Steekproevenverdelingen

Een **parameter** is een getal dat een hele **populatie** beschrijft, bijvoorbeeld het populatiegemiddelde (de verwachtingswaarde) $\mu$, de standaarddeviatie $\sigma$ of de populatieproportie $p$. Een **steekproefgrootheid** (statistiek) is een getal dat je uit een **steekproef** berekent, bijvoorbeeld het steekproefgemiddelde $\bar{x}$ of de steekproefproportie $\hat{p}$. De parameter ligt vast (maar is meestal onbekend); de steekproefgrootheid verandert van steekproef tot steekproef. De **steekproevenverdeling** van een steekproefgrootheid is de verdeling van haar waarden over alle mogelijke aselecte steekproeven van dezelfde omvang $n$. ## Steekproevenverdeling van het gemiddelde $\bar{x}$ - **Centrum:** $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (steekproefgemiddelden liggen rond het populatiegemiddelde) - **Spreiding:** $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, de **standaardfout** - **Vorm (centrale limietstelling):** is de populatie normaal verdeeld, dan is $\bar{x}$ normaal verdeeld voor elke $n$. Zo niet, dan is $\bar{x}$ bij grote $n$ toch ongeveer normaal verdeeld, meestal vanaf $n \geq 30$. Een kans over een steekproefgemiddelde bereken je dus met de z-score $$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$$ ## Steekproevenverdeling van de proportie $\hat{p}$ - **Centrum:** $\mu_{\hat{p}} = p$ - **Spreiding:** $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ - **Vorm:** ongeveer normaal verdeeld als $np \geq 10$ en $n(1-p) \geq 10$ Deze formules gaan uit van een aselecte steekproef met onafhankelijke waarden (in de praktijk: de steekproef is kleiner dan ongeveer 10 % van de populatie).

Parameter of steekproefgrootheid?

Een school heeft 1200 leerlingen. Hun gemiddelde lengte is 165 cm. Een klassenproject meet een aselecte steekproef van 50 leerlingen en vindt een gemiddelde lengte van 163,2 cm. Welk getal is een parameter en welk een steekproefgrootheid?

Zoek het getal dat de hele populatie beschrijft: 165 cm is het gemiddelde van alle 1200 leerlingen = Parameter: $\mu = 165$ cm

Zoek het getal dat uit de steekproef komt: 163,2 cm is het gemiddelde van de 50 gemeten leerlingen = Steekproefgrootheid: $\bar{x} = 163{,}2$ cm

Denk aan een tweede steekproef: Een andere aselecte steekproef van 50 leerlingen geeft een iets ander gemiddelde, bijvoorbeeld 166,0 cm = $\bar{x}$ varieert, $\mu$ ligt vast

Answer: $\mu = 165$ cm is de parameter, $\bar{x} = 163{,}2$ cm is een steekproefgrootheid. De steekproefgrootheid verandert van steekproef tot steekproef, en precies dat beschrijft een steekproevenverdeling.

Centrum en standaardfout van het steekproefgemiddelde

Examencijfers hebben gemiddelde $\mu = 70$ en standaarddeviatie $\sigma = 15$. Je neemt aselecte steekproeven van $n = 36$ leerlingen. Bepaal het gemiddelde en de standaardfout van $\bar{x}$. Wat gebeurt er bij $n = 100$?

Centrum van de steekproevenverdeling: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ = $\mu_{\bar{x}} = 70$

Standaardfout bij $n = 36$: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{36}} = \dfrac{15}{6}$ = $\sigma_{\bar{x}} = 2{,}5$

Standaardfout bij $n = 100$: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{15}{\sqrt{100}} = \dfrac{15}{10}$ = $\sigma_{\bar{x}} = 1{,}5$

Answer: De steekproefgemiddelden liggen rond 70. Hun standaardfout is 2,5 bij $n = 36$ en maar 1,5 bij $n = 100$: grotere steekproeven geven gemiddelden die dichter bij $\mu$ blijven.

Wanneer is het steekproefgemiddelde normaal verdeeld?

Wachttijden bij een callcenter zijn sterk scheef naar rechts, met $\mu = 8$ minuten en $\sigma = 6$ minuten. Beschrijf de steekproevenverdeling van $\bar{x}$ voor steekproeven van $n = 4$ gesprekken en van $n = 40$ gesprekken.

Centrum voor beide steekproefomvangen: $\mu_{\bar{x}} = \mu$, wat $n$ ook is = Centrum 8 minuten

Standaardfout bij $n = 4$: $\dfrac{6}{\sqrt{4}} = \dfrac{6}{2}$ = 3 minuten

Vorm bij $n = 4$: De populatie is niet normaal verdeeld en $n = 4$ is klein, dus de centrale limietstelling helpt nog niet = Nog steeds scheef naar rechts

Standaardfout en vorm bij $n = 40$: $\dfrac{6}{\sqrt{40}} \approx \dfrac{6}{6{,}32}$, en $n = 40 \geq 30$ = Ongeveer 0,95 minuut, ongeveer normaal

Answer: Beide verdelingen liggen rond 8 minuten. Bij $n = 4$ zijn de gemiddelden sterk verspreid (standaardfout 3) en nog scheef; bij $n = 40$ liggen ze dicht bij elkaar (standaardfout ongeveer 0,95) en zijn ze volgens de centrale limietstelling ongeveer normaal verdeeld.

Kans over een steekproefgemiddelde

Telefoonaccu's gaan gemiddeld $\mu = 50$ uur mee met $\sigma = 12$ uur. Een winkel test een aselecte steekproef van 36 accu's. Hoe groot is de kans dat het steekproefgemiddelde onder 47 uur ligt? Vergelijk met de kans dat ÉÉN accu minder dan 47 uur meegaat.

Controleer de vorm: $n = 36 \geq 30$, dus volgens de centrale limietstelling is $\bar{x}$ ongeveer normaal verdeeld = We mogen z-scores gebruiken

Bepaal de standaardfout: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6}$ = 2 uur

Bereken de z-score van $\bar{x} = 47$: $z = \dfrac{47 - 50}{2}$ = $z = -1{,}5$

Lees de z-tabel af: $P(Z < -1{,}5) = 0{,}0668$ = Ongeveer 6,7 %

Vergelijk met één accu (als de levensduur normaal verdeeld is): $z = \dfrac{47 - 50}{12} = -0{,}25$, $P(Z < -0{,}25) = 0{,}4013$ = Ongeveer 40 %

Answer: $P(\bar{x} < 47) \approx 0{,}0668$, dus maar ongeveer 6,7 %. Eén accu onder 47 uur komt vaak voor (ongeveer 40 %), maar zo'n laag gemiddelde van 36 accu's is zeldzaam, omdat gemiddelden veel minder variëren dan losse waarden.

Steekproevenverdeling van een proportie

In een stad is 40 % van de volwassenen voor een nieuw park ($p = 0{,}4$). Een krant ondervraagt een aselecte steekproef van $n = 100$ volwassenen. Beschrijf de steekproevenverdeling van $\hat{p}$ en bepaal de kans dat meer dan de helft van de steekproef voor het park is.

Controleer de voorwaarden: $np = 100 \cdot 0{,}4 = 40 \geq 10$ en $n(1-p) = 100 \cdot 0{,}6 = 60 \geq 10$ = Ongeveer normaal verdeeld

Centrum en standaardfout: $\mu_{\hat{p}} = 0{,}4$, $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{0{,}4 \cdot 0{,}6}{100}} = \sqrt{0{,}0024}$ = $\sigma_{\hat{p}} \approx 0{,}049$

Bereken de z-score van $\hat{p} = 0{,}5$: $z = \dfrac{0{,}5 - 0{,}4}{0{,}049}$ = $z \approx 2{,}04$

Bepaal de oppervlakte rechts: $P(Z > 2{,}04) = 1 - 0{,}9793$ = $\approx 0{,}0207$

Answer: $\hat{p}$ is ongeveer normaal verdeeld met gemiddelde 0,4 en standaardfout ongeveer 0,049. De kans dat de peiling een meerderheid (meer dan 50 %) laat zien, is maar ongeveer 2 %.

Bijna elk getal uit een enquête in het nieuws is een steekproefgrootheid, geen parameter: - **Peilingen**: een peiling onder 1000 kiezers schat het aandeel onder alle kiezers. De standaardfout vertelt je hoe ver de peiling waarschijnlijk van de werkelijkheid af zit. - **Kwaliteitscontrole**: een fabriek controleert het gemiddelde gewicht van een steekproef pakken in plaats van elk pak te wegen. - **Geneeskunde**: een klinisch onderzoek meet het gemiddelde effect bij een paar honderd patiënten en trekt conclusies voor iedereen. - **Wetenschap**: het gemiddelde van herhaalde metingen verkleint de toevallige fout. Het kernidee: de standaardfout $\sigma / \sqrt{n}$ wordt kleiner als de steekproef groeit. Vier keer zoveel mensen halveren de fout, daarom zijn grotere peilingen nauwkeuriger. De centrale limietstelling laat je daarna de normale verdeling, z-scores en de z-tabel gebruiken die je al kent, ook als de populatie zelf niet normaal verdeeld is.

Mistake: Bij een vraag over een steekproefgemiddelde $\sigma$ gebruiken in plaats van $\sigma / \sqrt{n}$

Why: $\sigma$ is de spreiding van losse waarden. Gemiddelden variëren veel minder, dus met $\sigma$ lijken ongewone gemiddelden veel te waarschijnlijk.

Correct: Deel bij $\bar{x}$ altijd door de standaardfout: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$. Voor één waarde geldt $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$.

Mistake: Delen door $n$ in plaats van door $\sqrt{n}$

Why: Met $\sigma = 12$ en $n = 36$ geeft delen door $n$ de waarde $0{,}33$ in plaats van de juiste standaardfout $2$, waardoor elke z-score 6 keer te groot wordt.

Correct: Neem eerst de wortel uit $n$: $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$.

Mistake: Denken dat de centrale limietstelling de populatie of de gegevens normaal maakt

Why: Een grote steekproef uit een scheve populatie is nog steeds scheef: het histogram lijkt op de populatie. Alleen de verdeling van de steekproef-GEMIDDELDEN wordt normaal.

Correct: De centrale limietstelling gaat over de steekproevenverdeling van $\bar{x}$, niet over losse waarden.

Mistake: Voor $\hat{p}$ de normale verdeling gebruiken zonder $np \geq 10$ en $n(1-p) \geq 10$ te controleren

Why: Met $p = 0{,}05$ en $n = 40$ is $np = 2$: de meeste steekproeven hebben 0, 1, 2 of 3 successen en de verdeling van $\hat{p}$ is erg scheef.

Correct: Controleer eerst beide voorwaarden. Klopt er één niet, neem dan een grotere steekproef of gebruik de binomiale verdeling.

Verkiezingspeilingen

Peilingbureaus ondervragen ongeveer 1000 mensen en geven een foutmarge. Die marge komt rechtstreeks uit de standaardfout van $\hat{p}$.

Als de werkelijke steun $p = 0{,}5$ is, heeft een peiling onder 1000 mensen standaardfout $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$, dus ongeveer 95 % van zulke peilingen zit hooguit zo'n 3 procentpunt naast de werkelijkheid.

Kwaliteitscontrole in een koffiebar

Machines die bekers vullen worden bewaakt met het gemiddelde van kleine steekproeven. Ligt een gemiddelde, gemeten in standaardfouten, te ver van de streefwaarde, dan gaat er een alarm af.

Een machine vult bekers met $\mu = 250$ mL en $\sigma = 8$ mL. Een controleur meet 16 bekers, dus de standaardfout is $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

Een medisch onderzoek plannen

Voordat een onderzoek begint, kiezen onderzoekers de steekproefomvang zo dat de standaardfout klein genoeg is. Door de wortel heb je voor een halve fout vier keer zoveel patiënten nodig.

Bloeddruk heeft $\sigma = 20$ mmHg. Met 25 patiënten is de standaardfout $20 / 5 = 4$ mmHg, met 100 patiënten $20 / 10 = 2$ mmHg.

Een parameter ($\mu$, $\sigma$, $p$) beschrijft de populatie en ligt vast; een steekproefgrootheid ($\bar{x}$, $\hat{p}$) komt uit een steekproef en varieert van steekproef tot steekproef

De steekproevenverdeling van $\bar{x}$ heeft gemiddelde $\mu$ en standaardfout $\sigma / \sqrt{n}$

Centrale limietstelling: vanaf ongeveer $n \geq 30$ is het steekproefgemiddelde ongeveer normaal verdeeld, welke vorm de populatie ook heeft; is de populatie normaal verdeeld, dan voor elke $n$

Voor een kans over een steekproefgemiddelde gebruik je $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ en de z-tabel

De steekproefproportie $\hat{p}$ heeft gemiddelde $p$ en standaardfout $\sqrt{p(1-p)/n}$; ze is ongeveer normaal verdeeld als $np \geq 10$ en $n(1-p) \geq 10$

Grotere steekproeven geven nauwkeurigere schattingen: een vier keer zo grote steekproef halveert de standaardfout

Q: Waarom staat er in de standaardfout $\sqrt{n}$ en niet $n$?

A: De variantie van een gemiddelde van $n$ onafhankelijke waarden is $\sigma^2 / n$. De standaardfout is de wortel daarvan: $\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}$. Daarom heb je vier keer zoveel waarden nodig om de fout te halveren.

Q: Is 30 een magisch getal?

A: Nee, het is een vuistregel. Is de populatie al bijna normaal verdeeld, dan volstaan veel kleinere steekproeven; bij een erg scheve populatie (zoals inkomens) heb je soms meer dan 30 nodig. Probeer het in de simulator: de scheve populatie heeft een grotere $n$ nodig dan de dobbelsteen.

Q: Wat is het verschil tussen standaarddeviatie en standaardfout?

A: De standaarddeviatie $\sigma$ meet hoeveel losse waarden variëren. De standaardfout $\sigma / \sqrt{n}$ meet hoeveel een steekproefgrootheid, zoals het steekproefgemiddelde, van steekproef tot steekproef varieert. Voor $n > 1$ is de standaardfout altijd kleiner.

Q: Maakt de grootte van de populatie uit?

A: Nauwelijks, zolang de steekproef een klein deel van de populatie is (minder dan ongeveer 10 %). Een aselecte steekproef van 1000 mensen is voor een stad ongeveer even nauwkeurig als voor een heel land. Wat telt, is de steekproefomvang $n$.

Presentatie afsluiten

Steekproevenverdelingen

1 / 14

Kansrekening / Kansverdelingen

Steekproevenverdelingen

Leer hoe steekproefgemiddelden en steekproefproporties van steekproef tot steekproef verschillen, wat de standaardfout is en waarom de centrale limietstelling ze ongeveer normaal maakt.

Gevorderd30 min

Gebruik pijltjestoetsen of spatiebalk om te navigeren