Contextopgaven over correlatie

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Een enquête onder tieners vindt $r = -0{,}85$ tussen dagelijkse schermtijd en uren slaap. Welke beschrijving is juist?
1. a)Zwakke positieve correlatie
2. b)Zeer sterke negatieve correlatie
3. c)Matige negatieve correlatie
4. d)Geen correlatie
Antwoord: Zeer sterke negatieve correlatie
$r$ is negatief, dus meer schermtijd gaat samen met minder slaap. $|r| = 0{,}85$ ligt tussen $0{,}80$ en $1{,}00$ , dus de correlatie is zeer sterk.
2.
Vier onderzoeken melden deze correlaties. Welke toont het sterkste lineaire verband?
1. a) $r = 0{,}78$
2. b) $r = 0{,}45$
3. c) $r = -0{,}91$
4. d) $r = 0{,}05$
Antwoord: $r = -0{,}91$
De absolute waarden zijn $0{,}91$ , $0{,}45$ , $0{,}78$ en $0{,}05$ . De grootste is $0{,}91$ , dus $r = -0{,}91$ is het sterkst (een zeer sterke negatieve correlatie).
3.
Voor een dataset geldt $S_{xy} = 27$ , $S_{xx} = 20$ en $S_{yy} = 45$ . Bereken $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}$ .
Antwoord: 0.9
$r = \frac{27}{\sqrt{20 \cdot 45}} = \frac{27}{\sqrt{900}} = \frac{27}{30} = 0{,}9$ , een zeer sterke positieve correlatie.
4.
Vijf leerlingen oefenden een lied 2, 3, 4, 5 en 6 uur en kregen deze scores: $50$ , $55$ , $65$ , $70$ , $80$ . De eerste stap naar $r$ zijn de gemiddelden. Wat is $\bar{y}$ , de gemiddelde score?
Antwoord: 64
$\bar{y} = \frac{50 + 55 + 65 + 70 + 80}{5} = \frac{320}{5} = 64$ .
5.
Een bakkerij noteert op vijf dagen het aantal openingsuren: $2, 4, 6, 8, 10$ . Bepaal het gemiddelde en de afwijkingen die je nodig hebt voor $r$ .
Antwoord: 0
1. Wat is het gemiddelde $\bar{x}$ ? 6
2. Wat is de afwijking van $10$ , dus $10 - \bar{x}$ ? 4
3. Wat is de afwijking van $2$ ? -4
4. Wat is de som van alle vijf afwijkingen? 0
6.
Een café vindt $r = -0{,}72$ tussen de buitentemperatuur en het aantal verkochte warme chocolademelken per dag. Interpreteer deze waarde.
Antwoord: -0.72
1. Wat is $|r|$ ? 0.72
2. Wat is de richting? negatief
3. Hoe sterk is de correlatie? sterk
4. Als de temperatuur stijgt, gaat de verkoop van warme chocolademelk meestal... omlaag
7.
Gegevens van veel plaatsen geven $r = 0{,}90$ tussen het aantal apotheken en het aantal kappers in een plaats. Welke conclusie is gerechtvaardigd?
1. a)Grotere plaatsen hebben zowel meer apotheken als meer kappers, dus een oorzakelijke conclusie is niet gerechtvaardigd
2. b)Een nieuwe apotheek trekt meer kappers aan
3. c)Een plaats kan het aantal kappers verlagen door apotheken te sluiten
4. d) $r = 0{,}90$ bewijst causaliteit omdat het dicht bij $1$ ligt
Antwoord: Grotere plaatsen hebben zowel meer apotheken als meer kappers, dus een oorzakelijke conclusie is niet gerechtvaardigd
De grootte van de plaats (het aantal inwoners) is een verstorende variabele: in grote plaatsen wonen meer mensen die zowel een apotheek als een kapper nodig hebben. De correlatie is echt, maar laat niet zien dat het een het ander veroorzaakt, en geen enkele waarde van $r$ bewijst op zich causaliteit.
8.
Een bedrijf wil aantonen dat zijn nieuwe mest snellere plantengroei veroorzaakt. Welk onderzoek kan die oorzakelijke bewering rechtvaardigen?
1. a)Een enquête onder tuiniers over welke mest ze gebruiken
2. b)Gelijke planten willekeurig wel of geen mest geven, terwijl al het andere gelijk blijft
3. c) $r$ berekenen voor zes boerderijen die zelf hun mest kozen
4. d)Een online peiling onder klanten
Antwoord: Gelijke planten willekeurig wel of geen mest geven, terwijl al het andere gelijk blijft
Alleen een gerandomiseerd gecontroleerd experiment kan een oorzakelijke bewering rechtvaardigen. Willekeurige toewijzing verdeelt verstorende variabelen (grond, licht, verzorging) gelijk over beide groepen. Boerderijen die zelf hun mest kiezen, kunnen op veel andere punten verschillen.
9.
Voor vijf datapunten zijn de afwijkingen $x_i - \bar{x}$ : $-2, -1, 0, 1, 2$ en $y_i - \bar{y}$ : $-4, -2, 1, 3, 2$ . Bereken $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ .
Antwoord: 17
$8 + 2 + 0 + 3 + 4 = 17$ . De som is positief, dus $r$ wordt ook positief.
10.
Een onderzoek naar de leeftijd van auto's en hun brandstofzuinigheid geeft $S_{xy} = -36$ , $S_{xx} = 40$ en $S_{yy} = 45$ . Bereken $r$ en rond af op 2 decimalen.
Antwoord: -0.85
$r = \frac{-36}{\sqrt{1800}} \approx \frac{-36}{42{,}43} \approx -0{,}85$ . Oudere auto's zijn meestal minder zuinig (een zeer sterke negatieve correlatie).
11.
Een voetbaltrainer noteert trainingen en doelpunten van vijf spelers: $(1, 2)$ , $(2, 6)$ , $(3, 4)$ , $(4, 5)$ , $(5, 8)$ . Bereken $r$ op 2 decimalen.
Antwoord: 0.78
1. Wat is $\bar{x}$ ? 3
2. Wat is $\bar{y}$ ? 5
3. De $y$ -afwijkingen zijn $-3, 1, -1, 0, 3$ . Wat is $S_{xy}$ ? 11
4. Wat is $S_{xx}$ ? 10
5. Wat is $S_{yy}$ ? 20
6. Wat is $r$ , afgerond op 2 decimalen? 0.78
12.
Een docent vergelijkt dagen afwezig met toetscijfers (op 10) van vier leerlingen: $(1, 9)$ , $(3, 8)$ , $(5, 4)$ , $(7, 3)$ . Bereken $r$ op 2 decimalen.
Antwoord: -0.96
1. Wat is $\bar{x}$ ? 4
2. Wat is $\bar{y}$ ? 6
3. De afwijkingen zijn $x$ : $-3, -1, 1, 3$ en $y$ : $3, 2, -2, -3$ . Wat is $S_{xy}$ ? -22
4. Wat is $S_{xx}$ ? 20
5. Wat is $S_{yy}$ ? 26
6. Wat is $r$ , afgerond op 2 decimalen? -0.96
13.
Op een basisschool met kinderen van 6 tot 12 jaar hebben schoenmaat en leesscore $r = 0{,}88$ . Een ouder zegt: "Grotere voeten laten kinderen beter lezen." Beoordeel deze bewering.
Antwoord: 0.88
1. Wat is de richting van de correlatie? positief
2. Hoe sterk is ze? zeer sterk
3. Welke verstorende variabele beïnvloedt zowel schoenmaat als lezen? leeftijd
4. Is de oorzakelijke bewering gerechtvaardigd? nee
14.
Vijf punten liggen dicht bij een stijgende lijn en hebben $r = 0{,}95$ . Een zesde punt wordt ver naar rechts en ver onder de lijn toegevoegd. Wat gebeurt er met $r$ ?
1. a) $r$ wordt veel zwakker en kan zelfs negatief worden
2. b) $r$ stijgt tot precies $1$
3. c) $r$ wordt groter dan $1$
4. d) $r$ blijft $0{,}95$ , één punt maakt niet uit
Antwoord: $r$ wordt veel zwakker en kan zelfs negatief worden
Het nieuwe punt heeft een grote positieve $x$ -afwijking en een grote negatieve $y$ -afwijking, dus het voegt een groot negatief product toe aan $S_{xy}$ . $r$ wordt veel zwakker en kan zelfs negatief worden, zoals in de les waar één uitschieter $r$ van $1$ naar $0$ bracht. $r$ kan nooit groter zijn dan $1$ .
15.
Een winkel verkoopt vier paraplumodellen en vergelijkt elke prijs (in tientallen euro's) met het aantal verkochte paraplu's per week: $(2, 9)$ , $(4, 7)$ , $(6, 3)$ , $(8, 1)$ . Bereken $r$ en rond af op 2 decimalen.
Antwoord: -0.99
$\bar{x} = 5$ , $\bar{y} = 5$ . Afwijkingen: $x$ : $-3, -1, 1, 3$ ; $y$ : $4, 2, -2, -4$ . $S_{xy} = -12 - 2 - 2 - 12 = -28$ , $S_{xx} = 20$ , $S_{yy} = 40$ . $r = \frac{-28}{\sqrt{800}} \approx \frac{-28}{28{,}28} \approx -0{,}99$ : een zeer sterke negatieve correlatie.
16.
Een basketbalcoach noteert extra trainingsuren en gescoorde punten van vijf spelers: $(1, 2)$ , $(2, 4)$ , $(3, 6)$ , $(4, 8)$ , $(10, 0)$ . De laatste speler raakte vroeg in de wedstrijd geblesseerd. Bereken $r$ met en zonder die speler.
Antwoord: -0.45
1. Wat is $\bar{x}$ voor alle vijf spelers? 4
2. Wat is $\bar{y}$ voor alle vijf spelers? 4
3. De afwijkingen zijn $x$ : $-3, -2, -1, 0, 6$ en $y$ : $-2, 0, 2, 4, -4$ . Wat is $S_{xy}$ ? -20
4. Wat is $S_{xx}$ ? 50
5. Wat is $S_{yy}$ ? 40
6. Wat is $r$ met alle vijf spelers, afgerond op 2 decimalen? -0.45
7. De andere vier punten liggen op $y = 2x$ . Wat is $r$ zonder de geblesseerde speler? 1
17.
Een stadsplanner vergelijkt de afstand tot het stadscentrum (km) met het aantal cafés op loopafstand: $(2, 8)$ , $(4, 10)$ , $(6, 5)$ , $(8, 5)$ . Bereken $r$ en rond af op 2 decimalen.
Antwoord: -0.74
1. Wat is $\bar{x}$ ? 5
2. Wat is $\bar{y}$ ? 7
3. De afwijkingen zijn $x$ : $-3, -1, 1, 3$ en $y$ : $1, 3, -2, -2$ . Wat is $S_{xy}$ ? -14
4. Wat is $S_{xx}$ ? 20
5. Wat is $S_{yy}$ ? 18
6. Wat is $r$ , afgerond op 2 decimalen? -0.74
18.
Voor studie-uren en toetsscores van vijf leerlingen geldt $S_{xy} = 45$ , $S_{xx} = 10$ en $S_{yy} = 250$ . Bereken $r$ en bekijk daarna wat er gebeurt als de gegevens veranderen.
Antwoord: 0.9
1. Wat is $\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}$ ? 50
2. Wat is $r$ ? 0.9
3. De docent geeft bij elke score 5 bonuspunten. Wat is de nieuwe $r$ ? 0.9
4. De studietijd wordt nu in minuten genoteerd in plaats van in uren. Wat is de nieuwe $r$ ? 0.9