Een score binnen de data voorspellen

Een klas heeft studie-uren ($x$, van 1 tot 8 uur) en toetsscores ($y$, maximaal 100) bijgehouden. De regressielijn is $\hat{y} = 5x + 52$. Voorspel de score van een leerling die $6{,}5$ uur studeert.

Controleer waar de x-waarde ligt: De data loopt van $1$ tot $8$ uur, en $1 \le 6{,}5 \le 8$ = Binnen de data: interpolatie

Vul x = 6,5 in de vergelijking in: $\hat{y} = 5(6{,}5) + 52$ = $\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52$

Vermenigvuldig: $5 \times 6{,}5 = 32{,}5$ = $32{,}5$

Tel het startgetal erbij op: $32{,}5 + 52 = 84{,}5$ = $\hat{y} = 84{,}5$

Answer: De voorspelde score is $84{,}5$, dus ongeveer $85$ punten. Omdat $6{,}5$ uur binnen de data ligt, is dit interpolatie en is de voorspelling redelijk.

Terugrekenen naar een doel

Met $\hat{y} = 5x + 52$ wil Lena $80$ punten halen. Ongeveer hoeveel uur moet ze studeren?

Zet het doel in plaats van ŷ: $80 = 5x + 52$ = Een vergelijking in $x$

Trek aan beide kanten het startgetal af: $80 - 52 = 5x$ = $28 = 5x$

Deel door de richtingscoëfficiënt: $x = \frac{28}{5} = 5{,}6$ = $x = 5{,}6$ uur

Rond af in de richting die het doel vraagt: Met $5$ uur: $5(5) + 52 = 77 < 80$. Met $6$ uur: $5(6) + 52 = 82 \ge 80$ = Ongeveer $6$ uur inplannen

Answer: De lijn geeft $x = 5{,}6$ uur (ongeveer 5 uur en 36 minuten). Om een doel zeker te halen, rond je naar boven af: Lena kan het beste ongeveer $6$ uur inplannen.

Interpolatie of extrapolatie?

Voorspel met dezelfde lijn $\hat{y} = 5x + 52$ (data van 1 tot 8 uur) de score voor $3{,}5$ uur en voor $12$ uur. Welke voorspelling kun je vertrouwen?

Schrijf het databereik op: Kleinste $x = 1$, grootste $x = 8$ = Bereik: $1$ tot $8$ uur

Voorspel voor 3,5 uur (binnen het bereik): $\hat{y} = 5(3{,}5) + 52 = 17{,}5 + 52 = 69{,}5$ = Interpolatie: ongeveer $70$ punten

Voorspel voor 12 uur (buiten het bereik): $\hat{y} = 5(12) + 52 = 60 + 52 = 112$ = Extrapolatie: $112$ punten

Vergelijk met de werkelijkheid: De toets gaat tot $100$ punten, dus $112$ is onmogelijk. Het rechtlijnige patroon kan niet eeuwig doorgaan. = Alleen de eerste voorspelling is te vertrouwen

Answer: Voor $3{,}5$ uur is de voorspelling ongeveer $70$ punten (interpolatie, redelijk). Voor $12$ uur geeft de lijn $112$, wat onmogelijk is: ver buiten de data extrapoleren is riskant.

Een voorspelling zinvol afronden

Bij een schoolfeest volgt het aantal bezoekers $\hat{y} = 14{,}6x + 23$, waarbij $x$ het aantal opgehangen posters is (data van 2 tot 10 posters). Dit jaar hangen er $4$ posters. Op hoeveel bezoekers moet je rekenen, en hoeveel stoelen moeten er klaarstaan?

Controleer het databereik: $2 \le 4 \le 10$ = Interpolatie

Vermenigvuldig de richtingscoëfficiënt met x: $14{,}6 \times 4 = 58{,}4$ = $58{,}4$

Tel het startgetal erbij op: $58{,}4 + 23 = 81{,}4$ = $\hat{y} = 81{,}4$

Rond af passend bij de situatie: Mensen tel je in hele getallen: ongeveer $81$ bezoekers. Voor stoelen rond je naar boven af, zodat niemand hoeft te staan. = Ongeveer $81$ bezoekers, minstens $82$ stoelen

Answer: Reken op ongeveer $81$ bezoekers. Omdat de voorspelling maar een schatting is en iedereen een plek nodig heeft, zet je minstens $82$ stoelen klaar (een paar extra is nog veiliger).

Sterk of zwak: hoeveel kun je erop vertrouwen?

Dezelfde klas heeft twee modellen. Studie-uren: $\hat{y} = 5x + 52$ met $r \approx 0{,}99$. Uren slaap: $\hat{y} = 2x + 59$ met $r \approx 0{,}21$. Voorspel in beide modellen de score voor $7$ uur en vergelijk met de echte scores.

Voorspel met het studiemodel: $\hat{y} = 5(7) + 52 = 35 + 52 = 87$ = De leerling die 7 uur studeerde, haalde echt $87$

Voorspel met het slaapmodel: $\hat{y} = 2(7) + 59 = 14 + 59 = 73$ = De leerlingen die 7 uur sliepen, haalden echt $62$ en $88$

Meet hoe ver de slaapvoorspelling ernaast zit: $73 - 62 = 11$ en $88 - 73 = 15$ = Tot $15$ punten ernaast

Koppel de nauwkeurigheid aan r: $r \approx 0{,}99$: de punten liggen dicht bij de lijn. $r \approx 0{,}21$: de punten liggen ver rond de lijn verspreid. = Sterke correlatie, betrouwbare voorspelling

Answer: Beide voorspellingen gebruiken dezelfde methode, maar alleen het studiemodel is betrouwbaar. Met $r \approx 0{,}21$ geeft de slaaplijn een ruwe schatting die $15$ punten of meer ernaast kan zitten.

Mistake: De doelwaarde van y voor x invullen: voor een doelscore van $80$ uitrekenen $5(80) + 52 = 452$

Why: $80$ is een score, dus een $y$-waarde. Als je die voor $x$ invult, beantwoord je een andere vraag (de score na 80 uur studeren).

Correct: Stel de vergelijking gelijk aan het doel en los op naar $x$: $80 = 5x + 52$, dus $x = 5{,}6$.

Mistake: Op extrapolatie vertrouwen: $112$ punten voorspellen voor $12$ uur studeren

Why: Het patroon is alleen tussen 1 en 8 uur waargenomen. Daarbuiten kan het veranderen, en hier kan de score niet eens boven de 100 komen.

Correct: Controleer altijd eerst het databereik. Markeer voorspellingen daarbuiten als extrapolatie en ga er voorzichtig mee om.

Mistake: Afronden zonder aan de situatie te denken: $84{,}5$ punten als exact opgeven, of $5{,}6$ uur naar beneden afronden op $5$

Why: Een voorspelling is een schatting, en extra decimalen suggereren een nauwkeurigheid die er niet is. Als je bij een doel naar beneden afrondt, kom je misschien tekort (5 uur voorspelt maar 77 punten).

Correct: Rond af op de nauwkeurigheid van de data, en rond naar boven af als je een doel moet halen of iedereen moet voorzien (tijd, stoelen, bussen).

Mistake: Elke voorspelling even betrouwbaar vinden

Why: Een lijn kun je altijd berekenen, ook bij verspreide data. Met $r \approx 0{,}21$ kunnen de echte waarden ver van $\hat{y}$ liggen.

Correct: Kijk eerst naar het spreidingsdiagram of $r$: $|r|$ dicht bij 1 betekent een betrouwbare voorspelling, $|r|$ dicht bij 0 alleen een ruwe schatting.

Groeicurves voor kinderen

Artsen vergelijken de lengte van een kind met groeimodellen. Een eenvoudig model voor leeftijden van 2 tot 10 jaar is $\hat{y} = 6x + 77$, waarbij $x$ de leeftijd in jaren is en $\hat{y}$ de lengte in cm. Het model geldt alleen voor die leeftijden: voor een volwassene van 40 zou het $317$ cm voorspellen.

Op 5-jarige leeftijd voorspelt het model $6(5) + 77 = 107$ cm.

Bezorgtijden schatten

Maaltijdbezorgers trekken lijnen door eerdere bestellingen om bezorgtijden te schatten. Een app vond $\hat{y} = 3x + 8$, waarbij $x$ de afstand in km is (bestellingen van 1 tot 12 km) en $\hat{y}$ de tijd in minuten.

Voor een restaurant op 5 km voorspelt de app $3(5) + 8 = 23$ minuten.

Accuvoorspellingen op je telefoon

Telefoons schatten de resterende accu op basis van hoe snel hij leegloopt. Metingen tijdens het streamen van video gaven $\hat{y} = 100 - 8x$, waarbij $x$ het aantal uur video is (data van 0 tot 10 uur) en $\hat{y}$ het accuniveau in procent.

Na 6 uur video voorspelt het model $100 - 8(6) = 52\%$.

Q: Waarom schrijven we $\hat{y}$ in plaats van $y$?

A: Het dakje laat zien dat de waarde van de lijn komt en een voorspelling is. De echte, gemeten waarde is $y$. Door ze uit elkaar te houden, onthoud je dat een echte uitkomst boven of onder de voorspelling kan liggen.

Q: Is extrapolatie altijd fout?

A: Niet altijd. Net buiten de data (bijvoorbeeld $x = 0$ of $x = 9$ als de data van 1 tot 8 loopt) kan de schatting nog redelijk zijn. Hoe verder je gaat, hoe groter de kans dat het patroon verandert, dus zeg duidelijk dat je extrapoleert.

Q: Hoe dicht bij 1 moet $r$ liggen voor een goede voorspelling?

A: Een gangbare vuistregel: $|r| \ge 0{,}7$ is sterk, $0{,}4$ tot $0{,}7$ is matig en onder $0{,}4$ is zwak. Ook bij een sterke correlatie kan een losse voorspelling een paar punten ernaast zitten.

Q: Kan ik met dezelfde lijn $x$ voorspellen uit $y$?

A: Als je $y = mx + b$ oplost naar $x$, krijg je een goede schatting voor planning, zoals in het voorbeeld met de studie-uren. Wie in de statistiek alleen $x$ wil voorspellen, berekent een aparte lijn met $x$ als responsvariabele, dus zie de uitkomst als een schatting.