Richting en sterkte aflezen uit r

Een energiebedrijf vindt $r = -0{,}86$ tussen de buitentemperatuur en de hoeveelheid gas die huishoudens gebruiken om te verwarmen. Beschrijf de correlatie.

Kijk naar het teken voor de richting: $r = -0{,}86$ is negatief = Negatief: warmere dagen gaan samen met minder gas

Neem de absolute waarde voor de sterkte: $\lvert -0{,}86 \rvert = 0{,}86$ = $\lvert r \rvert = 0{,}86$

Vergelijk met de vuistregel: $0{,}86 \ge 0{,}7$ = Sterk

Zet richting en sterkte samen: negatief + sterk = Sterke negatieve lineaire correlatie

Answer: Er is een sterke negatieve lineaire correlatie ($r = -0{,}86$): op warmere dagen gebruiken huishoudens meestal minder gas om te verwarmen.

De spreidingsdiagrammen A tot en met D lezen

Bekijk de spreidingsdiagrammen A, B, C en D in deze les. Beschrijf elk diagram en zeg of $r$ het hele verhaal vertelt.

Diagram A: temperatuur en koude dranken: De punten stijgen van links naar rechts en liggen heel dicht bij een rechte lijn, $r \approx 0{,}99$ = Sterk positief

Diagram B: schermtijd en slaap: De punten dalen een beetje maar liggen ver uit elkaar, $r \approx -0{,}36$ = Zwak negatief

Diagram C: schoenmaat en toetsscore: Geen trend omhoog of omlaag, $r \approx 0{,}02$ = Bijna geen lineair verband

Diagram D: mest en tomaten: De punten vormen een duidelijke kromme in de vorm van een heuvel, maar $r = 0$ = Sterk gekromd verband dat $r$ niet ziet

Answer: A is sterk positief, B is zwak negatief, C laat bijna geen lineair verband zien. D heeft $r = 0$, hoewel het patroon heel duidelijk is: $r$ meet alleen verbanden langs een rechte lijn, dus je moet altijd naar het diagram kijken.

Een interpretatiezin schrijven

Bij 40 leerlingen is de correlatie tussen het aantal minuten lezen per dag en de score op een woordenschattoets $r = 0{,}58$. Schrijf een interpretatiezin.

Richting uit het teken: $r = 0{,}58 > 0$ = Positief

Sterkte uit $\lvert r \rvert$: $0{,}4 \le 0{,}58 < 0{,}7$ = Matig

Noem beide variabelen in de context: minuten lezen per dag en score op de woordenschattoets = Context genoemd

Beschrijf de neiging met "meestal": Meer lezen gaat gemiddeld samen met hogere scores, niet bij elke leerling = "meestal" gebruiken

Answer: Er is een matige positieve lineaire correlatie ($r = 0{,}58$) tussen het aantal minuten lezen per dag en de score op de woordenschattoets: leerlingen die meer lezen, scoren meestal hoger.

Van eenheid wisselen verandert r niet

Voor diagram A is $r \approx 0{,}99$ met temperaturen in °C. Een collega rekent elke temperatuur om naar °F met $F = 1{,}8C + 32$. Hoe groot is $r$ nu?

Reken één waarde om om te zien wat er gebeurt: $25\,°C$: $1{,}8 \times 25 + 32 = 77\,°F$ = $77\,°F$

Beschrijf de omrekening: Elke $x$ wordt met hetzelfde positieve getal $1{,}8$ vermenigvuldigd en daarna wordt er $32$ bij opgeteld = De punten worden uitgerekt en verschoven, niet vervormd

Controleer het patroon: De volgorde van de punten en hoe dicht ze bij een rechte lijn liggen, blijven gelijk = Hetzelfde patroon

Geef $r$: $r$ heeft geen eenheid, dus hangt het niet af van de eenheden van $x$ of $y$ = $r \approx 0{,}99$

Answer: $r$ blijft ongeveer $0{,}99$. Van eenheid wisselen (met een positief getal vermenigvuldigen en een constante optellen) verandert $r$ nooit.

Het effect van één uitschieter

Zes leerlingen oefenden 1 tot 6 uur en haalden 52, 58, 65, 70, 78 en 83 punten op een quiz: $r \approx 0{,}999$. Een zevende leerling oefende 7 uur, maar was ziek op de dag van de quiz en haalde 40 (diagram E). Met dit punt is $r \approx 0{,}14$. Interpreteer beide waarden.

Interpreteer $r$ zonder de uitschieter: $r \approx 0{,}999$, dus $\lvert r \rvert \ge 0{,}7$ = Sterk positief, bijna een perfecte lijn

Interpreteer $r$ met de uitschieter: $r \approx 0{,}14$, dus $\lvert r \rvert < 0{,}4$ = Zwak positief

Zoek uit wat er veranderd is: Er kwam maar één punt bij: $(7, 40)$, ver onder het patroon = Eén uitschieter veranderde de sterkte van sterk naar zwak

Rapporteer eerlijk: Geef $r$ met en zonder de uitschieter en leg het ongewone punt uit = De uitschieter vermelden

Answer: Zonder de uitschieter is de correlatie sterk en positief ($r \approx 0{,}999$); met de uitschieter lijkt $r \approx 0{,}14$ zwak. Eén ongewoon punt verbergt een duidelijk patroon, dus geef beide waarden en leg de uitschieter uit.

Mistake: Denken dat $r = -0{,}8$ zwakker is dan $r = 0{,}5$ omdat $-0{,}8$ een kleiner getal is

Why: Het teken geeft alleen de richting. De sterkte is de afstand tot $0$, dus $\lvert r \rvert$.

Correct: Vergelijk $\lvert -0{,}8 \rvert = 0{,}8$ met $\lvert 0{,}5 \rvert = 0{,}5$: $r = -0{,}8$ is de sterkere correlatie.

Mistake: Altijd "geen verband" concluderen als $r$ dicht bij $0$ ligt

Why: $r$ meet alleen verbanden langs een rechte lijn. Een kromme in de vorm van een heuvel of een U kan $r = 0$ hebben (diagram D).

Correct: Zeg "geen **lineair** verband" en zoek in het spreidingsdiagram altijd naar krommen.

Mistake: Geloven dat $r$ verandert als je van eenheid wisselt, bijvoorbeeld van cm naar inch

Why: Van eenheid wisselen vermenigvuldigt elke waarde met hetzelfde positieve getal (en telt soms een constante op). De vorm van het spreidingsdiagram blijft gelijk.

Correct: $r$ heeft geen eenheid: dezelfde gegevens in cm, m of inch geven dezelfde $r$.

Mistake: $r$ interpreteren zonder naar uitschieters te kijken

Why: Eén ongewoon punt kan een sterke correlatie zwak laten lijken (diagram E) of een zwakke sterk.

Correct: Teken eerst de gegevens. Is er een uitschieter, geef dan $r$ met en zonder die uitschieter.

Energieverbruik plannen

Energiebedrijven gebruiken de correlatie tussen temperatuur en gasverbruik om te plannen hoeveel gas ze in de winter nodig hebben.

Bij $r = -0{,}86$ gaan koudere dagen duidelijk samen met een hoger gasverbruik, dus een koude weersvoorspelling is een goed waarschuwingssignaal.

Brandstofverbruik en snelheid

Auto-ingenieurs weten dat het verbruik hoog is bij heel lage en heel hoge snelheden en daartussen het laagst. Dit gekromde patroon misleidt $r$.

Snelheden van 30, 50, 70, 90, 110, 130 en 150 km/h geven een verbruik van 8,0; 6,5; 5,5; 5,2; 5,5; 6,5 en 8,0 liter per 100 km: een U-vormige kromme.

Gegevens controleren op uitschieters

Data-analisten controleren spreidingsdiagrammen altijd op uitschieters voordat ze een correlatie noemen, omdat één verkeerde of ongewone waarde $r$ sterk kan veranderen.

In diagram E geven zes leerlingen $r \approx 0{,}999$, maar één zieke leerling met 7 uur oefenen en een score van 40 drukt $r$ naar ongeveer $0{,}14$.

Q: Is $r = -0{,}9$ een zwakke correlatie omdat hij negatief is?

A: Nee. Het minteken betekent alleen dat de richting negatief is. $\lvert -0{,}9 \rvert = 0{,}9$, dus het is een sterke negatieve correlatie, sterker dan $r = 0{,}5$.

Q: Waarom staan er in verschillende boeken verschillende tabellen voor de sterkte?

A: Waar "sterk" begint, is een afspraak, geen wiskundig feit. Deze les gebruikt $0{,}7$ en $0{,}4$ als vuistregel. Andere tabellen, zoals die in de les Correlatiecoëfficiënt, gebruiken meer niveaus, bijvoorbeeld "zeer sterk" vanaf $0{,}8$: in deze les hoort "zeer sterk" gewoon bij sterk. In elke tabel betekent een grotere $\lvert r \rvert$ een sterker lineair verband.

Q: Verandert $r$ als ik de lengte in meters meet in plaats van in centimeters?

A: Nee. Als je elke lengte door $100$ deelt, verandert de vorm van het spreidingsdiagram niet, alleen de getallen op de as. $r$ heeft geen eenheid en blijft dus precies gelijk.

Q: Kan een uitschieter een correlatie sterker laten lijken?

A: Ja. Een puntenwolk zonder patroon ($r$ dicht bij $0$) plus één punt ver weg rechtsboven kan $r$ boven $0{,}9$ geven. Daarom controleer je altijd het diagram.