Wat is een goede R²?

Dat hangt af van het vakgebied. Bij natuurkunde-experimenten zijn waarden boven $0{,}95$ gewoon. Als je mensen onderzoekt (gedrag, gezondheid, economie), kan een $R^2$ van $0{,}30$ al nuttig zijn, omdat mensen door veel factoren beïnvloed worden.

Is R² altijd gelijk aan r²?

Ja bij enkelvoudige lineaire regressie met één verklarende variabele, en daar gaat deze les over. Met meerdere verklarende variabelen is er niet één $r$, maar $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ werkt nog steeds.

Waarom zegt R² niets over de richting van het verband?

Omdat kwadrateren het teken weghaalt: $r = 0{,}8$ en $r = -0{,}8$ geven allebei $R^2 = 0{,}64$. De richting zie je aan de richtingscoëfficiënt van de regressielijn of aan $r$ zelf.

Leermiddelen

Determinatiecoëfficiënt (R²)

Leer wat R² zegt over een regressielijn, hoe je het berekent uit r of uit kwadratensommen en waarom een hoge R² geen oorzakelijk verband bewijst.

Gevorderd25 minLes

Werkblad om te printen

Definitie

De determinatiecoëfficiënt, geschreven als

R^2

, vertelt je welk deel van de variatie in de responsvariabele

y

verklaard wordt door het lineaire verband met de verklarende variabele

x

Bij enkelvoudige lineaire regressie (één

x

, één

y

) is het het kwadraat van de correlatiecoëfficiënt:

R^2 = r^2

Je kunt het ook berekenen uit twee kwadratensommen:

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

$SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2$ is de totale variatie van de $y$ -waarden rond hun gemiddelde
$SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ is de variatie die overblijft nadat je de regressielijn gebruikt (de kwadratensom van de residuen, in de les Residuen afgekort als SSR)

R^2

ligt altijd tussen

0

1

. Als

R^2 = 0{,}81

, dan wordt **81% van de variatie in

y

verklaard door het lineaire verband met

x

**, en de overige 19% verklaart de lijn niet.

Probeer het meteen

De correlatiecoëfficiënt van een dataset is

r = 0{,}6

. Hoe groot is

R^2

Uitgewerkte voorbeelden

In een groep leerlingen is de correlatie tussen dagelijkse schermtijd (

x

, uren) en uren slaap (

y

) gelijk aan

r = -0{,}7

. Bereken

R^2

en leg uit wat het betekent.

Kwadrateer de correlatiecoëfficiënt

R^2 = r^2 = (-0{,}7)^2 = 0{,}49

→

R^2 = 0{,}49

Schrijf het als percentage

0{,}49 = 49\%

→ 49%

Leg uit in de context

49% van de variatie in uren slaap wordt verklaard door het lineaire verband met de schermtijd. De andere 51% komt door andere factoren. → 49% verklaard, 51% niet verklaard

Antwoord: $R^2 = 0{,}49$ : 49% van de variatie in slaap wordt verklaard door het lineaire verband met de schermtijd. Door het kwadrateren verdwijnt het minteken, daarom is $R^2$ nooit negatief.

Veelgemaakte fouten

$r$ als percentage gebruiken: " $r = 0{,}5$ , dus 50% van de variatie wordt verklaard"

Waarom het fout is: Het percentage verklaarde variatie komt uit $R^2$ , niet uit $r$ . Je moet eerst kwadrateren.

Correct: $R^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25$ , dus maar 25% van de variatie wordt verklaard.

Het teken vergeten als je van $R^2$ terug naar $r$ gaat

Waarom het fout is: $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ is altijd positief, maar $r$ kan negatief zijn. $R^2$ verbergt de richting van het verband.

Correct: Neem het teken van de richtingscoëfficiënt: is de richtingscoëfficiënt negatief, dan is $r = -\sqrt{R^2}$ , bijvoorbeeld $r = -0{,}7$ .

Denken dat een hoge $R^2$ bewijst dat $x$ de oorzaak is van $y$

Waarom het fout is: $R^2$ meet alleen hoe goed een lijn bij de data past. Een verstorende variabele kan zowel $x$ als $y$ beïnvloeden.

Correct: Zeg "81% van de variatie in $y$ wordt verklaard door het lineaire verband met $x$ ", nooit " $x$ veroorzaakt 81% van $y$ ". Voor een oorzakelijk verband heb je een gecontroleerd experiment nodig.

Denken dat een hoge $R^2$ betekent dat een rechte lijn het juiste model is

Waarom het fout is: Ook gekromde data kunnen $R^2 = 0{,}96$ geven. $R^2$ laat geen patronen in de residuen zien.

Correct: Kijk altijd naar het residuendiagram. Een willekeurige spreiding ondersteunt de lijn; een U-vorm of een ander patroon betekent dat een ander model beter past.

Interactieve visualisatie

Spreidingsdiagram

Sterke passing: studie-uren en toetsscore

ŷ = 9x + 43

r = 0,9, R² = 0,81 · sterke positieve correlatie

Tik op een punt om de coördinaten te zien.

Spreidingsdiagram

Zwakke passing: schoenmaat en toetsscore

ŷ = 3x − 44

r = 0,3, R² = 0,09 · zwakke positieve correlatie

Tik op een punt om de coördinaten te zien.

Spreidingsdiagram

Gekromde data: hoge R², maar verkeerd model

ŷ = 6x − 7

r = 0,981, R² = 0,963 · sterke positieve correlatie

Tik op een punt om de coördinaten te zien.

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

De correlatiecoëfficiënt van een dataset is

r = 0{,}6

. Hoe groot is

R^2

Waarom het belangrijk is

Zodra je een regressielijn hebt, is de volgende vraag: hoe goed is die?

R^2

geeft het antwoord in één getal.

Wetenschap: onderzoekers vermelden $R^2$ om te laten zien hoe goed een model hun metingen beschrijft
Bedrijfsleven: analisten vergelijken verkoopmodellen en houden het model dat meer variatie verklaart
Sport: trainers controleren hoeveel van de variatie in sprinttijden verklaard wordt door trainingsuren
Geneeskunde: artsen zien hoe sterk een dosis samenhangt met een verandering van de bloeddruk

Weten wat

R^2

niet zegt is net zo belangrijk: een hoge

R^2

bewijst niet dat

x

de oorzaak is van

y

, en ook niet dat een rechte lijn het juiste model is. Je moet nog steeds naar de residuen kijken.

Toepassingen in de echte wereld

Sportanalyse

Trainers vergelijken trainingsgegevens met wedstrijdresultaten om te zien hoeveel van het verschil in prestatie samenhangt met training.

Voorbeeld:

Als de correlatie tussen trainingsuren per week en de tijd op de 100 m gelijk is aan $r = -0{,}85$ , dan is $R^2 = 0{,}7225$ : ongeveer 72% van de variatie in sprinttijden wordt verklaard door het lineaire verband met de trainingsuren.

1Probeer het zelf

Bij een zwemclub is de correlatie tussen trainingsuren per week en de tijd op de 50 m gelijk aan $r = -0{,}9$ .

Hoe groot is $R^2$ ? Geef het als decimaal getal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Kwadrateer de correlatiecoëfficiënt:

Huizenprijzen

Vastgoedanalisten bouwen regressiemodellen voor huizenprijzen en gebruiken $R^2$ om te beoordelen of een model goed genoeg is voor taxaties.

Voorbeeld:

Een model van de prijs op de woonoppervlakte met $R^2 = 0{,}70$ verklaart 70% van de variatie in prijzen; de overige 30% komt door ligging, staat van onderhoud en andere factoren.

2Probeer het zelf

Voor een model van appartementsprijzen op de woonoppervlakte is de totale variatie $SS_{\text{tot}} = 500$ en de kwadratensom van de residuen $SS_{\text{res}} = 75$ (allebei in duizenden € in het kwadraat).

Hoe groot is $R^2$ ? Geef het als decimaal getal.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ :

Geneeskunde en dosering

In klinisch onderzoek controleren onderzoekers hoe sterk de dosis van een medicijn samenhangt met de verandering van een meetwaarde zoals de bloeddruk.

Voorbeeld:

Als een hogere dosis samengaat met een lagere bloeddruk (negatieve richtingscoëfficiënt) en $R^2 = 0{,}36$ , dan is $r = -0{,}6$ : een matig negatief lineair verband.

3Probeer het zelf

Een onderzoek laat zien dat een hogere dosis samengaat met een lagere bloeddruk. De regressielijn heeft een negatieve richtingscoëfficiënt en $R^2 = 0{,}64$ .

Hoe groot is de correlatiecoëfficiënt $r$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Neem de wortel en kies het teken met de richtingscoëfficiënt:

Belangrijke punten

1De determinatiecoëfficiënt $R^2$ is het deel van de variatie in $y$ dat verklaard wordt door het lineaire verband met $x$
2Bij enkelvoudige lineaire regressie geldt $R^2 = r^2$ : kwadrateren van de correlatiecoëfficiënt geeft $R^2$
3 $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ vergelijkt de overgebleven variatie met de totale variatie
4 $R^2$ ligt tussen $0$ en $1$ : $R^2 = 0{,}81$ betekent dat 81% van de variatie in $y$ verklaard wordt
5Om van $R^2$ terug te gaan naar $r$ , neem je $\sqrt{R^2}$ met het teken van de richtingscoëfficiënt
6Een hoge $R^2$ bewijst geen oorzakelijk verband en geen juist model: controleer altijd het residuendiagram

Veelgestelde vragen

Niet bij een regressielijn volgens de kleinste-kwadratenmethode zoals in deze les:

SS_{\text{res}}

is nooit groter dan

SS_{\text{tot}}

, dus

R^2

blijft tussen

0

1

. Ook het kwadrateren van

r

geeft altijd een getal dat

0

of groter is.

Woordenlijst

Determinatiecoëfficiënt ( $R^2$ ): Het deel van de variatie in $y$ dat verklaard wordt door het lineaire verband met $x$ ; een getal van $0$ tot $1$
Totale kwadratensom ( $SS_{\text{tot}}$ ): $\sum (y_i - \bar{y})^2$ : de totale variatie van de $y$ -waarden rond hun gemiddelde
Kwadratensom van de residuen ( $SS_{\text{res}}$ , ook SSR): $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ : de variatie die overblijft nadat je de regressielijn gebruikt
Residu: Het verschil tussen een waargenomen en een voorspelde waarde: $y_i - \hat{y}_i$
Verklaarde variatie: Het deel van de totale variatie in $y$ dat de regressielijn beschrijft: $SS_{\text{tot}} - SS_{\text{res}}$

Formulekaart

R² uit r

R^2 = r^2

Bij enkelvoudige lineaire regressie: kwadrateer de correlatiecoëfficiënt

R² uit kwadratensommen

R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}

Eén min het deel van de variatie dat overblijft

Totale kwadratensom

SS_{\text{tot}} = \sum (y_i - \bar{y})^2

Gekwadrateerde afstanden van de y-waarden tot hun gemiddelde

Kwadratensom van de residuen

SS_{\text{res}} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2

Gekwadrateerde afstanden van de y-waarden tot de regressielijn

r uit R²

r = \pm\sqrt{R^2}

Gebruik het teken van de richtingscoëfficiënt van de regressielijn

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Spreidingsdiagram

Sterke passing: studie-uren en toetsscore

Spreidingsdiagram

Zwakke passing: schoenmaat en toetsscore

Spreidingsdiagram

Gekromde data: hoge R², maar verkeerd model

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Sportanalyse

Huizenprijzen

Geneeskunde en dosering

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

R² uit r

R² uit kwadratensommen

Totale kwadratensom

Kwadratensom van de residuen

r uit R²

Meer over dit onderwerp

Inleiding tot regressie

Lineaire regressie

Spreidingsdiagrammen

Lijn van beste passing