Standaardnormale verdeling

Leer de standaardnormale verdeling N(0, 1) kennen, hoe je elke normale verdeling standaardiseert en hoe je de z-tabel afleest voor oppervlakten links, rechts en tussen twee waarden.

Gevorderd30 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

De standaardnormale verdeling is de normale verdeling met gemiddelde μ=0\mu = 0 en standaarddeviatie σ=1\sigma = 1. Je schrijft N(0,1)N(0, 1) en noemt de variabele ZZ.

Standaardiseren

Elke normaal verdeelde variabele XX met gemiddelde μ\mu en standaarddeviatie σ\sigma wordt de standaardnormale verdeling als je haar standaardiseert:
Z=X−μσZ = \frac{X - \mu}{\sigma}
Daarom is één tabel genoeg voor alle normale verdelingen: eerst bereken je zz, daarna lees je de oppervlakte af.

De z-tabel

De z-tabel (tabel van de standaardnormale verdeling) geeft de cumulatieve oppervlakte links van zz:
Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z)
De rij geeft zz met één decimaal (bijvoorbeeld 1,21{,}2), de kolom geeft de tweede decimaal (bijvoorbeeld 0,030{,}03). Waar ze elkaar kruisen lees je Φ(1,23)=0,8907\Phi(1{,}23) = 0{,}8907 af.

Drie regels voor elke oppervlakte

  • **Links van zz**: direct aflezen, P(Z<z)=Φ(z)P(Z < z) = \Phi(z)
  • **Rechts van zz**: de totale oppervlakte is 1, dus P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z)
  • **Tussen aa en bb**: P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)
De kromme is symmetrisch rond 0, dus Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z). Bij een continue variabele zijn P(Z<z)P(Z < z) en P(Z≤z)P(Z \le z) hetzelfde getal.

Probeer het meteen

Welk gemiddelde en welke standaarddeviatie heeft de standaardnormale verdeling N(0,1)N(0, 1)?

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal P(Z≤1,23)P(Z \le 1{,}23) voor de standaardnormaal verdeelde variabele ZZ.
1

Splits zz in rij en kolom

1,23=1,2+0,031{,}23 = 1{,}2 + 0{,}03 → Rij 1,21{,}2, kolom 0,030{,}03
2

Lees de waarde af waar rij en kolom elkaar kruisen

Rij 1,21{,}2, kolom 0,030{,}03: 0,89070{,}8907 → Φ(1,23)=0,8907\Phi(1{,}23) = 0{,}8907
3

Controleer of het klopt

z=1,23z = 1{,}23 is iets meer dan 1, en Φ(1)=0,8413\Phi(1) = 0{,}8413 → Een waarde iets boven 0,84130{,}8413 is logisch

Veelgemaakte fouten

De tabelwaarde als oppervlakte rechts gebruiken: P(Z>1,5)=0,9332P(Z > 1{,}5) = 0{,}9332

Waarom het fout is: De z-tabel geeft altijd de oppervlakte LINKS van zz. Een oppervlakte van 0,93320{,}9332 rechts van een positieve zz is onmogelijk, want dan zou meer dan de helft van de kromme rechts ervan liggen.

Correct: Voor een oppervlakte rechts trek je af van 1: P(Z>1,5)=1−0,9332=0,0668P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668.

Denken dat een negatieve zz een negatieve of dezelfde oppervlakte geeft: Φ(−0,75)=−0,7734\Phi(-0{,}75) = -0{,}7734 of 0,77340{,}7734

Waarom het fout is: Oppervlakten zijn nooit negatief. Een negatieve zz ligt links van het gemiddelde, dus de oppervlakte links ervan is kleiner dan 0,50{,}5.

Correct: Gebruik symmetrie: Φ(−0,75)=1−Φ(0,75)=1−0,7734=0,2266\Phi(-0{,}75) = 1 - \Phi(0{,}75) = 1 - 0{,}7734 = 0{,}2266.

De z-waarden aftrekken in plaats van de oppervlakten: P(−1<Z<2)=Φ(2−(−1))=Φ(3)P(-1 < Z < 2) = \Phi(2 - (-1)) = \Phi(3)

Waarom het fout is: De tabel maakt van z-waarden oppervlakten. De oppervlakte tussen twee punten is het verschil van de twee oppervlakten links, niet de oppervlakte van het verschil.

Correct: P(−1<Z<2)=Φ(2)−Φ(−1)=0,9772−0,1587=0,8185P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185.

De oorspronkelijke waarde opzoeken in de z-tabel: P(X<60)P(X < 60) aflezen in rij 60

Waarom het fout is: De tabel werkt alleen voor ZZ, met gemiddelde 0 en standaarddeviatie 1. Een oorspronkelijke waarde moet je eerst standaardiseren.

Correct: Bereken eerst z=60−508=1,25z = \frac{60 - 50}{8} = 1{,}25 en lees dan Φ(1,25)=0,8944\Phi(1{,}25) = 0{,}8944 af.

Interactieve visualisatie

Lees de z-tabel af: versleep z en kijk naar de rij en de kolom

z = 1,23z-3-2-10123

μ = 0, σ = 1 · Sleep een handvat of typ x of z.

P(Z ≤ 1,23) ≈ 0,8907 = 89,07%

Ongeveer 89,07% van alle waarden valt in het gekleurde gebied.

z-tabel: P(Z ≤ z)

z0,010,020,030,040,05
1,00,84380,84610,84850,85080,8531
1,10,86650,86860,87080,87290,8749
1,20,88690,88880,89070,89250,8944
1,30,90490,90660,90820,90990,9115
1,40,92070,92220,92360,92510,9265

Rij 1,2 en kolom 0,03 geven z = 1,23, dus P(Z ≤ 1,23) = 0,8907.

Sleep een handvat: de gemarkeerde rij en kolom volgen z.

Standaardnormale verdeling: oppervlakten tussen twee z-waarden en de 68-95-99,7-controle

34,1%34,1%13,6%13,6%2,1%2,1%z = -1z = 2z-3-2-10123

μ = 0, σ = 1 · Sleep een handvat of typ x of z.

P(-1 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0,8186 = 81,86%

Ongeveer 81,86% van alle waarden valt in het gekleurde gebied.

Standaardiseren: X met gemiddelde 50 en standaarddeviatie 8, eronder de z-as

60 · z = 1,25xz26-334-242-1500581662743X

μ = 50, σ = 8 · Sleep een handvat of typ x of z.

z = (x − μ)/σ = (60 − 50)/8 = 1,25

P(X ≤ 60) = P(Z ≤ 1,25) ≈ 0,8944 = 89,44%

Ongeveer 89,44% van alle waarden valt in het gekleurde gebied.

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven
Opgave 1 van 18
Makkelijk
Welk gemiddelde en welke standaarddeviatie heeft de standaardnormale verdeling N(0,1)N(0, 1)?

Waarom het belangrijk is

De standaardnormale verdeling is de ene kromme waarnaar je elk probleem met een normale verdeling omzet:
  • Eén tabel voor alles: lichaamslengtes, toetscijfers, reactietijden en meetfouten hebben verschillende gemiddelden en spreidingen, maar na standaardiseren gebruiken ze allemaal dezelfde z-tabel
  • Precieze waarden in plaats van schattingen: de 68-95-99,7-regel werkt alleen bij hele standaarddeviaties; de tabel geeft de oppervlakte bij elke zz, zoals z=1,23z = 1{,}23
  • Statistiek en wetenschap: betrouwbaarheidsintervallen, toetsen en tolerantiegrenzen (zoals ±1,96\pm 1{,}96 of ±3\pm 3) lees je allemaal af bij de standaardnormale verdeling
  • Een ingebouwde controle: als een tabeluitkomst ver van 68%, 95% of 99,7% ligt terwijl hij er dichtbij zou moeten liggen, weet je dat er een stap fout is
Zodra je de z-tabel kunt aflezen en de drie oppervlakteregels kunt toepassen, wordt elk probleem met de normale verdeling een korte routine.

Toepassingen in de echte wereld

Kwaliteitscontrole

Fabrieken standaardiseren elke meting en keuren onderdelen af die te ver van de streefwaarde liggen, bijvoorbeeld meer dan 2 standaarddeviaties.

Voorbeeld:

Een onderdeel met z=−2,3z = -2{,}3 ligt 2,3 standaarddeviaties onder de streeflengte en wordt dus afgekeurd.

1Probeer het zelf

De fouten van een machine volgen na standaardiseren de standaardnormale verdeling. Een onderdeel wordt afgekeurd als Z<−2Z < -2 of Z>2Z > 2. Tabel: Φ(2)=0,9772\Phi(2) = 0{,}9772.

Welk deel van de onderdelen wordt afgekeurd? Geef een decimaal getal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Twee gelijke staarten: 2×(1−0,9772)2 \times (1 - 0{,}9772)

Gestandaardiseerde toetsscores

Sommige examens geven de uitslag direct als z-score, zodat elke leerling meteen ziet hoe ver hij boven of onder het gemiddelde zit.

Voorbeeld:

Een score van z=0z = 0 is precies gemiddeld; z=1z = 1 is één standaarddeviatie boven het gemiddelde.

2Probeer het zelf

De uitslagen van een examen worden als z-scores gegeven en volgen de standaardnormale verdeling. Tabel: Φ(0,5)=0,6915\Phi(0{,}5) = 0{,}6915.

Welk deel van de leerlingen heeft een z-score boven 0,50{,}5?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Oppervlakte rechts: 1−Φ(0,5)1 - \Phi(0{,}5)

Fouten in de weersverwachting

Meteorologen controleren hoever hun temperatuurverwachtingen ernaast zitten. Bij een goed gekalibreerde verwachting kan de fout in °C de standaardnormale verdeling volgen: gemiddelde 0, standaarddeviatie 1.

Voorbeeld:

Een fout van −1,2-1{,}2 °C betekent dat de echte temperatuur 1,2 graden lager was dan verwacht.

3Probeer het zelf

De fouten van de verwachting voor de volgende dag (in °C) volgen de standaardnormale verdeling. Tabel: Φ(1,5)=0,9332\Phi(1{,}5) = 0{,}9332.

Hoe groot is de kans dat een verwachting minder dan 1,5 °C ernaast zit, dus −1,5<Z<1,5-1{,}5 < Z < 1{,}5?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Tussen: Φ(1,5)−Φ(−1,5)\Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)

Belangrijke punten

  • 1De standaardnormale verdeling N(0,1)N(0, 1) heeft gemiddelde 0 en standaarddeviatie 1; haar variabele heet ZZ
  • 2Standaardiseer elke normale waarde met z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} en gebruik daarna de ene z-tabel
  • 3De z-tabel geeft de oppervlakte LINKS: Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z); rij = eerste decimaal, kolom = tweede decimaal
  • 4Oppervlakte rechts: P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z); tussen: P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)
  • 5Symmetrie: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z) en Φ(0)=0,5\Phi(0) = 0{,}5
  • 6Controleer elke uitkomst met de 68-95-99,7-regel: bijvoorbeeld Φ(1)−Φ(−1)=0,6826≈68%\Phi(1) - \Phi(-1) = 0{,}6826 \approx 68\%

Veelgestelde vragen

Bij standaardiseren schuift het gemiddelde naar 0 en wordt de spreiding herschaald naar 1. De vorm blijft gelijk, dus de oppervlakte links van xx bij een normale verdeling met gemiddelde μ\mu en standaarddeviatie σ\sigma is gelijk aan de oppervlakte links van z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} bij N(0,1)N(0, 1).
Bij standaardiseren schuift het gemiddelde naar 0 en wordt de spreiding herschaald naar 1. De vorm blijft gelijk, dus de oppervlakte links van xx bij een normale verdeling met gemiddelde μ\mu en standaarddeviatie σ\sigma is gelijk aan de oppervlakte links van z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma} bij N(0,1)N(0, 1).
Gebruik symmetrie: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z). Bijvoorbeeld Φ(−1,2)=1−0,8849=0,1151\Phi(-1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151. Veel boeken drukken een tweede tabel voor negatieve zz af; beide geven dezelfde getallen.
Nee. ZZ is continu, dus de kans op precies één waarde is 0. Je leest beide af in hetzelfde vakje van de tabel.
De meeste tabellen stoppen rond 3,493{,}49, waar Φ\Phi al 0,99980{,}9998 is. Daarboven is de oppervlakte links praktisch 1 en de rechterstaart praktisch 0.

Woordenlijst

Standaardnormale verdeling
De normale verdeling met gemiddelde 0 en standaarddeviatie 1, geschreven als N(0,1)N(0, 1)
Standaardiseren
Een waarde xx omrekenen naar z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}, het aantal standaarddeviaties vanaf het gemiddelde
z-tabel
Tabel van de standaardnormale verdeling met de cumulatieve oppervlakten Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z) = P(Z \le z) links van elke zz
Cumulatieve oppervlakte Φ(z)\Phi(z)
De oppervlakte onder de standaardnormale kromme links van zz; die is gelijk aan de kans P(Z≤z)P(Z \le z)
Staart
De oppervlakte aan één uiteinde van de kromme, bijvoorbeeld rechts van z=2z = 2

Formulekaart

Standaardiseren

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

Maakt van elke normale waarde een waarde van $Z$

Oppervlakte links

P(Z<z)=Φ(z)P(Z < z) = \Phi(z)

Direct aflezen in de z-tabel

Oppervlakte rechts

P(Z>z)=1−Φ(z)P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

De totale oppervlakte onder de kromme is 1

Tussen twee waarden

P(a<Z<b)=Φ(b)−Φ(a)P(a < Z < b) = \Phi(b) - \Phi(a)

Grotere oppervlakte links min kleinere oppervlakte links

Symmetrie

Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

Voor negatieve z-waarden

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Introductie tot kansverdelingen

Gevorderd25 min

Binomiale kans

Gevorderd25 min

Discrete vs continue verdelingen

Gevorderd25 min

Verwachtingswaarde

Gevorderd25 min