Alle vier de parameters aflezen

Bepaal voor $y = 3\sin(2(x - \frac{\pi}{6})) - 1$ de amplitude, de periode, de faseverschuiving, de middellijn en het bereik.

Vergelijken met de algemene vorm: Vergelijk met $y = A\sin(B(x - C)) + D$ = $A = 3,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{6},\ D = -1$

Amplitude en periode: Amplitude $= |3| = 3$, periode $= \frac{2\pi}{2} = \pi$ = Amplitude $3$, periode $\pi$

Faseverschuiving en middellijn: $C = \frac{\pi}{6} > 0$, dus verschuiving naar rechts; $D = -1$ = $\frac{\pi}{6}$ naar rechts, middellijn $y = -1$

Bereik: $[D - |A|,\ D + |A|] = [-1 - 3,\ -1 + 3]$ = $[-4, 2]$

Answer: Amplitude $3$, periode $\pi$, faseverschuiving $\frac{\pi}{6}$ naar rechts, middellijn $y = -1$, bereik $[-4, 2]$.

Eerst B buiten haakjes, dan de verschuiving aflezen

Bepaal de faseverschuiving en de periode van $y = \sin(3x - \pi)$.

$B = 3$ buiten haakjes halen: $3x - \pi = 3\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ = $y = \sin(3(x - \frac{\pi}{3}))$

Faseverschuiving aflezen: $C = \frac{\pi}{3} > 0$ = $\frac{\pi}{3}$ naar rechts

Periode bepalen: $\frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{3}$ = Periode $\frac{2\pi}{3}$

Controleren waar de periode begint: De periode begint waar het deel tussen haakjes $0$ is: $3x - \pi = 0$ = $x = \frac{\pi}{3}$, klopt

Answer: De faseverschuiving is $\frac{\pi}{3}$ naar rechts (niet $\pi$) en de periode is $\frac{2\pi}{3}$.

Tekenen met de vijf sleutelpunten

Teken één periode van $y = 2\sin(2(x - \frac{\pi}{4})) + 1$.

Parameters aflezen: Vergelijk met $y = A\sin(B(x - C)) + D$ = $A = 2,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{4},\ D = 1$

Periode en stap: Periode $= \frac{2\pi}{2} = \pi$, stap $= \frac{\pi}{4}$ = Stap $\frac{\pi}{4}$

De vijf x-waarden: Begin bij $x = C = \frac{\pi}{4}$ en tel vier keer $\frac{\pi}{4}$ op = $\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4},\ \pi,\ \frac{5\pi}{4}$

De vijf y-waarden (sinuspatroon): Middellijn $1$, maximum $1 + 2 = 3$, middellijn $1$, minimum $1 - 2 = -1$, middellijn $1$ = $1,\ 3,\ 1,\ -1,\ 1$

Plotten en verbinden: Teken een vloeiende golf door de vijf punten en herhaal die naar beide kanten = Bereik $[-1, 3]$

Answer: Eén periode loopt van $x = \frac{\pi}{4}$ tot $x = \frac{5\pi}{4}$ door $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 3)$, $(\frac{3\pi}{4}, 1)$, $(\pi, -1)$ en $(\frac{5\pi}{4}, 1)$. Het bereik is $[-1, 3]$.

Een gespiegelde cosinus

Teken één periode van $y = -3\cos(\frac{1}{2}(x + \pi)) + 2$.

Parameters aflezen: $x + \pi = x - (-\pi)$ = $A = -3,\ B = \frac{1}{2},\ C = -\pi,\ D = 2$

Periode en stap: Periode $= \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$, stap $= \frac{4\pi}{4} = \pi$ = Stap $\pi$

De vijf x-waarden: Begin bij $x = -\pi$ en tel vier keer $\pi$ op = $-\pi,\ 0,\ \pi,\ 2\pi,\ 3\pi$

De vijf y-waarden: Een cosinus begint bij een maximum, maar $A < 0$ draait dat om: minimum, middellijn, maximum, middellijn, minimum met minimum $2 - 3$ en maximum $2 + 3$ = $-1,\ 2,\ 5,\ 2,\ -1$

Domein en bereik: $[D - |A|,\ D + |A|] = [2 - 3,\ 2 + 3]$ = Domein alle reële getallen, bereik $[-1, 5]$

Answer: Sleutelpunten $(-\pi, -1)$, $(0, 2)$, $(\pi, 5)$, $(2\pi, 2)$, $(3\pi, -1)$. Het bereik is $[-1, 5]$.

De volgorde van de transformaties

Beschrijf in de juiste volgorde hoe $y = \sin(x)$ overgaat in $y = 2\sin(3x + \frac{\pi}{2}) - 1$, en bepaal het eerste maximum rechts van het begin van de periode.

$B = 3$ buiten haakjes halen: $3x + \frac{\pi}{2} = 3\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ = $C = -\frac{\pi}{6}$

Horizontale veranderingen (binnen): Eerst samendrukken met factor $3$ (periode $\frac{2\pi}{3}$), dan verschuiven = $\frac{\pi}{6}$ naar links

Verticale veranderingen (buiten): Eerst vermenigvuldigen met $2$ (amplitude $2$), dan verschuiven = $1$ omlaag, middellijn $y = -1$

Eerste maximum: Begin $x = -\frac{\pi}{6}$, stap $= \frac{2\pi/3}{4} = \frac{\pi}{6}$, dus maximum bij $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$ met $y = -1 + 2$ = $(0, 1)$

Controleren in de oorspronkelijke vergelijking: $2\sin(3 \cdot 0 + \frac{\pi}{2}) - 1 = 2 \cdot 1 - 1$ = $1$, klopt

Answer: Horizontaal samendrukken met $3$, $\frac{\pi}{6}$ naar links verschuiven, verticaal vermenigvuldigen met $2$, $1$ omlaag verschuiven. De periode begint bij $x = -\frac{\pi}{6}$ en het eerste maximum is $(0, 1)$.

Mistake: De faseverschuiving van $y = \sin(2x - \pi)$ aflezen als $\pi$

Why: De verschuiving is het getal dat van $x$ zelf wordt afgetrokken, niet van $2x$. $B$ vermenigvuldigt alles tussen de haakjes en drukt dus ook de verschuiving samen.

Correct: Haal eerst $B$ buiten haakjes: $\sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$, dus de verschuiving is $\frac{\pi}{2}$ naar rechts.

Mistake: $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ naar rechts verschuiven

Why: In de algemene vorm staat $x - C$. Hier is $x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$, dus $C = -\frac{\pi}{3}$ is negatief.

Correct: Een plusteken binnen de haakjes betekent een verschuiving naar links: $\frac{\pi}{3}$ naar links.

Mistake: De sleutelpunten bij $x = 0$ laten beginnen of stappen van een hele periode nemen

Why: Na een faseverschuiving begint de periode niet meer bij $0$, en de vijf punten moeten ÉÉN periode in vier gelijke delen verdelen.

Correct: Begin bij $x = C$ en neem stappen van $\frac{\text{periode}}{4}$. Bij periode $\pi$ is de stap $\frac{\pi}{4}$.

Mistake: De gewone volgorde van maximum en minimum houden als $A < 0$

Why: Een negatieve $A$ spiegelt de golf in de middellijn: elk maximum wordt een minimum en omgekeerd.

Correct: Voor $y = -2\sin(x)$ is het patroon middellijn, minimum, middellijn, maximum, middellijn. De amplitude blijft $2$.

Hoogte in een reuzenrad

De hoogte van een bakje in een draaiend reuzenrad is een getransformeerde cosinus: het middelpunt van het rad geeft de middellijn en de straal geeft de amplitude.

Een rad met straal 20 m, waarvan het middelpunt 22 m boven de grond ligt, draait elke 30 minuten één keer rond. Een bakje dat onderaan begint, zit na $t$ minuten op hoogte $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ meter, en de periode is $\frac{2\pi}{\pi/15} = 30$.

Getijden in een haven

Havenmeesters voorspellen de waterdiepte met een sinusmodel met een periode van ongeveer 12 uur, zodat schepen weten wanneer ze kunnen binnenvaren.

De diepte $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ meter, $t$ uur na middernacht, heeft middellijn 4 m, amplitude 1,5 m en periode $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ uur. De diepte schommelt tussen 2,5 m en 5,5 m.

Uren daglicht

Het aantal uren daglicht volgt over het jaar een sinusgolf met een periode van 365 dagen. De middellijn ligt op 12 uur, de daglengte bij de equinoxen.

In een stad in Noord-Europa geldt $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ uur, waarbij $t$ de dag van het jaar is. Dag 80 (rond 21 maart) is de lente-equinox, en de daglengte schommelt tussen 8 en 16 uur.

Q: Waarom is de faseverschuiving van $\sin(2x - \pi)$ niet $\pi$?

A: Omdat $B = 2$ alles tussen de haakjes vermenigvuldigt. Haal hem buiten haakjes: $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$. De periode begint waar het deel tussen haakjes $0$ is, bij $x = \frac{\pi}{2}$, dus de verschuiving is $\frac{\pi}{2}$.

Q: Maakt de volgorde van de transformaties echt uit?

A: Ja, bij een verschuiving en een vermenigvuldiging in dezelfde richting. Als je $\sin(x)$ $\frac{\pi}{2}$ naar rechts verschuift en DAARNA met factor $2$ samendrukt, krijg je $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$, een verschuiving van maar $\frac{\pi}{4}$. Horizontale en verticale veranderingen beïnvloeden elkaar niet, dus die twee groepen mag je in willekeurige volgorde doen.

Q: Werken de sleutelpunten bij de cosinus op dezelfde manier?

A: Ja. Begin bij $x = C$ en neem stappen van $\frac{\text{periode}}{4}$, net als bij de sinus. Alleen het patroon van de y-waarden verandert: de cosinus gaat maximum, middellijn, minimum, middellijn, maximum (of omgekeerd als $A < 0$).

Q: En als $B$ negatief is?

A: Herschrijf de functie eerst. De sinus is oneven, $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, dus $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. De cosinus is even, $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, dus $\cos(-2x) = \cos(2x)$. Daarna is $B > 0$ en werkt de methode zoals altijd.