Welke lijn past het best?

Mia telt na elke trainingsweek hoeveel keer ze zich in één minuut kan opdrukken. Week 1 tot en met 8: $6, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19$. Drie leerlingen tekenen een lijn op het oog: - Lijn A: $y = 2x + 3$ - Lijn B: $y = 2x + 7$ - Lijn C: $y = 0{,}5x + 9$ Welke lijn is de beste lijn van beste passing?

Controleer lijn B: Lijn B geeft $9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23$ voor week 1 tot en met 8. Elk datapunt ligt lager. = Alle 8 punten liggen onder lijn B: hij ligt te hoog

Controleer lijn C: Lijn C geeft $9{,}5; 10; 10{,}5; 11; 11{,}5; 12; 12{,}5; 13$. Week 1 tot en met 3 liggen eronder, week 4 tot en met 8 erboven. = Punten onder aan de linkerkant, boven aan de rechterkant: lijn C is te vlak

Controleer lijn A: Lijn A geeft $5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19$. Erboven: week 1, 4, 6. Eronder: week 2, 5, 7. Op de lijn: week 3, 8. = 3 erboven, 3 eronder, verdeeld over de hele lijn

Beslis: Alleen bij lijn A zijn de punten aan beide kanten over de hele lengte in evenwicht, en hij volgt de stijgende trend. = Lijn A past het best

Answer: Lijn A, $y = 2x + 3$, is de beste lijn van beste passing. Lijn B ligt te hoog en lijn C is te vlak.

Vergelijking uit twee punten op de lijn

Mia's lijn van beste passing gaat door de roosterpunten $(0, 3)$ en $(5, 13)$. Vind de vergelijking.

Bepaal de verandering in y en in x: $13 - 3 = 10$ en $5 - 0 = 5$ = Stijging $10$, stap $5$

Bereken de richtingscoëfficiënt: $m = \frac{10}{5} = 2$ = $m = 2$

Bepaal het startgetal: Het punt $(0, 3)$ ligt op de y-as, dus $b = 3$ = $b = 3$

Schrijf en controleer de vergelijking: $y = 2x + 3$. Controle met $(5, 13)$: $2 \times 5 + 3 = 13$ = $y = 2x + 3$

Answer: De lijn van beste passing is $y = 2x + 3$.

Een dalende trend

Een café zet de buitentemperatuur $x$ (°C) uit tegen het aantal verkochte warme dranken $y$. De lijn van beste passing op het oog gaat door $(10, 80)$ en $(25, 35)$. Vind de vergelijking en leg de richtingscoëfficiënt uit.

Bereken de richtingscoëfficiënt: $m = \frac{35 - 80}{25 - 10} = \frac{-45}{15} = -3$ = $m = -3$

Gebruik één punt om b te vinden: $b = y_1 - m x_1 = 80 - (-3)(10) = 80 + 30 = 110$ = $b = 110$

Schrijf de vergelijking: $y = -3x + 110$ = $y = -3x + 110$

Controleer met het andere punt: $-3 \times 25 + 110 = -75 + 110 = 35$ = De lijn gaat door $(25, 35)$

Verklaar de richtingscoëfficiënt: De richtingscoëfficiënt is negatief: per graad warmer daalt de lijn met 3 dranken = Ongeveer 3 warme dranken minder per extra °C

Answer: $y = -3x + 110$: per graad warmer verkoopt het café ongeveer 3 warme dranken minder.

Wat betekenen richtingscoëfficiënt en startgetal?

Voor tweedehands fietsen is de lijn van beste passing tussen leeftijd $x$ (jaren) en prijs $y$ (€) gelijk aan $y = -40x + 300$. De data gaan over fietsen van 1 tot 6 jaar oud. Verklaar de richtingscoëfficiënt en het startgetal.

Lees de richtingscoëfficiënt af: $m = -40$, gemeten in € per jaar = Richtingscoëfficiënt $-40$

Verklaar de richtingscoëfficiënt: Met elk extra jaar leeftijd daalt de voorspelde prijs met 40 € = Een fiets verliest ongeveer 40 € per jaar

Lees het startgetal af: $b = 300$, de waarde van $y$ als $x = 0$ = Startgetal $300$

Verklaar het startgetal: Leeftijd $0$ betekent een nieuwe fiets. Dat ligt net buiten de data (1 tot 6 jaar), dus het is maar een ruwe schatting = Een nieuwe fiets kost ongeveer 300 €

Answer: De richtingscoëfficiënt zegt dat een tweedehands fiets ongeveer 40 € per jaar verliest. Het startgetal zegt dat een nieuwe fiets ongeveer 300 € kost.

Het gemiddelde punt gebruiken

Een kiosk noteert vijf dagen lang het aantal uren zon $x$ en het aantal verkochte ijsjes $y$: $(1, 4)$, $(3, 7)$, $(4, 10)$, $(6, 12)$, $(6, 17)$. Een leerling heeft de lijn $y = 2x + 1$ getekend. Controleer hem met het gemiddelde punt en verbeter hem, met dezelfde richtingscoëfficiënt $2$.

Bereken het gemiddelde van x: $\bar{x} = \frac{1 + 3 + 4 + 6 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4$ = $\bar{x} = 4$

Bereken het gemiddelde van y: $\bar{y} = \frac{4 + 7 + 10 + 12 + 17}{5} = \frac{50}{5} = 10$ = $\bar{y} = 10$

Test de lijn van de leerling bij x = 4: $2 \times 4 + 1 = 9$, maar $\bar{y} = 10$ = De lijn mist $(4, 10)$ met 1

Schuif de lijn door het gemiddelde punt: $b = \bar{y} - m\bar{x} = 10 - 2 \times 4 = 2$ = $y = 2x + 2$

Answer: Het gemiddelde punt is $(4, 10)$. De verbeterde lijn is $y = 2x + 2$, die er doorheen gaat.

Mistake: De lijn van het eerste naar het laatste datapunt tekenen

Why: Het eerste en het laatste punt kunnen afwijken. Een lijn door die twee laat vaak de meeste punten aan één kant liggen.

Correct: Kijk niet naar losse punten maar naar de hele wolk: ongeveer de helft van de punten erboven, de helft eronder. De lijn mag door geen enkel punt gaan.

Mistake: Het aantal punten in evenwicht brengen zonder de trend te volgen

Why: Een te vlakke lijn kan 4 punten erboven en 4 eronder hebben, maar alle lage punten liggen links en alle hoge rechts.

Correct: Controleer beide uiteinden: bij elk uiteinde van de lijn moeten er punten boven en onder liggen.

Mistake: De richtingscoëfficiënt uit twee datapunten berekenen in plaats van uit twee punten op de lijn

Why: Datapunten liggen meestal niet op de lijn, dus hun richtingscoëfficiënt is niet de richtingscoëfficiënt van jouw lijn.

Correct: Lees twee punten af die op jouw getekende lijn liggen, ver uit elkaar en op roosterpunten, en gebruik dan $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Mistake: De richtingscoëfficiënt lezen als een waarde van y in plaats van een verandering

Why: Bij $y = 2x + 3$ voor weken en opdrukken betekent $2$ niet "2 keer opdrukken". Het is de verandering per week.

Correct: Noem de richtingscoëfficiënt met beide eenheden: per trainingsweek ongeveer 2 keer extra opdrukken.

Trainen voor een hardloopwedstrijd

Trainers tekenen een trendlijn door de tijden van een atlete om te zien hoeveel sneller ze elke week wordt.

De 5 km-tijden van een hardloopster dalen in een paar weken van ongeveer 30 minuten naar ongeveer 22 minuten. De trendlijn laat de gestage vooruitgang zien, ook op slechte dagen.

Limonadekraam

Kleine verkopers zetten de temperatuur uit tegen de verkoop om te plannen hoeveel ze moeten klaarmaken.

Op warme dagen verkoopt een kraam veel meer bekers. Een trendlijn door de data van een zomer laat zien hoeveel extra bekers elke graad ongeveer oplevert.

Proef met plantengroei

Bij biologie meten leerlingen een plant om de paar dagen en beschrijven ze de groeisnelheid met een trendlijn.

Metingen zijn nooit perfect, dus de hoogtes liggen een beetje verspreid. De lijn van beste passing geeft één groeisnelheid in centimeter per dag.

Q: Is er maar één juiste lijn van beste passing?

A: Op het oog niet. Twee leerlingen kunnen een iets andere lijn tekenen die allebei goed zijn. Hun richtingscoëfficiënten en startgetallen liggen dicht bij elkaar. Alleen de kleinste-kwadratenlijn uit de les Lineaire regressie is één exacte lijn.

Q: Moet de lijn door de oorsprong gaan?

A: Nee. De lijn gaat waar de data hem heen sturen. Dwing hem alleen door $(0, 0)$ als de situatie echt bij nul begint en de data dat bevestigen.

Q: Moet ik punten meetellen die precies op de lijn liggen?

A: Punten op de lijn tellen voor geen van beide kanten. Breng de punten erboven in evenwicht met de punten eronder.

Q: Wanneer moet ik geen lijn van beste passing tekenen?

A: Als het spreidingsdiagram geen trend laat zien, of als de punten duidelijk een kromme volgen. Een rechte lijn is alleen zinvol bij een lineair patroon.