Moet de lijn door de oorsprong gaan?

Nee. De lijn gaat waar de data hem heen sturen. Dwing hem alleen door $(0, 0)$ als de situatie echt bij nul begint en de data dat bevestigen.

Moet ik punten meetellen die precies op de lijn liggen?

Punten op de lijn tellen voor geen van beide kanten. Breng de punten erboven in evenwicht met de punten eronder.

Wanneer moet ik geen lijn van beste passing tekenen?

Als het spreidingsdiagram geen trend laat zien, of als de punten duidelijk een kromme volgen. Een rechte lijn is alleen zinvol bij een lineair patroon.

Leermiddelen

Lijn van beste passing

Leer een lijn van beste passing op het oog in een spreidingsdiagram te tekenen, de vergelijking uit twee punten te vinden en de richtingscoëfficiënt en het startgetal te verklaren.

Gemiddeld25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Een lijn van beste passing (ook trendlijn genoemd) is een rechte lijn in een spreidingsdiagram die de algemene trend van de data laat zien. Hij hoeft door geen enkel punt te gaan.

Een goede lijn van beste passing op het oog:

heeft ongeveer de helft van de punten boven zich en de helft onder zich
volgt de richting van de punten (stijgend, dalend, hoe steil)
heeft de punten verdeeld over zijn hele lengte, niet allemaal boven aan het ene uiteinde en allemaal onder aan het andere

Als de lijn getekend is, kies je twee punten op de lijn (geen datapunten), ver uit elkaar en op roosterpunten, en vind je de vergelijking

y = mx + b

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - m x_1

Het gemiddelde punt (of zwaartepunt)

(\bar{x}, \bar{y})

is een handig hulpmiddel: de regressielijn volgens de kleinste-kwadratenmethode gaat er altijd doorheen, dus een goede lijn op het oog moet er ook door of er heel dicht langs gaan.

Probeer het meteen

Welke beschrijving past bij een goede lijn van beste passing op het oog?

Uitgewerkte voorbeelden

Mia telt na elke trainingsweek hoeveel keer ze zich in één minuut kan opdrukken. Week 1 tot en met 8:

6, 6, 9, 12, 12, 16, 16, 19

. Drie leerlingen tekenen een lijn op het oog: - Lijn A:

y = 2x + 3

- Lijn B:

y = 2x + 7

- Lijn C:

y = 0{,}5x + 9

Welke lijn is de beste lijn van beste passing?

Controleer lijn B

Lijn B geeft

9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23

voor week 1 tot en met 8. Elk datapunt ligt lager. → Alle 8 punten liggen onder lijn B: hij ligt te hoog

Controleer lijn C

Lijn C geeft

9{,}5; 10; 10{,}5; 11; 11{,}5; 12; 12{,}5; 13

. Week 1 tot en met 3 liggen eronder, week 4 tot en met 8 erboven. → Punten onder aan de linkerkant, boven aan de rechterkant: lijn C is te vlak

Controleer lijn A

Lijn A geeft

5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

. Erboven: week 1, 4, 6. Eronder: week 2, 5, 7. Op de lijn: week 3, 8. → 3 erboven, 3 eronder, verdeeld over de hele lijn

Beslis

Alleen bij lijn A zijn de punten aan beide kanten over de hele lengte in evenwicht, en hij volgt de stijgende trend. → Lijn A past het best

Antwoord: Lijn A, $y = 2x + 3$ , is de beste lijn van beste passing. Lijn B ligt te hoog en lijn C is te vlak.

Veelgemaakte fouten

De lijn van het eerste naar het laatste datapunt tekenen

Waarom het fout is: Het eerste en het laatste punt kunnen afwijken. Een lijn door die twee laat vaak de meeste punten aan één kant liggen.

Correct: Kijk niet naar losse punten maar naar de hele wolk: ongeveer de helft van de punten erboven, de helft eronder. De lijn mag door geen enkel punt gaan.

Het aantal punten in evenwicht brengen zonder de trend te volgen

Waarom het fout is: Een te vlakke lijn kan 4 punten erboven en 4 eronder hebben, maar alle lage punten liggen links en alle hoge rechts.

Correct: Controleer beide uiteinden: bij elk uiteinde van de lijn moeten er punten boven en onder liggen.

De richtingscoëfficiënt uit twee datapunten berekenen in plaats van uit twee punten op de lijn

Waarom het fout is: Datapunten liggen meestal niet op de lijn, dus hun richtingscoëfficiënt is niet de richtingscoëfficiënt van jouw lijn.

Correct: Lees twee punten af die op jouw getekende lijn liggen, ver uit elkaar en op roosterpunten, en gebruik dan $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

De richtingscoëfficiënt lezen als een waarde van y in plaats van een verandering

Waarom het fout is: Bij $y = 2x + 3$ voor weken en opdrukken betekent $2$ niet "2 keer opdrukken". Het is de verandering per week.

Correct: Noem de richtingscoëfficiënt met beide eenheden: per trainingsweek ongeveer 2 keer extra opdrukken.

Interactieve visualisatie

Spreidingsdiagram

Trainingsweken en opdrukken

ŷ = 1,93x + 3,32

r = 0,982 · sterke positieve correlatie

Tik op een punt om de coördinaten te zien.

Grafiek van de functie

Tik op het rooster om een punt te zetten. Tik er nog eens op om het weg te halen.Zet minstens 2 punten om de lijn erdoor te zien.

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = 2x + 3

m=2, b=3

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Welke beschrijving past bij een goede lijn van beste passing op het oog?

Oefenproblemen: Lijn van beste passing

1. Welke beschrijving past bij een goede lijn van beste passing op het oog?
2. Een lijn van beste passing gaat door de punten (0, 4) en (5, 14). Wat is de richtingscoëfficiënt?
3. Een lijn van beste passing gaat door (0, 2) en (4, 10). Vind de vergelijking y = mx + b.
4. Mia's lijn van beste passing is y = 2x + 3, met x het aantal trainingsweken en y het aantal keer opdrukken in één minuut. Wat betekent de richtingscoëfficiënt 2?
5. Een lijn van beste passing op het oog gaat door (0, 12) en (4, 4). Wat is het startgetal b?
6. Is de lijn y = x + 1 een goede lijn van beste passing voor de punten (1, 3), (2, 2), (3, 5), (4, 4), (5, 7), (6, 6)? Tel de punten erboven en eronder.
7. Een leerling tekent een lijn in een spreidingsdiagram met 8 punten. 7 punten liggen boven de lijn en 1 eronder, gelijkmatig verdeeld van links naar rechts. Hoe moet de leerling de lijn verbeteren?
8. Een trendlijn gaat door (2, 9) en (6, 21). Wat is de richtingscoëfficiënt?
9. Een lijn van beste passing gaat door (10, 80) en (30, 40). Vind de vergelijking y = mx + b.
10. Het gemiddelde punt van een dataset is (4, 10). Welke van deze lijnen gaat erdoor?
11. Een spreidingsdiagram heeft de punten (2, 5), (4, 9), (6, 10), (8, 16). Wat is \bar{y}, de y-coördinaat van het gemiddelde punt?
12. Data: (1, 3), (2, 6), (3, 6), (4, 9), (5, 11). Een lijn van beste passing met richtingscoëfficiënt 2 moet door het gemiddelde punt gaan. Vind het startgetal b.
13. De lijn van beste passing voor het batterijniveau y (%) van een telefoon na x uur gebruik is y = -12x + 100. Verklaar hem.
14. Voor leerlingen tussen 150 cm en 190 cm lang is de lijn van beste passing tussen lengte x (cm) en spanwijdte van de armen y (cm) gelijk aan y = 1,1x - 18. Wat zegt het startgetal -18?
15. Een lijn van beste passing heeft richtingscoëfficiënt -4 en gaat door het gemiddelde punt (5, 30). Wat is het startgetal b?
16. In een spreidingsdiagram wordt een lijn van beste passing getekend door de punten (1, 7) en (9, 3) op de lijn. Bepaal de richtingscoëfficiënt en het startgetal, en daarna de waarde van de lijn bij x = 5.
17. Het gemiddelde punt van een dataset is (6, 20). De lijn van beste passing van een leerling gaat door (0, 5) en (10, 30). Gaat hij door het gemiddelde punt?
18. De lijn van beste passing van een café voor de prijs x (in €) en het aantal verkochte taartpunten per dag y gaat door het gemiddelde punt (4, 18) en door (8, 10). Vind de vergelijking en het aantal taartpunten dat hij voorspelt bij een prijs van 6 €.

Waarom het belangrijk is

Echte data liggen nooit precies op een lijn, maar ze volgen vaak een duidelijke trend:

Sport: een trainster ziet hoeveel een atlete per trainingsweek vooruitgaat
Winkels: een café ziet hoeveel warme dranken het per warmere dag minder verkoopt
Wetenschap: een leerling bepaalt uit verspreide metingen hoe snel een plant per dag groeit
Geld: een koper ziet hoeveel waarde een tweedehands fiets per jaar verliest

Een lijn van beste passing maakt van een puntenwolk één eenvoudige regel

y = mx + b

. De richtingscoëfficiënt zegt hoeveel

y

verandert per eenheid van

x

, het startgetal zegt waar de trend begint. Het is de eerste stap voordat je voorspellingen doet, residuen bekijkt en meet hoe goed een lijn past.

Toepassingen in de echte wereld

Trainen voor een hardloopwedstrijd

Trainers tekenen een trendlijn door de tijden van een atlete om te zien hoeveel sneller ze elke week wordt.

Voorbeeld:

De 5 km-tijden van een hardloopster dalen in een paar weken van ongeveer 30 minuten naar ongeveer 22 minuten. De trendlijn laat de gestage vooruitgang zien, ook op slechte dagen.

1Probeer het zelf

De lijn van beste passing voor de 5 km-tijd $y$ (minuten) van een hardloopster na $x$ weken gaat door $(2, 30)$ en $(6, 22)$ .

Wat is de richtingscoëfficiënt van de lijn, in minuten per week?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Richtingscoëfficiënt = verandering in y gedeeld door verandering in x:

Limonadekraam

Kleine verkopers zetten de temperatuur uit tegen de verkoop om te plannen hoeveel ze moeten klaarmaken.

Voorbeeld:

Op warme dagen verkoopt een kraam veel meer bekers. Een trendlijn door de data van een zomer laat zien hoeveel extra bekers elke graad ongeveer oplevert.

2Probeer het zelf

De lijn van beste passing van een limonadekraam voor de temperatuur $x$ (°C) en het aantal verkochte bekers $y$ gaat door $(20, 30)$ en $(30, 50)$ .

Wat is het startgetal $b$ van deze lijn?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bepaal de richtingscoëfficiënt en gebruik dan $b = y_1 - m x_1$ :

Proef met plantengroei

Bij biologie meten leerlingen een plant om de paar dagen en beschrijven ze de groeisnelheid met een trendlijn.

Voorbeeld:

Metingen zijn nooit perfect, dus de hoogtes liggen een beetje verspreid. De lijn van beste passing geeft één groeisnelheid in centimeter per dag.

3Probeer het zelf

Een plant wordt gemeten op dag $2, 4, 6, 8$ , met hoogtes $3, 6, 8, 11$ cm. De lijn van beste passing heeft richtingscoëfficiënt $1{,}3$ en gaat door het gemiddelde punt.

Wat is het startgetal $b$ van de lijn?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik het gemiddelde punt in $b = \bar{y} - m\bar{x}$ :

Belangrijke punten

1Een lijn van beste passing is een rechte lijn die de algemene trend van de punten in een spreidingsdiagram laat zien
2Teken hem op het oog zo dat ongeveer de helft van de punten erboven en de helft eronder ligt, over zijn hele lengte
3De lijn volgt de richting van de data en hoeft door geen enkel datapunt te gaan
4Vind de vergelijking uit twee punten op de lijn: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , daarna $b = y_1 - m x_1$
5De richtingscoëfficiënt is de verandering van $y$ per eenheid van $x$ ; het startgetal is de voorspelde $y$ bij $x = 0$ , die soms geen echte betekenis heeft
6De kleinste-kwadratenlijn gaat altijd door het gemiddelde punt $(\bar{x}, \bar{y})$ , dus een goede lijn op het oog gaat er dicht langs

Veelgestelde vragen

Op het oog niet. Twee leerlingen kunnen een iets andere lijn tekenen die allebei goed zijn. Hun richtingscoëfficiënten en startgetallen liggen dicht bij elkaar. Alleen de kleinste-kwadratenlijn uit de les Lineaire regressie is één exacte lijn.

Woordenlijst

Lijn van beste passing: Een rechte lijn in een spreidingsdiagram die de algemene trend van de data laat zien (ook trendlijn genoemd)
Richtingscoëfficiënt: De verandering van $y$ als $x$ met 1 toeneemt; langs de lijn is $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Startgetal: De waarde van $y$ waar de lijn de y-as snijdt, dus bij $x = 0$
Gemiddelde punt: Het punt $(\bar{x}, \bar{y})$ uit het gemiddelde van alle x-waarden en het gemiddelde van alle y-waarden (ook zwaartepunt of punt van de gemiddelden genoemd)
Regressielijn: De exacte lijn van beste passing volgens de kleinste-kwadratenmethode; hij gaat altijd door het gemiddelde punt

Formulekaart

Richtingscoëfficiënt uit twee punten

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Gebruik twee punten op de getekende lijn, geen datapunten

Startgetal

b = y_1 - m x_1

Vul een punt van de lijn en de richtingscoëfficiënt in $y = mx + b$ in

Lijn van beste passing

y = mx + b

De vergelijking van de trendlijn

Gemiddelde punt

\bar{y} = m\bar{x} + b

De kleinste-kwadratenlijn gaat door $(\bar{x}, \bar{y})$

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Spreidingsdiagram

Trainingsweken en opdrukken

Grafiek van de functie

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Trainen voor een hardloopwedstrijd

Limonadekraam

Proef met plantengroei

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Richtingscoëfficiënt uit twee punten

Startgetal

Lijn van beste passing

Gemiddelde punt

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot regressie

Lineaire regressie

Spreidingsdiagrammen

Voorspellingen doen met data