Faseverschuiving

Een **faseverschuiving** (of **horizontale verschuiving**) schuift een sinus- of cosinusgrafiek naar links of naar rechts zonder de vorm te veranderen. In de vorm $$y = \sin(B(x - C)) \quad \text{of} \quad y = \cos(B(x - C))$$ is de **faseverschuiving $C$**: - $C > 0$: de grafiek schuift $C$ eenheden naar **rechts** - $C < 0$: de grafiek schuift $|C|$ eenheden naar **links** **Waarom betekent een min rechts?** De gewone sinus begint een periode waar het argument $0$ is. Bij $\sin(x - C)$ is het argument $x - C$, en dat is $0$ bij $x = C$. Elk punt van de grafiek komt dus $C$ eenheden later, dat wil zeggen verder naar rechts. Zo is $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ de grafiek van $y = \sin(x)$ die $\frac{\pi}{3}$ naar rechts is geschoven, en is $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ $\frac{\pi}{4}$ naar links geschoven. ## Let op: haal eerst $B$ buiten haakjes Als de vergelijking geschreven is als $y = \sin(Bx - c)$, dan is de verschuiving **niet** $c$. Haal $B$ buiten haakjes: $$\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right) \quad \Rightarrow \quad \text{faseverschuiving} = \frac{c}{B}$$ Voorbeeld: $\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$ is $\frac{\pi}{4}$ naar rechts geschoven, niet $\frac{\pi}{2}$. ## Verschuiving en periode zijn twee verschillende dingen | | Wat het verandert | Formule | |---|---|---| | $B$ | de breedte van een periode | periode $= \frac{2\pi}{|B|}$ | | $C$ | waar de periode begint | verschuiving $= C$ | Een periode van $y = \sin(B(x - C))$ begint bij $x = C$ en eindigt bij $x = C + \frac{2\pi}{B}$. Een verschuiving over een hele periode geeft weer dezelfde grafiek: $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$. ## Sinus en cosinus zijn verschuivingen van elkaar $$\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \qquad \sin(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$$ De cosinus is een sinus die $\frac{\pi}{2}$ naar links is geschoven. In de volledige vorm $y = A\sin(B(x - C)) + D$ ken je $A$ en $B$ uit de les over amplitude en periode, $C$ is deze les en $D$ (de verticale verschuiving) komt hierna. In Nederlandse schoolboeken staat dezelfde formule vaak als $y = a + b\sin(c(x - d))$; daar is $d$ de faseverschuiving. Wij houden de letters $A$, $B$, $C$, $D$ aan.

Een sinus naar rechts geschoven

Beschrijf de grafiek van $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ vergeleken met $y = \sin(x)$. Waar begint de eerste periode en waar ligt het maximum?

Vergelijk met $y = \sin(B(x - C))$: $x - \frac{\pi}{4}$ heeft al de vorm $1 \cdot (x - C)$ = $B = 1$, $C = \frac{\pi}{4}$

Lees de richting af: $C$ is positief = Verschuiving van $\frac{\pi}{4}$ naar rechts

Zoek het begin van de periode: Het argument is $0$ als $x - \frac{\pi}{4} = 0$ = De periode begint bij $x = \frac{\pi}{4}$

Verschuif het maximum: $\sin(x)$ heeft zijn maximum bij $\frac{\pi}{2}$, dus tel $\frac{\pi}{4}$ op: $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$ = Maximum bij $x = \frac{3\pi}{4}$

Answer: De grafiek is $y = \sin(x)$, $\frac{\pi}{4}$ naar rechts geschoven. De eerste periode begint bij $x = \frac{\pi}{4}$ en het maximum $1$ ligt bij $x = \frac{3\pi}{4}$.

Een plus betekent links

Bepaal de faseverschuiving van $y = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ en de nieuwe plaats van het maximum dat $\cos(x)$ heeft bij $x = 0$.

Schrijf de plus als een min: $x + \frac{\pi}{3} = x - \left(-\frac{\pi}{3}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{3}$

Lees de richting af: $C$ is negatief = Verschuiving van $\frac{\pi}{3}$ naar links

Verschuif het maximum: $0 + \left(-\frac{\pi}{3}\right)$ = Maximum bij $x = -\frac{\pi}{3}$

Answer: De faseverschuiving is $-\frac{\pi}{3}$: de cosinus schuift $\frac{\pi}{3}$ naar links en het maximum ligt nu bij $x = -\frac{\pi}{3}$.

Eerst B buiten haakjes, dan de verschuiving aflezen

Bepaal de faseverschuiving en de periode van $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$. Waar begint en eindigt de eerste periode?

Haal $B = 2$ buiten haakjes: $2x - \frac{\pi}{2} = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ = $y = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$

Lees de verschuiving af: $C = \frac{\pi}{4}$, positief = $\frac{\pi}{4}$ naar rechts (niet $\frac{\pi}{2}$)

Bepaal de periode: $\frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2}$ = Periode $= \pi$

Begin en eind van een periode: Begin bij $C = \frac{\pi}{4}$, eind bij $\frac{\pi}{4} + \pi$ = Van $x = \frac{\pi}{4}$ tot $x = \frac{5\pi}{4}$

Answer: Faseverschuiving $\frac{\pi}{4}$ naar rechts, periode $\pi$. Een periode loopt van $x = \frac{\pi}{4}$ tot $x = \frac{5\pi}{4}$.

Een cosinus met B en een plus

Bepaal de faseverschuiving en de periode van $y = \cos\left(3x + \frac{\pi}{2}\right)$.

Haal $B = 3$ buiten haakjes: $3x + \frac{\pi}{2} = 3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, want $\frac{\pi}{2} \div 3 = \frac{\pi}{6}$ = $y = \cos\left(3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right)$

Schrijf het met een min: $x + \frac{\pi}{6} = x - \left(-\frac{\pi}{6}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{6}$

Lees de richting af: $C$ is negatief = $\frac{\pi}{6}$ naar links

Bepaal de periode: $\frac{2\pi}{3}$ = Periode $= \frac{2\pi}{3}$

Answer: De grafiek is $y = \cos(3x)$, $\frac{\pi}{6}$ naar links geschoven, met periode $\frac{2\pi}{3}$.

De cosinus als verschoven sinus

Zoek een waarde van $C$ met $-\pi \le C \le \pi$ zodat $\sin(x - C) = \cos(x)$ voor elke $x$.

Vergelijk de maxima: $\cos(x)$ heeft zijn maximum bij $x = 0$, $\sin(x)$ bij $x = \frac{\pi}{2}$ = De top van de sinus moet van $\frac{\pi}{2}$ naar $0$

Bepaal grootte en richting: Van $\frac{\pi}{2}$ naar $0$ is $\frac{\pi}{2}$ naar links = $C = -\frac{\pi}{2}$

Schrijf de vergelijking: $\sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$ = $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Controleer een punt: Bij $x = 0$: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 = \cos(0)$ = Het klopt

Answer: $C = -\frac{\pi}{2}$, dus $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. De sinus $\frac{3\pi}{2}$ naar rechts schuiven werkt ook, omdat dat precies een hele periode $2\pi$ verschilt.

Een faseverschuiving vertelt je **wanneer** een zich herhalend patroon plaatsvindt, niet alleen hoe groot of hoe snel het is: - **Getijden**: twee havens hebben getijden met dezelfde periode, maar het hoogwater komt op verschillende tijden. Het verschil is een faseverschuiving. - **Elektriciteit**: de drie draden van een driefasenleiding dragen dezelfde sinusvormige spanning, telkens een derde periode verschoven. - **Koptelefoons met ruisonderdrukking**: ze spelen het geluid nog eens af, een halve periode verschoven, zodat de twee golven elkaar opheffen. - **Seizoenen**: de warmste dag van het jaar komt ongeveer een maand na de langste dag. De temperatuurgrafiek is de daglichtgrafiek met een faseverschuiving. - **Muziek en geluid**: twee luidsprekers die dezelfde toon in tegenfase spelen, kunnen het geluid op sommige plekken zwakker maken. Als je de faseverschuiving goed afleest (richting en grootte), kun je de volgende top voorspellen.

Mistake: $y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ lezen als een verschuiving naar links

Why: Het minteken lijkt naar links te wijzen, zoals op een getallenlijn. Maar de grafiek bereikt elke waarde later, namelijk als $x - \frac{\pi}{3}$ de oude waarde van $x$ heeft.

Correct: Een min binnen de haakjes betekent rechts: $\sin(x - C)$ schuift $C$ naar rechts, $\sin(x + C)$ schuift $C$ naar links.

Mistake: Zeggen dat de verschuiving van $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ gelijk is aan $\frac{\pi}{2}$

Why: Het getal $\frac{\pi}{2}$ wordt van $2x$ afgetrokken, niet van $x$. De verschuiving hoort bij $x$ alleen.

Correct: Haal $B$ buiten haakjes: $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$. De verschuiving is $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{4}$ naar rechts.

Mistake: Denken dat een faseverschuiving de periode of de hoogte verandert

Why: Als je een grafiek opzij schuift, rek je hem niet uit. Alleen $B$ verandert de periode en alleen $A$ de amplitude.

Correct: Na een faseverschuiving heeft de grafiek dezelfde vorm, periode en amplitude. Alleen de plek waar elke periode begint verandert.

Mistake: Denken dat $y = \sin(x - 2\pi)$ een andere grafiek is dan $y = \sin(x)$

Why: De sinus herhaalt zich elke $2\pi$. Een verschuiving over een hele periode legt elke golf precies op de volgende.

Correct: Verschuivingen die een hele periode verschillen, geven dezelfde grafiek: $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$ en $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$.

Hoogwater voorspellen

Havenmeesters beschrijven de waterstand met een verschoven sinus. De faseverschuiving vertelt hen wanneer het water door het gemiddelde niveau gaat, en daaruit vinden ze het hoogwater.

Als de waterstand $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ meter boven het gemiddelde niveau is, met $t$ in uren na middernacht, dan stijgt het water door het gemiddelde niveau bij $t = 2$, om 2:00 uur.

Wisselstroom

Stroomnetten in Europa werken met 50 Hz. Twee spanningen met dezelfde frequentie kunnen ten opzichte van elkaar verschoven zijn, en ingenieurs meten dat verschil als een faseverschuiving in seconden.

De spanning $V_1 = \sin(100\pi t)$ heeft periode $\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}$ seconde. Een tweede spanning $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ bereikt elke top iets later.

Koptelefoons met ruisonderdrukking

Een microfoon vangt het geluid op, en de koptelefoon speelt dezelfde golf een halve periode verschoven af. Waar het geluid stijgt, daalt de kopie, en de twee heffen elkaar op.

Voor het geluid $y = \sin(x)$ is de kopie $y = \sin(x - \pi)$, en dat is gelijk aan $-\sin(x)$. Hun som is overal $0$.

Bij $y = \sin(B(x - C))$ en $y = \cos(B(x - C))$ is de faseverschuiving $C$

Een min binnen de haakjes betekent rechts, een plus betekent links: $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ schuift $\frac{\pi}{4}$ naar links

Haal bij $\sin(Bx - c)$ eerst $B$ buiten haakjes: de verschuiving is $\frac{c}{B}$, niet $c$

De periode $\frac{2\pi}{|B|}$ en de amplitude veranderen niet als de grafiek verschuift

Een periode begint bij $x = C$ en eindigt bij $x = C + \frac{2\pi}{B}$; een verschuiving over een hele periode geeft dezelfde grafiek

De cosinus is een verschoven sinus: $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Q: Waarom heet het faseverschuiving?

A: De fase is de plek binnen een periode (begin, top, nulpunt, dal). Een faseverschuiving verplaatst elk punt van de periode over dezelfde afstand, zodat de hele golf eerder of later begint.

Q: Is de faseverschuiving van $\sin(2x - \pi)$ gelijk aan $\pi$ of aan $\frac{\pi}{2}$?

A: Ze is $\frac{\pi}{2}$ naar rechts. Haal $2$ buiten haakjes: $\sin(2x - \pi) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$. Sommige boeken noemen $\pi$ de fasehoek, maar de grafiek schuift $\frac{\pi}{2}$ over de $x$-as.

Q: Kan een grafiek meer dan een juiste faseverschuiving hebben?

A: Ja. Een hele periode erbij optellen of eraf halen geeft dezelfde grafiek, dus $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ en $\sin\left(x + \frac{5\pi}{3}\right)$ zijn gelijk. Meestal geef je de verschuiving die het kleinst is in absolute waarde.

Q: Maakt de volgorde van uitrekken en verschuiven uit?

A: Ja. $\sin(2(x - 1))$ en $\sin(2x - 1)$ zijn verschillend: de eerste is $1$ naar rechts geschoven, de tweede maar $\frac{1}{2}$. Als je de functie schrijft als $\sin(B(x - C))$, voorkom je de verwarring.

Presentatie afsluiten

Faseverschuiving

1 / 14

Goniometrie / Trigonometrische grafieken

Faseverschuiving

Leer hoe een faseverschuiving sinus- en cosinusgrafieken naar links of rechts schuift, waarom een min rechts betekent en hoe je de verschuiving in sin(Bx - c) vindt.

Gevorderd25 min

Gebruik pijltjestoetsen of spatiebalk om te navigeren