Van r naar R²

In een groep leerlingen is de correlatie tussen dagelijkse schermtijd ($x$, uren) en uren slaap ($y$) gelijk aan $r = -0{,}7$. Bereken $R^2$ en leg uit wat het betekent.

Kwadrateer de correlatiecoëfficiënt: $R^2 = r^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49$ = $R^2 = 0{,}49$

Schrijf het als percentage: $0{,}49 = 49\%$ = 49%

Leg uit in de context: 49% van de variatie in uren slaap wordt verklaard door het lineaire verband met de schermtijd. De andere 51% komt door andere factoren. = 49% verklaard, 51% niet verklaard

Answer: $R^2 = 0{,}49$: 49% van de variatie in slaap wordt verklaard door het lineaire verband met de schermtijd. Door het kwadrateren verdwijnt het minteken, daarom is $R^2$ nooit negatief.

R² uit de kwadratensommen

Een ijssalon beschrijft de dagelijkse verkoop met een regressielijn op de temperatuur. De totale variatie van de verkoop is $SS_{\text{tot}} = 80$ en de kwadratensom van de residuen is $SS_{\text{res}} = 12$. Bereken $R^2$.

Bepaal het deel dat niet verklaard wordt: $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{12}{80} = 0{,}15$ = Er blijft 15% over

Trek af van 1: $R^2 = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ = $R^2 = 0{,}85$

Leg uit: 85% van de variatie in de dagelijkse verkoop wordt verklaard door het lineaire verband met de temperatuur = 85% verklaard

Answer: $R^2 = 1 - \frac{12}{80} = 0{,}85$, dus de lijn verklaart 85% van de variatie in de ijsverkoop.

Van R² terug naar r

Een regressie van de prijs van een tweedehands auto ($y$, duizenden €) op de leeftijd ($x$, jaren) geeft $\hat{y} = -1{,}5x + 20$ en $R^2 = 0{,}64$. Bereken de correlatiecoëfficiënt $r$.

Neem de wortel van $R^2$: $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ = $|r| = 0{,}8$

Kies het teken met de richtingscoëfficiënt: De richtingscoëfficiënt $-1{,}5$ is negatief: oudere auto's zijn goedkoper, dus de correlatie is negatief = $r$ is negatief

Schrijf $r$ op: $r = -\sqrt{0{,}64} = -0{,}8$ = $r = -0{,}8$

Answer: $r = -0{,}8$. De wortel geeft $0{,}8$ en de negatieve richtingscoëfficiënt bepaalt het teken. $r$ heeft altijd hetzelfde teken als de richtingscoëfficiënt.

R² berekenen uit data

Vijf leerlingen noteerden hun studie-uren ($x$) en toetsscore ($y$): $(1, 50)$, $(2, 60)$, $(3, 80)$, $(4, 70)$, $(5, 90)$. De regressielijn is $\hat{y} = 9x + 43$. Bereken $R^2$.

Bepaal het gemiddelde van $y$ en $SS_{\text{tot}}$: $\bar{y} = \frac{50+60+80+70+90}{5} = 70$ $SS_{\text{tot}} = (-20)^2 + (-10)^2 + 10^2 + 0^2 + 20^2 = 400 + 100 + 100 + 0 + 400$ = $SS_{\text{tot}} = 1000$

Bepaal de voorspelde waarden en de residuen: $\hat{y} = 52, 61, 70, 79, 88$ Residuen $y - \hat{y}$: $-2, -1, 10, -9, 2$ = Residuen: $-2, -1, 10, -9, 2$

Bepaal $SS_{\text{res}}$: $4 + 1 + 100 + 81 + 4$ = $SS_{\text{res}} = 190$

Bereken $R^2$: $R^2 = 1 - \frac{190}{1000} = 1 - 0{,}19 = 0{,}81$ = $R^2 = 0{,}81$

Answer: $R^2 = 0{,}81$: 81% van de variatie in toetsscores wordt verklaard door het lineaire verband met de studie-uren. Controle: $r = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$, net als in het eerste spreidingsdiagram van deze les.

Hoge R², verkeerd model

De data $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$, $(4, 16)$, $(5, 25)$ hebben de regressielijn $\hat{y} = 6x - 7$. Bereken $R^2$ en beslis of een rechte lijn een goed model is.

Bepaal $SS_{\text{tot}}$: $\bar{y} = 11$, dus $SS_{\text{tot}} = 100 + 49 + 4 + 25 + 196$ = $SS_{\text{tot}} = 374$

Bepaal de residuen en $SS_{\text{res}}$: $\hat{y} = -1, 5, 11, 17, 23$, residuen $2, -1, -2, -1, 2$ $SS_{\text{res}} = 4 + 1 + 4 + 1 + 4$ = $SS_{\text{res}} = 14$

Bereken $R^2$: $R^2 = 1 - \frac{14}{374} \approx 0{,}96$ = $R^2 \approx 0{,}96$

Bekijk het patroon van de residuen: Tekens: $+, -, -, -, +$. De residuen vormen een U-vorm in plaats van een willekeurige spreiding = De data zijn gekromd

Answer: $R^2 \approx 0{,}96$ is heel hoog, maar de U-vormige residuen laten zien dat de data een kromme volgen ($y = x^2$). Een hoge $R^2$ alleen bewijst niet dat het lineaire model juist is: controleer altijd de residuen.

Mistake: $r$ als percentage gebruiken: "$r = 0{,}5$, dus 50% van de variatie wordt verklaard"

Why: Het percentage verklaarde variatie komt uit $R^2$, niet uit $r$. Je moet eerst kwadrateren.

Correct: $R^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$, dus maar 25% van de variatie wordt verklaard.

Mistake: Het teken vergeten als je van $R^2$ terug naar $r$ gaat

Why: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ is altijd positief, maar $r$ kan negatief zijn. $R^2$ verbergt de richting van het verband.

Correct: Neem het teken van de richtingscoëfficiënt: is de richtingscoëfficiënt negatief, dan is $r = -\sqrt{R^2}$, bijvoorbeeld $r = -0{,}7$.

Mistake: Denken dat een hoge $R^2$ bewijst dat $x$ de oorzaak is van $y$

Why: $R^2$ meet alleen hoe goed een lijn bij de data past. Een verstorende variabele kan zowel $x$ als $y$ beïnvloeden.

Correct: Zeg "81% van de variatie in $y$ wordt verklaard door het lineaire verband met $x$", nooit "$x$ veroorzaakt 81% van $y$". Voor een oorzakelijk verband heb je een gecontroleerd experiment nodig.

Mistake: Denken dat een hoge $R^2$ betekent dat een rechte lijn het juiste model is

Why: Ook gekromde data kunnen $R^2 = 0{,}96$ geven. $R^2$ laat geen patronen in de residuen zien.

Correct: Kijk altijd naar het residuendiagram. Een willekeurige spreiding ondersteunt de lijn; een U-vorm of een ander patroon betekent dat een ander model beter past.

Sportanalyse

Trainers vergelijken trainingsgegevens met wedstrijdresultaten om te zien hoeveel van het verschil in prestatie samenhangt met training.

Als de correlatie tussen trainingsuren per week en de tijd op de 100 m gelijk is aan $r = -0{,}85$, dan is $R^2 = 0{,}7225$: ongeveer 72% van de variatie in sprinttijden wordt verklaard door het lineaire verband met de trainingsuren.

Huizenprijzen

Vastgoedanalisten bouwen regressiemodellen voor huizenprijzen en gebruiken $R^2$ om te beoordelen of een model goed genoeg is voor taxaties.

Een model van de prijs op de woonoppervlakte met $R^2 = 0{,}70$ verklaart 70% van de variatie in prijzen; de overige 30% komt door ligging, staat van onderhoud en andere factoren.

Geneeskunde en dosering

In klinisch onderzoek controleren onderzoekers hoe sterk de dosis van een medicijn samenhangt met de verandering van een meetwaarde zoals de bloeddruk.

Als een hogere dosis samengaat met een lagere bloeddruk (negatieve richtingscoëfficiënt) en $R^2 = 0{,}36$, dan is $r = -0{,}6$: een matig negatief lineair verband.

Q: Kan R² negatief zijn?

A: Niet bij een regressielijn volgens de kleinste-kwadratenmethode zoals in deze les: $SS_{\text{res}}$ is nooit groter dan $SS_{\text{tot}}$, dus $R^2$ blijft tussen $0$ en $1$. Ook het kwadrateren van $r$ geeft altijd een getal dat $0$ of groter is.

Q: Wat is een goede R²?

A: Dat hangt af van het vakgebied. Bij natuurkunde-experimenten zijn waarden boven $0{,}95$ gewoon. Als je mensen onderzoekt (gedrag, gezondheid, economie), kan een $R^2$ van $0{,}30$ al nuttig zijn, omdat mensen door veel factoren beïnvloed worden.

Q: Is R² altijd gelijk aan r²?

A: Ja bij enkelvoudige lineaire regressie met één verklarende variabele, en daar gaat deze les over. Met meerdere verklarende variabelen is er niet één $r$, maar $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ werkt nog steeds.

Q: Waarom zegt R² niets over de richting van het verband?

A: Omdat kwadrateren het teken weghaalt: $r = 0{,}8$ en $r = -0{,}8$ geven allebei $R^2 = 0{,}64$. De richting zie je aan de richtingscoëfficiënt van de regressielijn of aan $r$ zelf.