Verwachtingswaarde
Leer hoe je het gemiddelde resultaat van een willekeurige gebeurtenis over vele proeven berekent.
Definitie
Probeer het meteen
Uitgewerkte voorbeelden
Wat is de verwachtingswaarde bij het werpen van een eerlijke zeszijdige dobbelsteen?
Maak een lijst van alle uitkomsten en hun kansen
Uitkomsten: . Elk heeft kans → 6 even waarschijnlijke uitkomsten
Pas de verwachtingswaardeformule toe
→ Som van gewogen uitkomsten
Vereenvoudig de berekening
→
Antwoord: . Gemiddeld verwacht je 3,5 te gooien (ook al kun je nooit echt 3,5 gooien)!
Veelgemaakte fouten
Vergeten dat de verwachtingswaarde een niet-geheel getal kan zijn (zoals 3,5 bij een dobbelsteen)
Waarom het fout is: De verwachtingswaarde is een theoretisch gemiddelde, geen werkelijke uitkomst. Je kunt geen 3,5 gooien, maar over vele worpen zal je gemiddelde 3,5 naderen.
Correct: Begrijp dat de verwachtingswaarde het langetermijngemiddelde vertegenwoordigt, niet een specifieke uitkomst die je zult krijgen.
Gelijke kansen gebruiken wanneer uitkomsten niet even waarschijnlijk zijn
Waarom het fout is: Een oneerlijke munt of gewogen dobbelsteen heeft verschillende kansen voor elke uitkomst.
Correct: Controleer altijd of uitkomsten even waarschijnlijk zijn. Gebruik de werkelijke kans voor elke uitkomst.
Vergeten de kosten af te trekken bij het berekenen van de verwachte winst
Waarom het fout is: 10 euro winnen is geen winst als je 15 euro hebt betaald om te spelen!
Correct:
Kansen optellen in plaats van uitkomst maal kans vermenigvuldigen
Waarom het fout is: De formule is , niet .
Correct: Elke uitkomst moet worden vermenigvuldigd met zijn kans, tel dan alle producten op.
Interactieve visualisatie
Dobbelstenen gooien
Klik op de knop om pogingen uit te voeren en kans in actie te zien!
Staafdiagram
Interactieve sandbox
Expressiecalculator
Probeer deze:
Geschiedenis
Nog geen berekeningen
Oefenproblemen
16 opgavenWat vertegenwoordigt de verwachtingswaarde van een willekeurig experiment?
Waarom het belangrijk is
- Casinospellen: Casino's stellen uitbetalingen in zodat de verwachtingswaarde het huis begunstigt
- Verzekeringen: Bedrijven berekenen verwachte uitbetalingen om premieprijzen vast te stellen
- Investeringen: Investeerders vergelijken verwachte rendementen om beslissingen te nemen
- Speltheorie: De verwachtingswaarde helpt bij het bepalen van optimale strategieën
- Kwaliteitscontrole: Fabrikanten voorspellen gemiddelde defectpercentages
Toepassingen in de echte wereld
Casinospellen en huisvoordeel
Casino's ontwerpen spellen zodat de verwachtingswaarde altijd het huis begunstigt. Bij roulette betekent het huisvoordeel dat spelers gemiddeld ongeveer 2,7% (Europees) of 5,3% (Amerikaans) van hun inzetten verliezen.
Voorbeeld:
Bij Europese roulette geeft 10 euro inzetten op rood: euro. Je verliest gemiddeld 27 cent per inzet van 10 euro.
Een spel betaalt 35 keer je inzet als je het exacte nummer raadt op een roulettewiel (37 nummers totaal). Je zet 1 euro in.
Wat is de verwachtingswaarde van deze weddenschap?
Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking
Bereken:
Investeringsbeslissingen
Investeerders gebruiken de verwachtingswaarde om verschillende investeringsopties te vergelijken door potentiële rendementen af te wegen tegen hun kansen.
Voorbeeld:
Aandeel A heeft 60% kans op 20% winst en 40% kans op 10% verlies. verwacht rendement.
Investering B heeft 30% kans op 50% winst en 70% kans op 5% winst.
Wat is het verwachte rendement van investering B?
Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking
Bereken:
Spelshowstrategie
Deelnemers aan spelshows gebruiken de verwachtingswaarde om te beslissen of ze een gegarandeerde prijs houden of deze riskeren voor een kans op iets groters.
Voorbeeld:
Je hebt 1000 euro gewonnen. Je kunt het houden of een munt opgooien: kop wint 2500 euro, munt wint niets. euro. Wiskundig gezien zou je moeten gooien!
Je hebt 500 euro gewonnen. Je kunt het houden OF een rad draaien: 25% kans op 3000 euro, 75% kans op 0 euro.
Wat zou je moeten doen op basis van de verwachtingswaarde?
Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking
Bereken:
Belangrijke punten
- 1De verwachtingswaarde is het langetermijngemiddelde van een vele malen herhaald willekeurig experiment
- 2Formule: (som van elke uitkomst maal zijn kans)
- 3De verwachtingswaarde kan een getal zijn dat je nooit echt kunt krijgen (zoals 3,5 bij een dobbelsteen)
- 4Positieve verwachtingswaarde betekent dat je gemiddeld wint; negatief betekent dat je verliest
- 5Om de verwachte winst te vinden, trek de kosten af van de verwachte opbrengst
Veelgestelde vragen
Woordenlijst
- Verwachtingswaarde
- Het langetermijngemiddelde van een willekeurig experiment, berekend als de som van elke uitkomst maal zijn kans. Notatie:
- Stochast
- Een variabele waarvan de waarde afhangt van de uitkomst van een willekeurige gebeurtenis
- Kansverdeling
- Een lijst van alle mogelijke uitkomsten en hun kansen
- Gewogen gemiddelde
- Een gemiddelde waarbij sommige waarden meer bijdragen dan andere, op basis van hun gewichten (hier: kansen)
- Huisvoordeel
- De verwachte winst van het casino als percentage van elke inzet