Is 30 een magisch getal?

Nee, het is een vuistregel. Is de populatie al bijna normaal verdeeld, dan volstaan veel kleinere steekproeven; bij een erg scheve populatie (zoals inkomens) heb je soms meer dan 30 nodig. Probeer het in de simulator: de scheve populatie heeft een grotere $n$ nodig dan de dobbelsteen.

Wat is het verschil tussen standaarddeviatie en standaardfout?

De standaarddeviatie $\sigma$ meet hoeveel losse waarden variëren. De standaardfout $\sigma / \sqrt{n}$ meet hoeveel een steekproefgrootheid, zoals het steekproefgemiddelde, van steekproef tot steekproef varieert. Voor $n > 1$ is de standaardfout altijd kleiner.

Maakt de grootte van de populatie uit?

Nauwelijks, zolang de steekproef een klein deel van de populatie is (minder dan ongeveer 10 %). Een aselecte steekproef van 1000 mensen is voor een stad ongeveer even nauwkeurig als voor een heel land. Wat telt, is de steekproefomvang $n$.

Leermiddelen

Steekproevenverdelingen

Q: Waarom staat er in de standaardfout $\sqrt{n}$ en niet $n$?

De variantie van een gemiddelde van $n$ onafhankelijke waarden is $\sigma^2 / n$. De standaardfout is de wortel daarvan: $\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}$. Daarom heb je vier keer zoveel waarden nodig om de fout te halveren.

Leer hoe steekproefgemiddelden en steekproefproporties van steekproef tot steekproef verschillen, wat de standaardfout is en waarom de centrale limietstelling ze ongeveer normaal maakt.

Gevorderd30 minLes

Delen in Classroom

Werkblad om te printen

Definitie

Een parameter is een getal dat een hele populatie beschrijft, bijvoorbeeld het populatiegemiddelde (de verwachtingswaarde)

\mu

, de standaarddeviatie

\sigma

of de populatieproportie

p

. Een steekproefgrootheid (statistiek) is een getal dat je uit een steekproef berekent, bijvoorbeeld het steekproefgemiddelde

\bar{x}

of de steekproefproportie

\hat{p}

. De parameter ligt vast (maar is meestal onbekend); de steekproefgrootheid verandert van steekproef tot steekproef.

De steekproevenverdeling van een steekproefgrootheid is de verdeling van haar waarden over alle mogelijke aselecte steekproeven van dezelfde omvang

n

Steekproevenverdeling van het gemiddelde $\bar{x}$

Centrum: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (steekproefgemiddelden liggen rond het populatiegemiddelde)
Spreiding: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , de standaardfout
Vorm (centrale limietstelling): is de populatie normaal verdeeld, dan is $\bar{x}$ normaal verdeeld voor elke $n$ . Zo niet, dan is $\bar{x}$ bij grote $n$ toch ongeveer normaal verdeeld, meestal vanaf $n \geq 30$ .

Een kans over een steekproefgemiddelde bereken je dus met de z-score

z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Steekproevenverdeling van de proportie $\hat{p}$

Centrum: $\mu_{\hat{p}} = p$
Spreiding: $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$
Vorm: ongeveer normaal verdeeld als $np \geq 10$ en $n(1-p) \geq 10$

Deze formules gaan uit van een aselecte steekproef met onafhankelijke waarden (in de praktijk: de steekproef is kleiner dan ongeveer 10 % van de populatie).

Probeer het meteen

Een peiling onder 200 willekeurig gekozen kiezers laat zien dat 54 % een nieuwe wet steunt. In deze situatie is die 54 % een...

Uitgewerkte voorbeelden

Een school heeft 1200 leerlingen. Hun gemiddelde lengte is 165 cm. Een klassenproject meet een aselecte steekproef van 50 leerlingen en vindt een gemiddelde lengte van 163,2 cm. Welk getal is een parameter en welk een steekproefgrootheid?

Zoek het getal dat de hele populatie beschrijft

165 cm is het gemiddelde van alle 1200 leerlingen → Parameter:

\mu = 165

Zoek het getal dat uit de steekproef komt

163,2 cm is het gemiddelde van de 50 gemeten leerlingen → Steekproefgrootheid:

\bar{x} = 163{,}2

Denk aan een tweede steekproef

Een andere aselecte steekproef van 50 leerlingen geeft een iets ander gemiddelde, bijvoorbeeld 166,0 cm →

\bar{x}

varieert,

\mu

ligt vast

Antwoord: $\mu = 165$ cm is de parameter, $\bar{x} = 163{,}2$ cm is een steekproefgrootheid. De steekproefgrootheid verandert van steekproef tot steekproef, en precies dat beschrijft een steekproevenverdeling.

Veelgemaakte fouten

Bij een vraag over een steekproefgemiddelde $\sigma$ gebruiken in plaats van $\sigma / \sqrt{n}$

Waarom het fout is: $\sigma$ is de spreiding van losse waarden. Gemiddelden variëren veel minder, dus met $\sigma$ lijken ongewone gemiddelden veel te waarschijnlijk.

Correct: Deel bij $\bar{x}$ altijd door de standaardfout: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ . Voor één waarde geldt $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ .

Delen door $n$ in plaats van door $\sqrt{n}$

Waarom het fout is: Met $\sigma = 12$ en $n = 36$ geeft delen door $n$ de waarde $0{,}33$ in plaats van de juiste standaardfout $2$ , waardoor elke z-score 6 keer te groot wordt.

Correct: Neem eerst de wortel uit $n$ : $\dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2$ .

Denken dat de centrale limietstelling de populatie of de gegevens normaal maakt

Waarom het fout is: Een grote steekproef uit een scheve populatie is nog steeds scheef: het histogram lijkt op de populatie. Alleen de verdeling van de steekproef-GEMIDDELDEN wordt normaal.

Correct: De centrale limietstelling gaat over de steekproevenverdeling van $\bar{x}$ , niet over losse waarden.

Voor $\hat{p}$ de normale verdeling gebruiken zonder $np \geq 10$ en $n(1-p) \geq 10$ te controleren

Waarom het fout is: Met $p = 0{,}05$ en $n = 40$ is $np = 2$ : de meeste steekproeven hebben 0, 1, 2 of 3 successen en de verdeling van $\hat{p}$ is erg scheef.

Correct: Controleer eerst beide voorwaarden. Klopt er één niet, neem dan een grotere steekproef of gebruik de binomiale verdeling.

Interactieve visualisatie

Centrale limietstelling: steekproefgemiddelden uit een scheve populatie

Steekproefgrootte n

Populatiegemiddelde: μ = 2,6
Gemiddelde van de steekproefgemiddelden: ?
Standaardafwijking van de steekproefgemiddelden: ?
Standaardfout: σ/√n = 2,285/√1 ≈ 2,285

Probeer eerst n = 1, dan een grotere n: de gemiddelden komen dichter bij μ te liggen, hun standaardafwijking krimpt als σ/√n en de vorm wordt normaal, ook als de populatie dat niet is.

Gemiddelde van n worpen (μ = 3,5, σ ≈ 1,71)

Steekproefgrootte n

Populatiegemiddelde: μ = 3,5
Gemiddelde van de steekproefgemiddelden: ?
Standaardafwijking van de steekproefgemiddelden: ?
Standaardfout: σ/√n = 1,708/√2 ≈ 1,208

Probeer eerst n = 1, dan een grotere n: de gemiddelden komen dichter bij μ te liggen, hun standaardafwijking krimpt als σ/√n en de vorm wordt normaal, ook als de populatie dat niet is.

Peiling: steekproefproportie bij p = 0,4

Steekproefgrootte n

Populatieproportie: p = 0,4
Gemiddelde van de steekproefproporties: ?
Standaardafwijking van de steekproefproporties: ?
Standaardfout: √(p(1 − p)/n) = √(0,4 · 0,6/100) ≈ 0,049

Probeer een kleine n, dan een grotere: de proporties komen dichter bij p te liggen, hun standaardafwijking krimpt als √(p(1 − p)/n) en de vorm wordt normaal.

P(x̄ < 47) bij μ = 50, σ = 12, n = 36 (standaardfout 2)

μ = 50 h, σ = 2 h · Sleep een handvat of typ x of z.

z = (x − μ)/σ = (47 − 50)/2 = -1,5

P(X ≤ 47) = P(Z ≤ -1,5) ≈ 0,0668 = 6,68%

Ongeveer 6,68% van alle waarden valt in het gekleurde gebied.

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Een peiling onder 200 willekeurig gekozen kiezers laat zien dat 54 % een nieuwe wet steunt. In deze situatie is die 54 % een...

Oefenproblemen: Steekproevenverdelingen

1. Een peiling onder 200 willekeurig gekozen kiezers laat zien dat 54 % een nieuwe wet steunt. In deze situatie is die 54 % een...
2. Een populatie heeft standaarddeviatie \sigma = 18. Wat is de standaardfout van het steekproefgemiddelde bij steekproeven van omvang n = 36?
3. Een populatie heeft gemiddelde \mu = 40 en standaarddeviatie \sigma = 8. Wat is het gemiddelde van de steekproevenverdeling van \bar{x} bij steekproeven van omvang n = 25?
4. Bouten uit een machine hebben gemiddelde lengte \mu = 50 mm en \sigma = 2 mm. Een medewerker meet aselecte steekproeven van 16 bouten. Bepaal het gemiddelde en de standaardfout van \bar{x}.
5. IQ-scores hebben in een testgroep \mu = 100 en \sigma = 10. Wat is de standaardfout van het gemiddelde IQ van aselecte steekproeven van n = 100 mensen?
6. 20 % van de apps in een store zijn spelletjes (p = 0{,}2). Je trekt aselecte steekproeven van n = 100 apps. Controleer de voorwaarden en bepaal de standaardfout van \hat{p}.
7. Huizenprijzen in een regio zijn sterk scheef naar rechts. Bij welke steekproefomvang is de steekproevenverdeling van de gemiddelde prijs het meest normaal?
8. Een populatie heeft \mu = 80 en \sigma = 12. Een aselecte steekproef van n = 16 heeft gemiddelde \bar{x} = 86. Wat is de z-score van dit steekproefgemiddelde?
9. Een populatie heeft \sigma = 20. Vergelijk de standaardfout van \bar{x} bij n = 25 en bij n = 100.
10. Een munt is eerlijk (p = 0{,}5). Je gooit hem n = 100 keer en noteert de proportie kop \hat{p}. Wat is de standaardfout van \hat{p}?
11. Examencijfers zijn normaal verdeeld met \mu = 70 en \sigma = 15. Bepaal voor een willekeurige klas van n = 25 leerlingen P(\bar{x} < 67). Gebruik P(Z < -1) = 0{,}1587.
12. Telefoonaccu's gaan \mu = 50 uur mee met \sigma = 12 uur. Bepaal voor een aselecte steekproef van n = 36 accu's P(\bar{x} > 54). Gebruik P(Z < 2) = 0{,}9772 en geef het antwoord als decimaal getal.
13. Ongeveer 5 % van de lampen van een fabriek is defect (p = 0{,}05). Een controleur neemt aselecte steekproeven van n = 120 lampen. Mag ze het normale model voor \hat{p} gebruiken? Zo niet, hoe groot moet n zijn?
14. Het gewicht van appels is normaal verdeeld met \mu = 180 g en \sigma = 20 g. Bepaal de kans dat ÉÉN appel meer dan 185 g weegt, en dat het gemiddelde van een zak met 16 appels boven 185 g ligt. Gebruik P(Z < 0{,}25) = 0{,}5987 en P(Z < 1) = 0{,}8413.
15. Welke uitspraak over de centrale limietstelling is juist?
16. Levertijden hebben \sigma = 15 minuten. Een bedrijf wil dat de standaardfout van de gemiddelde levertijd 1,5 minuut is. Hoeveel leveringen moet het meten? En hoeveel voor een standaardfout van 0,75 minuut?
17. 40 % van de huishoudens in een stad heeft een huisdier (p = 0{,}4). Bepaal voor een aselecte steekproef van n = 150 huishoudens P(\hat{p} > 0{,}46). Gebruik P(Z < 1{,}5) = 0{,}9332 en geef het antwoord als decimaal getal.
18. Ledlampen gaan \mu = 1000 uur mee met \sigma = 80 uur. Bepaal voor een aselecte steekproef van n = 64 lampen P(990 < \bar{x} < 1020). Gebruik P(Z < -1) = 0{,}1587 en P(Z < 2) = 0{,}9772.

Waarom het belangrijk is

Bijna elk getal uit een enquête in het nieuws is een steekproefgrootheid, geen parameter:

Peilingen: een peiling onder 1000 kiezers schat het aandeel onder alle kiezers. De standaardfout vertelt je hoe ver de peiling waarschijnlijk van de werkelijkheid af zit.
Kwaliteitscontrole: een fabriek controleert het gemiddelde gewicht van een steekproef pakken in plaats van elk pak te wegen.
Geneeskunde: een klinisch onderzoek meet het gemiddelde effect bij een paar honderd patiënten en trekt conclusies voor iedereen.
Wetenschap: het gemiddelde van herhaalde metingen verkleint de toevallige fout.

Het kernidee: de standaardfout

\sigma / \sqrt{n}

wordt kleiner als de steekproef groeit. Vier keer zoveel mensen halveren de fout, daarom zijn grotere peilingen nauwkeuriger. De centrale limietstelling laat je daarna de normale verdeling, z-scores en de z-tabel gebruiken die je al kent, ook als de populatie zelf niet normaal verdeeld is.

Toepassingen in de echte wereld

Verkiezingspeilingen

Peilingbureaus ondervragen ongeveer 1000 mensen en geven een foutmarge. Die marge komt rechtstreeks uit de standaardfout van $\hat{p}$.

Voorbeeld:

Als de werkelijke steun $p = 0{,}5$ is, heeft een peiling onder 1000 mensen standaardfout $\sqrt{0{,}5 \cdot 0{,}5 / 1000} \approx 0{,}016$ , dus ongeveer 95 % van zulke peilingen zit hooguit zo'n 3 procentpunt naast de werkelijkheid.

1Probeer het zelf

Een kleinere peiling ondervraagt $n = 400$ willekeurig gekozen kiezers. De werkelijke steun voor een kandidate is $p = 0{,}5$ .

Wat is de standaardfout van de steekproefproportie $\hat{p}$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ :

Kwaliteitscontrole in een koffiebar

Machines die bekers vullen worden bewaakt met het gemiddelde van kleine steekproeven. Ligt een gemiddelde, gemeten in standaardfouten, te ver van de streefwaarde, dan gaat er een alarm af.

Voorbeeld:

Een machine vult bekers met $\mu = 250$ mL en $\sigma = 8$ mL. Een controleur meet 16 bekers, dus de standaardfout is $8 / \sqrt{16} = 2$ mL.

2Probeer het zelf

De 16 bekers hebben een gemiddelde van $\bar{x} = 246$ mL. De machine staat ingesteld op $\mu = 250$ mL met $\sigma = 8$ mL.

Wat is de z-score van dit steekproefgemiddelde?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ :

Een medisch onderzoek plannen

Voordat een onderzoek begint, kiezen onderzoekers de steekproefomvang zo dat de standaardfout klein genoeg is. Door de wortel heb je voor een halve fout vier keer zoveel patiënten nodig.

Voorbeeld:

Bloeddruk heeft $\sigma = 20$ mmHg. Met 25 patiënten is de standaardfout $20 / 5 = 4$ mmHg, met 100 patiënten $20 / 10 = 2$ mmHg.

3Probeer het zelf

Onderzoekers willen dat de standaardfout van de gemiddelde bloeddruk 2 mmHg is. De standaarddeviatie van de populatie is $\sigma = 20$ mmHg.

Hoeveel patiënten hebben ze nodig?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Uit $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2$ volgt $n = \left(\dfrac{\sigma}{2}\right)^2$ :

Belangrijke punten

1Een parameter ( $\mu$ , $\sigma$ , $p$ ) beschrijft de populatie en ligt vast; een steekproefgrootheid ( $\bar{x}$ , $\hat{p}$ ) komt uit een steekproef en varieert van steekproef tot steekproef
2De steekproevenverdeling van $\bar{x}$ heeft gemiddelde $\mu$ en standaardfout $\sigma / \sqrt{n}$
3Centrale limietstelling: vanaf ongeveer $n \geq 30$ is het steekproefgemiddelde ongeveer normaal verdeeld, welke vorm de populatie ook heeft; is de populatie normaal verdeeld, dan voor elke $n$
4Voor een kans over een steekproefgemiddelde gebruik je $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ en de z-tabel
5De steekproefproportie $\hat{p}$ heeft gemiddelde $p$ en standaardfout $\sqrt{p(1-p)/n}$ ; ze is ongeveer normaal verdeeld als $np \geq 10$ en $n(1-p) \geq 10$
6Grotere steekproeven geven nauwkeurigere schattingen: een vier keer zo grote steekproef halveert de standaardfout

Veelgestelde vragen

De variantie van een gemiddelde van

n

onafhankelijke waarden is

\sigma^2 / n

. De standaardfout is de wortel daarvan:

\sqrt{\sigma^2 / n} = \sigma / \sqrt{n}

. Daarom heb je vier keer zoveel waarden nodig om de fout te halveren.

Woordenlijst

Parameter: Getal dat een hele populatie beschrijft, zoals $\mu$ , $\sigma$ of $p$ ; meestal onbekend
Steekproefgrootheid: Getal dat uit een steekproef wordt berekend, zoals $\bar{x}$ of $\hat{p}$ ; het verandert van steekproef tot steekproef
Steekproevenverdeling: Verdeling van een steekproefgrootheid over alle mogelijke aselecte steekproeven van dezelfde omvang $n$
Standaardfout: Standaarddeviatie van een steekproevenverdeling, bijvoorbeeld $\sigma / \sqrt{n}$ voor het steekproefgemiddelde
Centrale limietstelling: Bij grote $n$ is de steekproevenverdeling van het gemiddelde ongeveer normaal verdeeld, welke vorm de populatie ook heeft
Steekproefproportie: Het aandeel successen in een steekproef, $\hat{p} = \dfrac{\text{aantal successen}}{n}$

Formulekaart

Gemiddelde van het steekproefgemiddelde

\mu_{\bar{x}} = \mu

Steekproefgemiddelden liggen rond het populatiegemiddelde

Standaardfout van het gemiddelde

\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Spreiding van de steekproefgemiddelden; wordt kleiner als $n$ groeit

z-score van een steekproefgemiddelde

z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}

Gebruik met de z-tabel als $n \geq 30$ of de populatie normaal verdeeld is

Standaardfout van een proportie

\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}

Normaal model als $np \geq 10$ en $n(1-p) \geq 10$

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Steekproevenverdeling van het gemiddelde xˉ\bar{x}xˉ

Steekproevenverdeling van de proportie p^\hat{p}p^​

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Centrale limietstelling: steekproefgemiddelden uit een scheve populatie

Gemiddelde van n worpen (μ = 3,5, σ ≈ 1,71)

Peiling: steekproefproportie bij p = 0,4

P(x̄ < 47) bij μ = 50, σ = 12, n = 36 (standaardfout 2)

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Verkiezingspeilingen

Kwaliteitscontrole in een koffiebar

Een medisch onderzoek plannen

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Gemiddelde van het steekproefgemiddelde

Standaardfout van het gemiddelde

z-score van een steekproefgemiddelde

Standaardfout van een proportie

Meer over dit onderwerp

Introductie tot kansverdelingen

Binomiale kans

Discrete vs continue verdelingen

Verwachtingswaarde

Steekproevenverdeling van het gemiddelde $\bar{x}$

Steekproevenverdeling van de proportie $\hat{p}$