Is extrapolatie altijd fout?

Niet altijd. Net buiten de data (bijvoorbeeld $x = 0$ of $x = 9$ als de data van 1 tot 8 loopt) kan de schatting nog redelijk zijn. Hoe verder je gaat, hoe groter de kans dat het patroon verandert, dus zeg duidelijk dat je extrapoleert.

Hoe dicht bij 1 moet $r$ liggen voor een goede voorspelling?

Een gangbare vuistregel: $|r| \ge 0{,}7$ is sterk, $0{,}4$ tot $0{,}7$ is matig en onder $0{,}4$ is zwak. Ook bij een sterke correlatie kan een losse voorspelling een paar punten ernaast zitten.

Kan ik met dezelfde lijn $x$ voorspellen uit $y$?

Als je $y = mx + b$ oplost naar $x$, krijg je een goede schatting voor planning, zoals in het voorbeeld met de studie-uren. Wie in de statistiek alleen $x$ wil voorspellen, berekent een aparte lijn met $x$ als responsvariabele, dus zie de uitkomst als een schatting.

Leermiddelen

Voorspellingen doen met data

Gebruik een regressielijn om waarden te voorspellen, terug te rekenen naar een doel en te beoordelen wanneer je een voorspelling kunt vertrouwen.

Gemiddeld25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

Zodra je een regressielijn

\hat{y} = mx + b

hebt, kun je die gebruiken om voorspellingen te doen. Het symbool

\hat{y}

(spreek uit: "y-dakje") is de voorspelde waarde: de waarde die de lijn verwacht, geen gemeten waarde.

Er zijn twee soorten vragen:

$y$ voorspellen uit $x$ **: vul de waarde van $x$ in en bereken $\hat{y} = mx + b$ .
$x$ vinden voor een doel $y$ **: stel $mx + b$ gelijk aan het doel en los op: $x = \frac{y - b}{m}$ .

Waar de

x

-waarde ligt, is belangrijk:

Interpolatie: $x$ ligt binnen het databereik. De voorspelling is meestal redelijk.
Extrapolatie: $x$ ligt buiten het databereik. Het patroon hoeft niet door te gaan, dus de voorspelling is riskant.

Hoeveel je een voorspelling kunt vertrouwen, hangt af van de sterkte van de correlatie: als

r

dicht bij

1

-1

ligt, liggen de punten dicht bij de lijn en zijn voorspellingen betrouwbaar; als

r

dicht bij

0

ligt, zijn het alleen ruwe schattingen.

Probeer het meteen

Een regressielijn is

\hat{y} = 4x + 10

. Wat is de voorspelde waarde voor

x = 5

Uitgewerkte voorbeelden

Een klas heeft studie-uren (

x

, van 1 tot 8 uur) en toetsscores (

y

, maximaal 100) bijgehouden. De regressielijn is

\hat{y} = 5x + 52

. Voorspel de score van een leerling die

6{,}5

uur studeert.

Controleer waar de x-waarde ligt

De data loopt van

1

tot

8

uur, en

1 \le 6{,}5 \le 8

→ Binnen de data: interpolatie

Vul x = 6,5 in de vergelijking in

\hat{y} = 5(6{,}5) + 52

→

\hat{y} = 5 \times 6{,}5 + 52

Vermenigvuldig

5 \times 6{,}5 = 32{,}5

Tel het startgetal erbij op

32{,}5 + 52 = 84{,}5

→

\hat{y} = 84{,}5

Antwoord: De voorspelde score is $84{,}5$ , dus ongeveer $85$ punten. Omdat $6{,}5$ uur binnen de data ligt, is dit interpolatie en is de voorspelling redelijk.

Veelgemaakte fouten

De doelwaarde van y voor x invullen: voor een doelscore van $80$ uitrekenen $5(80) + 52 = 452$

Waarom het fout is: $80$ is een score, dus een $y$ -waarde. Als je die voor $x$ invult, beantwoord je een andere vraag (de score na 80 uur studeren).

Correct: Stel de vergelijking gelijk aan het doel en los op naar $x$ : $80 = 5x + 52$ , dus $x = 5{,}6$ .

Op extrapolatie vertrouwen: $112$ punten voorspellen voor $12$ uur studeren

Waarom het fout is: Het patroon is alleen tussen 1 en 8 uur waargenomen. Daarbuiten kan het veranderen, en hier kan de score niet eens boven de 100 komen.

Correct: Controleer altijd eerst het databereik. Markeer voorspellingen daarbuiten als extrapolatie en ga er voorzichtig mee om.

Afronden zonder aan de situatie te denken: $84{,}5$ punten als exact opgeven, of $5{,}6$ uur naar beneden afronden op $5$

Waarom het fout is: Een voorspelling is een schatting, en extra decimalen suggereren een nauwkeurigheid die er niet is. Als je bij een doel naar beneden afrondt, kom je misschien tekort (5 uur voorspelt maar 77 punten).

Correct: Rond af op de nauwkeurigheid van de data, en rond naar boven af als je een doel moet halen of iedereen moet voorzien (tijd, stoelen, bussen).

Elke voorspelling even betrouwbaar vinden

Waarom het fout is: Een lijn kun je altijd berekenen, ook bij verspreide data. Met $r \approx 0{,}21$ kunnen de echte waarden ver van $\hat{y}$ liggen.

Correct: Kijk eerst naar het spreidingsdiagram of $r$ : $|r|$ dicht bij 1 betekent een betrouwbare voorspelling, $|r|$ dicht bij 0 alleen een ruwe schatting.

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Studie-uren x = 6,5

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Voorspelde score ŷ = 5x + 52 = 84,5
Uren buiten het databereik (0 = interpolatie) = 0 h

ŷ = 5x + 52Maximale score 100Begin van de data (1 u)Einde van de data (8 u)

Spreidingsdiagram

Sterke correlatie: studie-uren en score

ŷ = 5x + 52

r = 0,992 · sterke positieve correlatie

Tik op een punt om de coördinaten te zien.

Spreidingsdiagram

Zwakke correlatie: uren slaap en score

ŷ = 2x + 59

r = 0,209 · zwakke positieve correlatie

Tik op een punt om de coördinaten te zien.

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Een regressielijn is

\hat{y} = 4x + 10

. Wat is de voorspelde waarde voor

x = 5

Oefenproblemen: Voorspellingen doen met data

1. Een regressielijn is \hat{y} = 4x + 10. Wat is de voorspelde waarde voor x = 5?
2. De regressielijn van een dataset is \hat{y} = 3x + 12. Voorspel \hat{y} voor x = 6.
3. De data in een spreidingsdiagram heeft x-waarden van 2 tot 10. Voor welke x-waarde is een voorspelling interpolatie?
4. De hoogte van een plant in mm volgt \hat{y} = 2{,}5x + 40, waarbij x het aantal dagen is (data van dag 1 tot dag 10). Voorspel de hoogte op dag 4.
5. Een winkel beschrijft de dagelijkse paraplu-verkoop met \hat{y} = 6x + 20, waarbij x de regenval in mm is (data van 0 tot 12 mm). Voorspel de verkoop op een dag met 7 mm regen.
6. Vier datasets hebben elk een regressielijn. Welke correlatiecoëfficiënt geeft de betrouwbaarste voorspellingen?
7. Een model voorspelt een score met \hat{y} = 4x + 18, waarbij x het aantal uren oefenen is (data van 2 tot 15 uur). Voor welke x is de voorspelde score 50?
8. Met \hat{y} = 5x + 52 (x = studie-uren, \hat{y} = toetsscore): hoeveel uur studeren voorspelt een score van 87?
9. Een schoolfeest beschrijft het aantal bezoekers met \hat{y} = 14{,}6x + 23, waarbij x het aantal posters is (data van 2 tot 10 posters). Voorspel het aantal bezoekers bij 6 posters, afgerond op een heel getal.
10. De lijn \hat{y} = 5x + 52 is door data van 1 tot 8 uur studeren getrokken. Voor 12 uur voorspelt hij een score van 112, terwijl het maximum 100 is. Wat is het probleem?
11. Tijdens het gamen volgt het accuniveau van een telefoon \hat{y} = 100 - 12x (procent), waarbij x het aantal uur gamen is (data van 0 tot 6 uur). Voorspel het accuniveau na 4{,}5 uur.
12. Met het accumodel \hat{y} = 100 - 12x (x in uren, \hat{y} in procent): na hoeveel uur voorspelt het model een accuniveau van 40\%?
13. Een regressiemodel zegt dat Tom 5,6 uur moet studeren om zijn doelscore te halen. Welk plan is het verstandigst?
14. Een regressielijn heeft richtingscoëfficiënt m = 2{,}5 en gaat door het punt van de gemiddelden (\bar{x}, \bar{y}) = (4, 30). Voorspel \hat{y} voor x = 6.
15. Een groeimodel voor kinderen van 2 tot 10 jaar is \hat{y} = 6x + 77 (lengte in cm, leeftijd x in jaren). Een leerling gebruikt het om de lengte van iemand van 40 jaar te voorspellen.
16. Een regressielijn is \hat{y} = 2{,}4x + 15{,}6. Voor welke x is de voorspelde waarde 39{,}6?
17. Een klas heeft twee modellen voor de toetsscore: studie-uren, \hat{y} = 5x + 52 met r \approx 0{,}99, en uren slaap, \hat{y} = 2x + 59 met r \approx 0{,}21. Beide worden gebruikt voor x = 6 uur.
18. Met \hat{y} = 5x + 52 (x = studie-uren, data van 1 tot 8 uur) wil Mia minstens 90 punten halen. Hoeveel hele uren moet ze inplannen?

Waarom het belangrijk is

Voorspellingen zijn de belangrijkste reden om een lijn door data te trekken:

Planning: een schoolfeest voorspelt hoeveel bezoekers er komen, zodat het weet hoeveel stoelen er klaar moeten staan.
Gezondheid: artsen vergelijken de lengte van een kind met groeimodellen om te zien of het normaal groeit.
Bezorgapps: apps schatten hoe lang je bestelling duurt op basis van de afstand tot het restaurant.
Accu's: telefoons schatten hoeveel uur accu er nog over is op basis van hoe snel hij leegloopt.

Een voorspelling is pas nuttig als je ook weet hoeveel je hem kunt vertrouwen. Wie interpolatie en extrapolatie onderscheidt, zinvol afrondt en de correlatie controleert, gelooft geen getallen als een toetsscore van 112 terwijl het maximum 100 is.

Toepassingen in de echte wereld

Groeicurves voor kinderen

Artsen vergelijken de lengte van een kind met groeimodellen. Een eenvoudig model voor leeftijden van 2 tot 10 jaar is $\hat{y} = 6x + 77$, waarbij $x$ de leeftijd in jaren is en $\hat{y}$ de lengte in cm. Het model geldt alleen voor die leeftijden: voor een volwassene van 40 zou het $317$ cm voorspellen.

Voorbeeld:

Op 5-jarige leeftijd voorspelt het model $6(5) + 77 = 107$ cm.

1Probeer het zelf

Een groeimodel voor leeftijden van 2 tot 10 jaar is $\hat{y} = 6x + 77$ (lengte in cm, leeftijd $x$ in jaren).

Welke lengte voorspelt het model voor een kind van 8 jaar?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vul $x = 8$ in:

Bezorgtijden schatten

Maaltijdbezorgers trekken lijnen door eerdere bestellingen om bezorgtijden te schatten. Een app vond $\hat{y} = 3x + 8$, waarbij $x$ de afstand in km is (bestellingen van 1 tot 12 km) en $\hat{y}$ de tijd in minuten.

Voorbeeld:

Voor een restaurant op 5 km voorspelt de app $3(5) + 8 = 23$ minuten.

2Probeer het zelf

Het bezorgmodel is $\hat{y} = 3x + 8$ (minuten, afstand $x$ in km, data van 1 tot 12 km). De app wil bezorging binnen 35 minuten beloven.

Tot welke afstand in km kan de app die belofte doen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Los $35 = 3x + 8$ op naar $x$ :

Accuvoorspellingen op je telefoon

Telefoons schatten de resterende accu op basis van hoe snel hij leegloopt. Metingen tijdens het streamen van video gaven $\hat{y} = 100 - 8x$, waarbij $x$ het aantal uur video is (data van 0 tot 10 uur) en $\hat{y}$ het accuniveau in procent.

Voorbeeld:

Na 6 uur video voorspelt het model $100 - 8(6) = 52\%$ .

3Probeer het zelf

Het accumodel is $\hat{y} = 100 - 8x$ (procent, $x$ in uren, data van 0 tot 10 uur). Iemand vraagt wat de accu na 15 uur video aangeeft.

Welke waarde voorspelt het model voor 15 uur?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Vul $x = 15$ in:

Belangrijke punten

1Om $y$ te voorspellen vul je $x$ in in $\hat{y} = mx + b$ ; $\hat{y}$ is een voorspelde waarde, geen gemeten waarde
2Om de $x$ voor een doel $y$ te vinden, stel je $mx + b$ gelijk aan het doel en los je op: $x = \frac{y - b}{m}$
3Interpolatie voorspelt binnen het databereik en is meestal redelijk
4Extrapolatie voorspelt buiten het databereik en is riskant: het kan zelfs onmogelijke waarden opleveren
5Rond voorspellingen af op een zinvolle nauwkeurigheid, en naar boven als je een doel moet halen of iedereen moet voorzien
6Voorspellingen zijn betrouwbaar als $|r|$ dicht bij 1 ligt en alleen ruwe schattingen als $r$ dicht bij 0 ligt

Veelgestelde vragen

Het dakje laat zien dat de waarde van de lijn komt en een voorspelling is. De echte, gemeten waarde is

y

. Door ze uit elkaar te houden, onthoud je dat een echte uitkomst boven of onder de voorspelling kan liggen.

Woordenlijst

Voorspelde waarde $\hat{y}$: De waarde van $y$ die de regressielijn geeft voor een gekozen $x$
Databereik: Het interval van de kleinste tot de grootste $x$ -waarde in de data
Interpolatie: Een voorspelling voor een $x$ -waarde binnen het databereik
Extrapolatie: Een voorspelling voor een $x$ -waarde buiten het databereik; riskant omdat het patroon kan veranderen
Verklarende variabele: De variabele $x$ waarmee de voorspelling wordt gedaan (bijvoorbeeld studie-uren)
Responsvariabele: De variabele $y$ die wordt voorspeld (bijvoorbeeld de toetsscore)

Formulekaart

y voorspellen uit x

\hat{y} = mx + b

Vul de x-waarde in en reken uit

x vinden voor een doel y

x = \frac{y - b}{m}

Trek het startgetal af en deel daarna door de richtingscoëfficiënt

Interpolatiecheck

x_{\min} \le x \le x_{\max}

Ligt x binnen het databereik, dan is de voorspelling interpolatie; anders is het extrapolatie

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Spreidingsdiagram

Sterke correlatie: studie-uren en score

Spreidingsdiagram

Zwakke correlatie: uren slaap en score

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Groeicurves voor kinderen

Bezorgtijden schatten

Accuvoorspellingen op je telefoon

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

y voorspellen uit x

x vinden voor een doel y

Interpolatiecheck

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot regressie

Lineaire regressie

Spreidingsdiagrammen

Lijn van beste passing