 0{,}98 = 100$ euro = Verwachte uitbetaling: 100 euro per klant

Bereken de verwachte winst: $E(\text{winst}) = \text{premie} - E(\text{uitbetaling})$ = $E(\text{winst}) = 150 - 100$

Vind het antwoord: $E(\text{winst}) = 50$ euro per klant = 50 euro winst gemiddeld

Answer: De verzekeringsmaatschappij verwacht gemiddeld 50 euro winst per klant te maken. Zo blijven verzekeringsmaatschappijen in bedrijf!

Mistake: Vergeten dat de verwachtingswaarde een niet-geheel getal kan zijn (zoals 3,5 bij een dobbelsteen)

Why: De verwachtingswaarde is een theoretisch gemiddelde, geen werkelijke uitkomst. Je kunt geen 3,5 gooien, maar over vele worpen zal je gemiddelde 3,5 naderen.

Correct: Begrijp dat de verwachtingswaarde het langetermijngemiddelde vertegenwoordigt, niet een specifieke uitkomst die je zult krijgen.

Mistake: Gelijke kansen gebruiken wanneer uitkomsten niet even waarschijnlijk zijn

Why: Een oneerlijke munt of gewogen dobbelsteen heeft verschillende kansen voor elke uitkomst.

Correct: Controleer altijd of uitkomsten even waarschijnlijk zijn. Gebruik de werkelijke kans voor elke uitkomst.

Mistake: Vergeten de kosten af te trekken bij het berekenen van de verwachte winst

Why: 10 euro winnen is geen winst als je 15 euro hebt betaald om te spelen!

Correct: $E(\text{winst}) = E(\text{opbrengst}) - \text{kosten}$

Mistake: Kansen optellen in plaats van uitkomst maal kans vermenigvuldigen

Why: De formule is $x \cdot P(x)$, niet $x + P(x)$.

Correct: Elke uitkomst moet worden vermenigvuldigd met zijn kans, tel dan alle producten op.

Casinospellen en huisvoordeel

Casino's ontwerpen spellen zodat de verwachtingswaarde altijd het huis begunstigt. Bij roulette betekent het huisvoordeel dat spelers gemiddeld ongeveer 2,7% (Europees) of 5,3% (Amerikaans) van hun inzetten verliezen.

Bij Europese roulette geeft 10 euro inzetten op rood: $E = 10 \cdot \frac{18}{37} + (-10) \cdot \frac{19}{37} \approx -0{,}27$ euro. Je verliest gemiddeld 27 cent per inzet van 10 euro.

Investeringsbeslissingen

Investeerders gebruiken de verwachtingswaarde om verschillende investeringsopties te vergelijken door potentiële rendementen af te wegen tegen hun kansen.

Aandeel A heeft 60% kans op 20% winst en 40% kans op 10% verlies. $E(\text{rendement}) = 0{,}20 \cdot 0{,}60 + (-0{,}10) \cdot 0{,}40 = 0{,}08 = 8\%$ verwacht rendement.

Spelshowstrategie

Deelnemers aan spelshows gebruiken de verwachtingswaarde om te beslissen of ze een gegarandeerde prijs houden of deze riskeren voor een kans op iets groters.

Je hebt 1000 euro gewonnen. Je kunt het houden of een munt opgooien: kop wint 2500 euro, munt wint niets. $E(\text{gooien}) = 2500 \cdot 0{,}5 + 0 \cdot 0{,}5 = 1250$ euro. Wiskundig gezien zou je moeten gooien!

Q: Waarom is de verwachtingswaarde van een dobbelsteen 3,5 als ik nooit 3,5 kan gooien?

A: De verwachtingswaarde is het gemiddelde over vele proeven, niet een enkele uitkomst. Als je een dobbelsteen 1000 keer gooit en het gemiddelde neemt, krijg je heel dicht bij 3,5. Het is het theoretische centrum van de verdeling.

Q: Wat is het verschil tussen verwachtingswaarde en modus of mediaan?

A: De verwachtingswaarde (gemiddelde) weegt uitkomsten naar hun kans. De modus is de meest waarschijnlijke uitkomst, en de mediaan is de middelste waarde. Voor een eerlijke dobbelsteen: gemiddelde = 3,5, modus = geen (allemaal even waarschijnlijk), mediaan = 3,5.

Q: Kan de verwachtingswaarde negatief zijn?

A: Ja! Als verliezen gemiddeld groter zijn dan winsten, is de verwachtingswaarde negatief. De meeste gokspellen hebben een negatieve verwachtingswaarde voor spelers, daarom zijn casino's winstgevend.

Q: Moet ik altijd de optie met de hoogste verwachtingswaarde kiezen?

A: Niet per se. De verwachtingswaarde negeert risicotolerantie. Zou je al je spaargeld inzetten op een muntopgooi die het verdubbelt of verliest? De verwachtingswaarde is positief, maar de meeste mensen zouden dat risico niet nemen.