Een eerlijke dobbelsteen gooien

Maak een kansverdeling voor het gooien van een eerlijke dobbelsteen.

Identificeer alle mogelijke uitkomsten: Een dobbelsteen kan 1, 2, 3, 4, 5 of 6 tonen = 6 uitkomsten

Bepaal de kans van elke uitkomst: Eerlijke dobbelsteen betekent dat elke zijde even waarschijnlijk is: $P = \frac{1}{6}$ = $P(x) = \frac{1}{6}$ voor elk

Controleer of de kansen optellen tot 1: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ = Geldige verdeling

Schrijf de verdelingstabel: | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | $P(x)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ | = Uniforme verdeling

Answer: Dit wordt een **uniforme verdeling** genoemd omdat alle uitkomsten dezelfde kans hebben van $\frac{1}{6} \approx 0,167$.

Som van twee dobbelstenen

Maak een kansverdeling voor de som bij het gooien van twee dobbelstenen.

Vind alle mogelijke sommen: Minimum: $1+1=2$, Maximum: $6+6=12$ = Sommen lopen van 2 tot 12

Tel het totaal aantal uitkomsten: Dobbelsteen 1 heeft 6 opties, Dobbelsteen 2 heeft 6 opties: $6 \times 6 = 36$ = 36 totale uitkomsten

Tel de manieren om elke som te krijgen: Som 2: (1,1) = 1 manier Som 3: (1,2), (2,1) = 2 manieren Som 4: (1,3), (2,2), (3,1) = 3 manieren Som 7: 6 manieren (meest voorkomend) = Elke som heeft andere frequentie

Bereken de kansen: $P(2) = \frac{1}{36}$, $P(3) = \frac{2}{36}$, $P(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ = Niet uniform!

Answer: De verdeling is **niet uniform** - som 7 is het meest waarschijnlijk ($P = \frac{1}{6}$), terwijl 2 en 12 het minst waarschijnlijk zijn ($P = \frac{1}{36}$).

Berekening van de verwachtingswaarde

Een spel kost 2 euro om te spelen. Je wint 10 euro als je een 6 gooit met een eerlijke dobbelsteen, anders niets. Wat is de verwachtingswaarde?

Identificeer uitkomsten en uitbetalingen: Gooi 6: Win 10 euro, Nettowinst = 10 - 2 = 8 euro Gooi 1-5: Win 0 euro, Nettowinst = 0 - 2 = -2 euro = Twee mogelijke netto-uitkomsten: 8 of -2

Vind de kansen: $P(\text{gooi 6}) = \frac{1}{6}$ $P(\text{gooi 1-5}) = \frac{5}{6}$ = Kansen gevonden

Pas de verwachtingswaarde-formule toe: $E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$ $E(X) = 8 \cdot \frac{1}{6} + (-2) \cdot \frac{5}{6}$ = $E(X) = \frac{8}{6} - \frac{10}{6}$

Bereken: $E(X) = \frac{8-10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ = $E(X) \approx -0,33$ euro

Answer: De verwachtingswaarde is $-\frac{1}{3}$ euro (ongeveer -33 cent). Gemiddeld verlies je 33 cent per spel - het spel bevoordeelt het huis!

Mistake: Kansen die niet optellen tot 1

Why: Een geldige kansverdeling MOET alle kansen hebben die exact optellen tot 1. Anders heb je een uitkomst vergeten of een rekenfout gemaakt.

Correct: Controleer altijd: $\sum P(x_i) = 1$. Als de som kleiner is dan 1, ontbreken er uitkomsten. Als groter, heb je iets dubbel geteld.

Mistake: Kans verwarren met frequentie

Why: Frequentie is een telling (bijv. '6 manieren om een 7 te gooien'), terwijl kans een verhouding is (bijv. '$P(7) = 6/36$').

Correct: Kans = gunstige uitkomsten gedeeld door totale uitkomsten. Druk het altijd uit als breuk, decimaal of percentage.

Mistake: Aannemen dat alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn

Why: Veel verdelingen zijn NIET uniform. Met twee dobbelstenen is som 7 waarschijnlijker dan som 2.

Correct: Tel zorgvuldig de manieren om elke uitkomst te bereiken. Alleen eenvoudige experimenten (enkele dobbelsteen, muntwerp) zijn doorgaans uniform.

Kwaliteitscontrole in productie

Fabrieken gebruiken kansverdelingen om te voorspellen hoeveel defecte items er worden geproduceerd.

Als een machine 1000 items produceert en een defectpercentage van 2% heeft, is het verwachte aantal defecten $1000 \times 0,02 = 20$.

Risicobeoordeling bij verzekeringen

Verzekeringsmaatschappijen gebruiken kansverdelingen om eerlijke premies te berekenen op basis van de kans op claims.

Als 5% van de bestuurders claims indient met een gemiddelde van 5000 euro, is de verwachte uitbetaling per bestuurder $0,05 \times 5000 = 250$ euro.

Q: Wat is het verschil tussen discrete en continue verdelingen?

A: Discrete verdelingen hebben telbare uitkomsten (zoals dobbelsteenworpen: 1, 2, 3, 4, 5, 6). Continue verdelingen hebben ontelbare uitkomsten (zoals lengte, die elke waarde in een bereik kan zijn). Deze les richt zich op discrete verdelingen.

Q: Kan een kans negatief zijn?

A: Nee! Kansen liggen altijd tussen 0 en 1 (inclusief). Een kans van 0 betekent onmogelijk, en 1 betekent zeker.

Q: Wat vertelt de verwachtingswaarde ons?

A: De verwachtingswaarde is de gemiddelde uitkomst als je het experiment vele malen zou herhalen. Het betekent niet dat je precies die waarde krijgt - het is een langetermijngemiddelde.