Is de faseverschuiving van $\sin(2x - \pi)$ gelijk aan $\pi$ of aan $\frac{\pi}{2}$?

Ze is $\frac{\pi}{2}$ naar rechts. Haal $2$ buiten haakjes: $\sin(2x - \pi) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{2}\right)\right)$. Sommige boeken noemen $\pi$ de fasehoek, maar de grafiek schuift $\frac{\pi}{2}$ over de $x$-as.

Kan een grafiek meer dan een juiste faseverschuiving hebben?

Ja. Een hele periode erbij optellen of eraf halen geeft dezelfde grafiek, dus $\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ en $\sin\left(x + \frac{5\pi}{3}\right)$ zijn gelijk. Meestal geef je de verschuiving die het kleinst is in absolute waarde.

Maakt de volgorde van uitrekken en verschuiven uit?

Ja. $\sin(2(x - 1))$ en $\sin(2x - 1)$ zijn verschillend: de eerste is $1$ naar rechts geschoven, de tweede maar $\frac{1}{2}$. Als je de functie schrijft als $\sin(B(x - C))$, voorkom je de verwarring.

Leermiddelen

Faseverschuiving

Q: Waarom heet het faseverschuiving?

De fase is de plek binnen een periode (begin, top, nulpunt, dal). Een faseverschuiving verplaatst elk punt van de periode over dezelfde afstand, zodat de hele golf eerder of later begint.

Leer hoe een faseverschuiving sinus- en cosinusgrafieken naar links of rechts schuift, waarom een min rechts betekent en hoe je de verschuiving in sin(Bx - c) vindt.

Gevorderd25 minLes

Delen in Classroom

Werkblad om te printen

Definitie

Een faseverschuiving (of horizontale verschuiving) schuift een sinus- of cosinusgrafiek naar links of naar rechts zonder de vorm te veranderen. In de vorm

y = \sin(B(x - C)) \quad \text{of} \quad y = \cos(B(x - C))

is de **faseverschuiving

C

**:

$C > 0$ : de grafiek schuift $C$ eenheden naar rechts
$C < 0$ : de grafiek schuift $|C|$ eenheden naar links

Waarom betekent een min rechts? De gewone sinus begint een periode waar het argument

0

is. Bij

\sin(x - C)

is het argument

x - C

, en dat is

0

bij

x = C

. Elk punt van de grafiek komt dus

C

eenheden later, dat wil zeggen verder naar rechts. Zo is

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

de grafiek van

y = \sin(x)

die

\frac{\pi}{3}

naar rechts is geschoven, en is

y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(x - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)

\frac{\pi}{4}

naar links geschoven.

Let op: haal eerst $B$ buiten haakjes

Als de vergelijking geschreven is als

y = \sin(Bx - c)

, dan is de verschuiving niet

c

. Haal

B

buiten haakjes:

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right) \quad \Rightarrow \quad \text{faseverschuiving} = \frac{c}{B}

Voorbeeld:

\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)

\frac{\pi}{4}

naar rechts geschoven, niet

\frac{\pi}{2}

Verschuiving en periode zijn twee verschillende dingen

	Wat het verandert	Formule
$B$	de breedte van een periode	periode $= \frac{2\pi}{	B	}$
$C$	waar de periode begint	verschuiving $= C$

Een periode van

y = \sin(B(x - C))

begint bij

x = C

en eindigt bij

x = C + \frac{2\pi}{B}

. Een verschuiving over een hele periode geeft weer dezelfde grafiek:

\sin(x - 2\pi) = \sin(x)

Sinus en cosinus zijn verschuivingen van elkaar

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \qquad \sin(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

De cosinus is een sinus die

\frac{\pi}{2}

naar links is geschoven. In de volledige vorm

y = A\sin(B(x - C)) + D

ken je

A

B

uit de les over amplitude en periode,

C

is deze les en

D

(de verticale verschuiving) komt hierna. In Nederlandse schoolboeken staat dezelfde formule vaak als

y = a + b\sin(c(x - d))

; daar is

d

de faseverschuiving. Wij houden de letters

A

B

C

D

aan.

Probeer het meteen

Welke vergelijking is

y = \cos(x)

\frac{\pi}{4}

naar links geschoven?

Uitgewerkte voorbeelden

Beschrijf de grafiek van

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)

vergeleken met

y = \sin(x)

. Waar begint de eerste periode en waar ligt het maximum?

Vergelijk met $y = \sin(B(x - C))$

x - \frac{\pi}{4}

heeft al de vorm

1 \cdot (x - C)

→

B = 1

C = \frac{\pi}{4}

Lees de richting af

C

is positief → Verschuiving van

\frac{\pi}{4}

naar rechts

Zoek het begin van de periode

Het argument is

0

als

x - \frac{\pi}{4} = 0

→ De periode begint bij

x = \frac{\pi}{4}

Verschuif het maximum

\sin(x)

heeft zijn maximum bij

\frac{\pi}{2}

, dus tel

\frac{\pi}{4}

op:

\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}

→ Maximum bij

x = \frac{3\pi}{4}

Antwoord: De grafiek is $y = \sin(x)$ , $\frac{\pi}{4}$ naar rechts geschoven. De eerste periode begint bij $x = \frac{\pi}{4}$ en het maximum $1$ ligt bij $x = \frac{3\pi}{4}$ .

Veelgemaakte fouten

$y = \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ lezen als een verschuiving naar links

Waarom het fout is: Het minteken lijkt naar links te wijzen, zoals op een getallenlijn. Maar de grafiek bereikt elke waarde later, namelijk als $x - \frac{\pi}{3}$ de oude waarde van $x$ heeft.

Correct: Een min binnen de haakjes betekent rechts: $\sin(x - C)$ schuift $C$ naar rechts, $\sin(x + C)$ schuift $C$ naar links.

Zeggen dat de verschuiving van $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$ gelijk is aan $\frac{\pi}{2}$

Waarom het fout is: Het getal $\frac{\pi}{2}$ wordt van $2x$ afgetrokken, niet van $x$ . De verschuiving hoort bij $x$ alleen.

Correct: Haal $B$ buiten haakjes: $\sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$ . De verschuiving is $\frac{c}{B} = \frac{\pi}{4}$ naar rechts.

Denken dat een faseverschuiving de periode of de hoogte verandert

Waarom het fout is: Als je een grafiek opzij schuift, rek je hem niet uit. Alleen $B$ verandert de periode en alleen $A$ de amplitude.

Correct: Na een faseverschuiving heeft de grafiek dezelfde vorm, periode en amplitude. Alleen de plek waar elke periode begint verandert.

Denken dat $y = \sin(x - 2\pi)$ een andere grafiek is dan $y = \sin(x)$

Waarom het fout is: De sinus herhaalt zich elke $2\pi$ . Een verschuiving over een hele periode legt elke golf precies op de volgende.

Correct: Verschuivingen die een hele periode verschillen, geven dezelfde grafiek: $\sin(x - 2\pi) = \sin(x)$ en $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)$ .

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

C = π/3

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Faseverschuiving C = π/3

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Grafiek van de functie

B = 1C = 0

y = sin(x)

Opdracht 1 van 5

y = sin(x − π/3)

Een min binnen de haakjes betekent dat de grafiek naar rechts schuift.

Verschuif de schuifjes tot jouw grafiek precies op de gestippelde doelgrafiek ligt.

Hoe dichtbij

0 van 5 opgelost

B: goed
C: groter

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

y = sin(B(x − C))y = sin(x − π/3)

Grafiek van de functie

B = 2c = π/2

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Verschuiving c/B = π/4
Periode = π

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

sin(x)

sin(x - pi/3)

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Hoe is de grafiek van

y = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)

verschoven ten opzichte van

y = \sin(x)

Waarom het belangrijk is

Een faseverschuiving vertelt je wanneer een zich herhalend patroon plaatsvindt, niet alleen hoe groot of hoe snel het is:

Getijden: twee havens hebben getijden met dezelfde periode, maar het hoogwater komt op verschillende tijden. Het verschil is een faseverschuiving.
Elektriciteit: de drie draden van een driefasenleiding dragen dezelfde sinusvormige spanning, telkens een derde periode verschoven.
Koptelefoons met ruisonderdrukking: ze spelen het geluid nog eens af, een halve periode verschoven, zodat de twee golven elkaar opheffen.
Seizoenen: de warmste dag van het jaar komt ongeveer een maand na de langste dag. De temperatuurgrafiek is de daglichtgrafiek met een faseverschuiving.
Muziek en geluid: twee luidsprekers die dezelfde toon in tegenfase spelen, kunnen het geluid op sommige plekken zwakker maken.

Als je de faseverschuiving goed afleest (richting en grootte), kun je de volgende top voorspellen.

Toepassingen in de echte wereld

Hoogwater voorspellen

Havenmeesters beschrijven de waterstand met een verschoven sinus. De faseverschuiving vertelt hen wanneer het water door het gemiddelde niveau gaat, en daaruit vinden ze het hoogwater.

Voorbeeld:

Als de waterstand $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ meter boven het gemiddelde niveau is, met $t$ in uren na middernacht, dan stijgt het water door het gemiddelde niveau bij $t = 2$ , om 2:00 uur.

1Probeer het zelf

De waterstand in een haven is $h(t) = 1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 2)\right)$ meter boven het gemiddelde niveau, waarbij $t$ de tijd in uren na middernacht is.

Op welk tijdstip $t$ (in uren na middernacht) is het eerste hoogwater?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Begin van de periode plus een kwart periode:

Wisselstroom

Stroomnetten in Europa werken met 50 Hz. Twee spanningen met dezelfde frequentie kunnen ten opzichte van elkaar verschoven zijn, en ingenieurs meten dat verschil als een faseverschuiving in seconden.

Voorbeeld:

De spanning $V_1 = \sin(100\pi t)$ heeft periode $\frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50}$ seconde. Een tweede spanning $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ bereikt elke top iets later.

2Probeer het zelf

Twee spanningen zijn $V_1 = \sin(100\pi t)$ en $V_2 = \sin\left(100\pi t - \frac{\pi}{2}\right)$ , met $t$ in seconden.

Hoeveel seconden is $V_2$ naar rechts verschoven ten opzichte van $V_1$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Deel $c$ door $B$ :

Koptelefoons met ruisonderdrukking

Een microfoon vangt het geluid op, en de koptelefoon speelt dezelfde golf een halve periode verschoven af. Waar het geluid stijgt, daalt de kopie, en de twee heffen elkaar op.

Voorbeeld:

Voor het geluid $y = \sin(x)$ is de kopie $y = \sin(x - \pi)$ , en dat is gelijk aan $-\sin(x)$ . Hun som is overal $0$ .

3Probeer het zelf

Een geluid wordt beschreven door $y = \sin(2x)$ . De koptelefoon speelt $y = \sin(2(x - C))$ .

Welke verschuiving $C$ , tussen $0$ en een periode, maakt de kopie precies het tegengestelde van het geluid?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

De helft van de periode:

Belangrijke punten

1Bij $y = \sin(B(x - C))$ en $y = \cos(B(x - C))$ is de faseverschuiving $C$
2Een min binnen de haakjes betekent rechts, een plus betekent links: $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ schuift $\frac{\pi}{4}$ naar links
3Haal bij $\sin(Bx - c)$ eerst $B$ buiten haakjes: de verschuiving is $\frac{c}{B}$ , niet $c$
4De periode $\frac{2\pi}{|B|}$ en de amplitude veranderen niet als de grafiek verschuift
5Een periode begint bij $x = C$ en eindigt bij $x = C + \frac{2\pi}{B}$ ; een verschuiving over een hele periode geeft dezelfde grafiek
6De cosinus is een verschoven sinus: $\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Veelgestelde vragen

De fase is de plek binnen een periode (begin, top, nulpunt, dal). Een faseverschuiving verplaatst elk punt van de periode over dezelfde afstand, zodat de hele golf eerder of later begint.

Woordenlijst

Faseverschuiving: De horizontale verschuiving van een sinus- of cosinusgrafiek; gelijk aan $C$ in $y = \sin(B(x - C))$
Horizontale verschuiving: Een hele grafiek naar links of rechts schuiven zonder de vorm te veranderen
Fase: De plek binnen een periode van een golf, zoals het begin, de top of het dal
Periode: De lengte van een volledige golf; gelijk aan $\frac{2\pi}{|B|}$
Ontbonden vorm: Het argument van de functie schrijven als $B(x - C)$ , zodat je de verschuiving $C$ direct kunt aflezen

Formulekaart

Verschoven sinus en cosinus

y = \sin(B(x - C))

y = \cos(B(x - C))

Faseverschuiving $C$: naar rechts als $C > 0$, naar links als $C < 0$

Verschuiving uit de uitgewerkte vorm

\sin(Bx - c) = \sin\left(B\left(x - \frac{c}{B}\right)\right)

De faseverschuiving is $\frac{c}{B}$

Een periode

C \le x \le C + \frac{2\pi}{B}

Waar een volledige periode van de verschoven grafiek begint en eindigt

Sinus en cosinus

\cos(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

De cosinus is de sinus, $\frac{\pi}{2}$ naar links geschoven

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Let op: haal eerst BBB buiten haakjes

Verschuiving en periode zijn twee verschillende dingen

Sinus en cosinus zijn verschuivingen van elkaar

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Grafiek van de functie

Grafiek van de functie

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Hoogwater voorspellen

Wisselstroom

Koptelefoons met ruisonderdrukking

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Verschoven sinus en cosinus

Verschuiving uit de uitgewerkte vorm

Een periode

Sinus en cosinus

Meer over dit onderwerp

De sinusfunctie grafisch weergeven

Grafische weergave van de cotangens

De cosinusfunctie tekenen

Amplitude en periode

Let op: haal eerst $B$ buiten haakjes