De z-tabel aflezen

Bepaal $P(Z \le 1{,}23)$ voor de standaardnormaal verdeelde variabele $Z$.

Splits $z$ in rij en kolom: $1{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03$ = Rij $1{,}2$, kolom $0{,}03$

Lees de waarde af waar rij en kolom elkaar kruisen: Rij $1{,}2$, kolom $0{,}03$: $0{,}8907$ = $\Phi(1{,}23) = 0{,}8907$

Controleer of het klopt: $z = 1{,}23$ is iets meer dan 1, en $\Phi(1) = 0{,}8413$ = Een waarde iets boven $0{,}8413$ is logisch

Answer: $P(Z \le 1{,}23) = 0{,}8907$, dus ongeveer 89,07% van de oppervlakte ligt links van $z = 1{,}23$.

Oppervlakte rechts

Bepaal $P(Z > 1{,}5)$.

Lees de oppervlakte links af in de tabel: Rij $1{,}5$, kolom $0{,}00$ = $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$

Trek die af van de totale oppervlakte 1: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332$ = $0{,}0668$

Controleer met de 68-95-99,7-regel: Rechts van $z = 1$ ligt 16%, rechts van $z = 2$ ligt 2,5% = $0{,}0668$ (6,68%) ligt daartussen

Answer: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$

Een negatieve z en symmetrie

Bepaal $P(Z < -0{,}75)$ met alleen het positieve deel van de tabel: $\Phi(0{,}75) = 0{,}7734$.

Gebruik symmetrie: de linkerstaart bij $-0{,}75$ is gelijk aan de rechterstaart bij $0{,}75$: $P(Z < -0{,}75) = P(Z > 0{,}75)$ = $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75)$

Trek de tabelwaarde af van 1: $1 - 0{,}7734$ = $0{,}2266$

Controleer de grootte: $-0{,}75$ ligt links van het gemiddelde, dus de oppervlakte moet kleiner zijn dan $0{,}5$ = $0{,}2266 < 0{,}5$, dat klopt

Answer: $P(Z < -0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$

Oppervlakte tussen twee z-waarden

Bepaal $P(-1 < Z < 2)$. Tabel: $\Phi(1) = 0{,}8413$, $\Phi(2) = 0{,}9772$.

Oppervlakte links tot de bovengrens: $\Phi(2)$ = $0{,}9772$

Oppervlakte links tot de ondergrens (symmetrie): $\Phi(-1) = 1 - 0{,}8413$ = $0{,}1587$

Trek de twee oppervlakten van elkaar af: $0{,}9772 - 0{,}1587$ = $0{,}8185$

Controleer met de 68-95-99,7-regel: Van $-1$ tot $0$: 34%, van $0$ tot $2$: 47,5% = $34\% + 47{,}5\% = 81{,}5\%$, dicht bij $0{,}8185$

Answer: $P(-1 < Z < 2) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$

Elke normale variabele standaardiseren

$X$ is normaal verdeeld met $\mu = 50$ en $\sigma = 8$. Bepaal $P(X < 60)$. Tabel: $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$.

Standaardiseer de grens: $z = \frac{60 - 50}{8} = \frac{10}{8}$ = $z = 1{,}25$

Schrijf de vraag met $Z$: $P(X < 60) = P(Z < 1{,}25)$ = Een oppervlakte links

Lees de tabel af: Rij $1{,}2$, kolom $0{,}05$ = $0{,}8944$

Controleer met de 68-95-99,7-regel: $\Phi(1) \approx 0{,}84$ en $\Phi(2) \approx 0{,}975$ = $0{,}8944$ ligt daartussen

Answer: $P(X < 60) = P(Z < 1{,}25) = 0{,}8944$

Mistake: De tabelwaarde als oppervlakte rechts gebruiken: $P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332$

Why: De z-tabel geeft altijd de oppervlakte LINKS van $z$. Een oppervlakte van $0{,}9332$ rechts van een positieve $z$ is onmogelijk, want dan zou meer dan de helft van de kromme rechts ervan liggen.

Correct: Voor een oppervlakte rechts trek je af van 1: $P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$.

Mistake: Denken dat een negatieve $z$ een negatieve of dezelfde oppervlakte geeft: $\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734$ of $0{,}7734$

Why: Oppervlakten zijn nooit negatief. Een negatieve $z$ ligt links van het gemiddelde, dus de oppervlakte links ervan is kleiner dan $0{,}5$.

Correct: Gebruik symmetrie: $\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266$.

Mistake: De z-waarden aftrekken in plaats van de oppervlakten: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)$

Why: De tabel maakt van z-waarden oppervlakten. De oppervlakte tussen twee punten is het verschil van de twee oppervlakten links, niet de oppervlakte van het verschil.

Correct: $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$.

Mistake: De oorspronkelijke waarde opzoeken in de z-tabel: $P(X < 60)$ aflezen in rij 60

Why: De tabel werkt alleen voor $Z$, met gemiddelde 0 en standaarddeviatie 1. Een oorspronkelijke waarde moet je eerst standaardiseren.

Correct: Bereken eerst $z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25$ en lees dan $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$ af.

Kwaliteitscontrole

Fabrieken standaardiseren elke meting en keuren onderdelen af die te ver van de streefwaarde liggen, bijvoorbeeld meer dan 2 standaarddeviaties.

Een onderdeel met $z = -2{,}3$ ligt 2,3 standaarddeviaties onder de streeflengte en wordt dus afgekeurd.

Gestandaardiseerde toetsscores

Sommige examens geven de uitslag direct als z-score, zodat elke leerling meteen ziet hoe ver hij boven of onder het gemiddelde zit.

Een score van $z = 0$ is precies gemiddeld; $z = 1$ is één standaarddeviatie boven het gemiddelde.

Fouten in de weersverwachting

Meteorologen controleren hoever hun temperatuurverwachtingen ernaast zitten. Bij een goed gekalibreerde verwachting kan de fout in °C de standaardnormale verdeling volgen: gemiddelde 0, standaarddeviatie 1.

Een fout van $-1{,}2$ °C betekent dat de echte temperatuur 1,2 graden lager was dan verwacht.

Q: Waarom werkt één tabel voor elke normale verdeling?

A: Bij standaardiseren schuift het gemiddelde naar 0 en wordt de spreiding herschaald naar 1. De vorm blijft gelijk, dus de oppervlakte links van $x$ bij een normale verdeling met gemiddelde $\mu$ en standaarddeviatie $\sigma$ is gelijk aan de oppervlakte links van $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ bij $N(0, 1)$.

Q: Mijn tabel heeft geen negatieve z-waarden. Wat doe ik?

A: Gebruik symmetrie: $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$. Bijvoorbeeld $\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$. Veel boeken drukken een tweede tabel voor negatieve $z$ af; beide geven dezelfde getallen.

Q: Is er verschil tussen $P(Z < z)$ en $P(Z \le z)$?

A: Nee. $Z$ is continu, dus de kans op precies één waarde is 0. Je leest beide af in hetzelfde vakje van de tabel.

Q: Wat als mijn $z$ groter is dan de tabel, zoals $z = 4$?

A: De meeste tabellen stoppen rond $3{,}49$, waar $\Phi$ al $0{,}9998$ is. Daarboven is de oppervlakte links praktisch 1 en de rechterstaart praktisch 0.