Contextopgaven over regressie

Schrijf bij elke opgave je uitwerking op.

1.
Het model $\hat{y} = 6x + 48$ voorspelt de toetsscore $\hat{y}$ (punten) uit het aantal studie-uren per week $x$ . Wat betekent de richtingscoëfficiënt $6$ ?
1. a)Een leerling die 0 uur studeert, scoort 6 punten
2. b)Elk extra studie-uur per week gaat gemiddeld samen met ongeveer 6 punten meer
3. c)Er deden 6 leerlingen mee aan het onderzoek
4. d)De score is altijd 6 keer het aantal uren
Antwoord: Elk extra studie-uur per week gaat gemiddeld samen met ongeveer 6 punten meer
De richtingscoëfficiënt is een veranderingssnelheid: per extra studie-uur per week stijgt de voorspelde score gemiddeld met ongeveer $6$ punten. Het getal $48$ is het startgetal, niet de richtingscoëfficiënt.
2.
Voorspel met $\hat{y} = 6x + 48$ (toetsscore uit het aantal studie-uren per week $x$ ) de score van een leerling die $4$ uur per week studeert.
Antwoord: 72
$\hat{y} = 6 \cdot 4 + 48 = 24 + 48 = 72$ punten.
3.
Een regressielijn is gepast op gegevens met $x$ -waarden van $2$ tot $10$ . Voor welke waarde van $x$ is een voorspelling extrapolatie?
1. a)5
2. b)15
3. c)7,5
4. d)9
Antwoord: 15
Alleen $15$ ligt buiten het bereik van $2$ tot $10$ , dus daar voorspellen is extrapolatie. $5$ , $7{,}5$ en $9$ liggen binnen de gegevens (interpolatie).
4.
Een datapunt heeft werkelijke waarde $y = 80$ , en de regressielijn voorspelt er $\hat{y} = 74$ voor. Wat is het residu?
Antwoord: 6
$e = y - \hat{y} = 80 - 74 = 6$ . Het residu is positief, dus het punt ligt $6$ eenheden boven de lijn.
5.
Een regressie van het examencijfer op de studietijd heeft $R^2 = 0{,}64$ . Welke uitspraak klopt?
1. a)64 % van de datapunten ligt precies op de lijn
2. b)64 % van de variatie in examencijfers wordt verklaard door het lineaire verband met de studietijd
3. c)De correlatiecoëfficiënt is r = 0,64
4. d)Elk extra studie-uur levert 0,64 punt op
Antwoord: 64 % van de variatie in examencijfers wordt verklaard door het lineaire verband met de studietijd
$R^2 = 0{,}64$ betekent dat $64\,\%$ van de variatie in examencijfers wordt verklaard door het lineaire verband met de studietijd. Het zegt niets over hoeveel punten op de lijn liggen, en $r = \pm 0{,}8$ , niet $0{,}64$ .
6.
De correlatie tussen het aantal stappen per dag en verbrande calorieën is $r = 0{,}7$ . Wat is $R^2$ ? Geef het als decimaal getal.
Antwoord: 0.49
$R^2 = r^2 = 0{,}7^2 = 0{,}49$ : ongeveer $49\,\%$ van de variatie in verbrande calorieën wordt verklaard door het aantal stappen.
7.
Het model van een dealer voor tweedehands auto's is $\hat{y} = 18000 - 1500x$ , met $\hat{y}$ de prijs in € en $x$ de leeftijd in jaren (gegevens voor auto's van 0 tot 8 jaar). Wat betekent het startgetal $18000$ ?
1. a)Voor een nieuwe auto (leeftijd 0) wordt een prijs van ongeveer 18000 € voorspeld
2. b)Een nieuwe auto is 1500 € waard
3. c)Na 18000 jaar is de auto niets meer waard
4. d)De auto verliest elk jaar 18000 €
Antwoord: Voor een nieuwe auto (leeftijd 0) wordt een prijs van ongeveer 18000 € voorspeld
Bij $x = 0$ (een nieuwe auto) voorspelt het model $\hat{y} = 18000$ €. Leeftijd $0$ hoort bij de gegevens, dus deze uitleg is zinvol. De $1500$ is de richtingscoëfficiënt: de voorspelde waarde daalt met ongeveer $1500$ € per jaar.
8.
Een café gebruikt $\hat{y} = 110 - 3x$ om het aantal verkochte warme dranken te voorspellen uit de ochtendtemperatuur $x$ in °C (gegevens van $0$ tot $20$ °C). Hoeveel warme dranken voorspelt het voor $12$ °C?
Antwoord: 74
$\hat{y} = 110 - 3 \cdot 12 = 110 - 36 = 74$ warme dranken. Omdat $12$ °C binnen het bereik van de gegevens ligt, is dit interpolatie.
9.
In een model voor levertijden heeft een bezorging een residu van $-5$ minuten. Wat betekent dat?
1. a)De bezorging duurde 5 minuten langer dan voorspeld
2. b)Het model voorspelde een tijd van 5 minuten
3. c)De richtingscoëfficiënt van het model is -5
4. d)De bezorging duurde 5 minuten korter dan voorspeld
Antwoord: De bezorging duurde 5 minuten korter dan voorspeld
$e = y - \hat{y} = -5$ betekent $y = \hat{y} - 5$ : de bezorging duurde $5$ minuten korter dan voorspeld, dus het punt ligt onder de lijn.
10.
De hoogte van een plant wordt gemodelleerd met $\hat{y} = 2{,}5x + 4$ (cm, $x$ in weken). Met hoeveel cm neemt de voorspelde hoogte toe in $4$ weken extra?
Antwoord: 10
Verandering van $\hat{y}$ = richtingscoëfficiënt $\cdot$ verandering van $x$ = $2{,}5 \cdot 4 = 10$ cm.
11.
Het model van het café is $\hat{y} = 110 - 3x$ (warme dranken, $x$ in °C). Op een ochtend van $15$ °C verkocht het café $75$ warme dranken. Bepaal het residu van die ochtend.
Antwoord: 10
1. Wat is $3 \cdot 15$ ? 45
2. Wat is het voorspelde aantal warme dranken $\hat{y}$ ? 65
3. Wat is het residu $y - \hat{y}$ ? 10
12.
Bij de gegevens over studie-uren is de kwadratensom van de residuen $SS_{\text{res}} = 40$ en de totale variatie van de scores $SS_{\text{tot}} = 400$ . Bepaal $R^2$ en zeg welk percentage van de variatie in scores de lijn verklaart.
Antwoord: 0.9
1. Wat is $\frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}} = \frac{40}{400}$ ? 0.1
2. Wat is $R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{res}}}{SS_{\text{tot}}}$ ? 0.9
3. Welk percentage van de variatie verklaart de lijn (alleen het getal)? 90
13.
Het model $\hat{y} = 6x + 48$ is gepast op leerlingen die $1$ tot $5$ uur per week studeren (toetsen van $100$ punten). Voorspel de score voor $12$ uur en bepaal wat voor soort voorspelling dit is.
Antwoord: 120
1. Wat is $6 \cdot 12$ ? 72
2. Welke score voorspelt het model voor 12 uur? 120
3. Is deze voorspelling interpolatie of extrapolatie? extrapolatie
14.
Het model van de dealer is $\hat{y} = 18000 - 1500x$ (prijs in €, $x$ = leeftijd in jaren, gegevens van 0 tot 8 jaar). Een auto van $4$ jaar oud werd verkocht voor 13000 €. Bepaal de voorspelde prijs en het residu. Werd de auto boven of onder de voorspelde prijs verkocht?
Antwoord: 1000
1. Wat is $1500 \cdot 4$ ? 6000
2. Wat is de voorspelde prijs $\hat{y}$ (alleen het getal)? 12000
3. Wat is het residu (alleen het getal)? 1000
4. Werd de auto boven of onder de voorspelde prijs verkocht? boven
15.
Een leerling telt het aantal opdrukken $y$ dat ze kan doen na $x$ weken training:
$x$ 1 2 3 4
$y$ 3 5 6 10
Bepaal de regressielijn $\hat{y} = mx + b$ met de kleinste-kwadratenmethode.
Antwoord: y = 2.2x + 0.5
1. Wat is het gemiddelde $\bar{x}$ ? 2.5
2. Wat is het gemiddelde $\bar{y}$ ? 6
3. Wat is $\sum(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ ? 11
4. Wat is $\sum(x-\bar{x})^2$ ? 5
5. Wat is de richtingscoëfficiënt $m$ ? 2.2
6. Wat is het startgetal $b = \bar{y} - m\bar{x}$ ? 0.5
16.
Het model van het café is $\hat{y} = 110 - 3x$ (warme dranken, $x$ in °C, gegevens van $0$ tot $20$ °C), met $R^2 = 0{,}9$ . Op een ochtend van $8$ °C verkocht het café $90$ warme dranken. Bepaal de voorspelling, het residu, de correlatiecoëfficiënt $r$ en het percentage verklaarde variatie.
Antwoord: -0.95
1. Wat voorspelt het model voor $8$ °C? 86
2. Wat is het residu van die ochtend? 4
3. Wat is $r$ , afgerond op twee decimalen? -0.95
4. Welk percentage van de variatie in verkochte warme dranken wordt verklaard (alleen het getal)? 90
17.
Een ijskraam verzamelde gegevens voor temperaturen van $10$ tot $30$ °C. De regressielijn van het aantal verkochte ijsjes per uur tegen de temperatuur heeft richtingscoëfficiënt $1{,}5$ , en de gemiddelden zijn $\bar{x} = 20$ °C en $\bar{y} = 50$ ijsjes. Bepaal het startgetal, voorspel de verkoop bij $30$ °C en bepaal het residu van een uur bij $30$ °C met $61$ verkochte ijsjes.
Antwoord: -4
1. Wat is $1{,}5 \cdot 20$ ? 30
2. Wat is het startgetal $b = \bar{y} - m\bar{x}$ ? 20
3. Wat voorspelt de lijn bij $30$ °C? 65
4. Wat is het residu van het uur met $61$ ijsjes? -4
18.
Hoeveel studie-uren zijn er volgens $\hat{y} = 6x + 48$ (toetsscore uit studie-uren per week, gegevens van $1$ tot $5$ uur) nodig voor een voorspelde score van $84$ ? Kun je dit antwoord vertrouwen?
Antwoord: 6
1. Trek het startgetal af: wat is $84 - 48$ ? 36
2. Deel door de richtingscoëfficiënt: wat is $x$ ? 6
3. Is $x = 6$ interpolatie of extrapolatie? extrapolatie