Maakt de volgorde van de transformaties echt uit?

Ja, bij een verschuiving en een vermenigvuldiging in dezelfde richting. Als je $\sin(x)$ $\frac{\pi}{2}$ naar rechts verschuift en DAARNA met factor $2$ samendrukt, krijg je $\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \sin(2(x - \frac{\pi}{4}))$, een verschuiving van maar $\frac{\pi}{4}$. Horizontale en verticale veranderingen beïnvloeden elkaar niet, dus die twee groepen mag je in willekeurige volgorde doen.

Werken de sleutelpunten bij de cosinus op dezelfde manier?

Ja. Begin bij $x = C$ en neem stappen van $\frac{\text{periode}}{4}$, net als bij de sinus. Alleen het patroon van de y-waarden verandert: de cosinus gaat maximum, middellijn, minimum, middellijn, maximum (of omgekeerd als $A < 0$).

En als $B$ negatief is?

Herschrijf de functie eerst. De sinus is oneven, $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, dus $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. De cosinus is even, $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, dus $\cos(-2x) = \cos(2x)$. Daarna is $B > 0$ en werkt de methode zoals altijd.

Leermiddelen

Transformaties van goniometrische grafieken

Q: Waarom is de faseverschuiving van $\sin(2x - \pi)$ niet $\pi$?

Omdat $B = 2$ alles tussen de haakjes vermenigvuldigt. Haal hem buiten haakjes: $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$. De periode begint waar het deel tussen haakjes $0$ is, bij $x = \frac{\pi}{2}$, dus de verschuiving is $\frac{\pi}{2}$.

Q: En als $B$ negatief is?

Herschrijf de functie eerst. De sinus is oneven, $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$, dus $\sin(-2x) = -\sin(2x)$. De cosinus is even, $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$, dus $\cos(-2x) = \cos(2x)$. Daarna is $B > 0$ en werkt de methode zoals altijd.

Teken elke sinus- of cosinusfunctie van de vorm y = A sin(B(x - C)) + D: wat elke parameter doet, de juiste volgorde van de transformaties en de methode van de vijf sleutelpunten.

Gevorderd30 minLes

Delen in Classroom

Werkblad om te printen

Definitie

Een getransformeerde sinus- of cosinusgrafiek heeft de algemene vorm

y = A\sin(B(x - C)) + D \quad \text{of} \quad y = A\cos(B(x - C)) + D

(Nederlandse methodes schrijven vaak

y = a + b\sin(c(x - d))

; hier houden we de letters

A

B

C

D

aan.) Elk van de vier parameters verandert de basisgrafiek

y = \sin(x)

y = \cos(x)

op precies één manier (in deze les is

B > 0

Parameter	Wat hij doet	Kenmerk
$A$	verticale vermenigvuldiging; bij $A < 0$ ook spiegeling in de middellijn	amplitude $= \lvert A \rvert$
$B$	horizontale samendrukking ( $B > 1$ ) of uitrekking ( $B < 1$ )	periode $= \frac{2\pi}{B}$
$C$	horizontale verschuiving: naar rechts als $C > 0$ , naar links als $C < 0$	faseverschuiving $= C$
$D$	verticale verschuiving	middellijn $y = D$

Volgorde: eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven

Binnen de haakjes druk je eerst samen of rek je eerst uit met

B

, daarna verschuif je met

C

. Buiten de haakjes vermenigvuldig je eerst met

A

(en spiegel je als

A < 0

), daarna verschuif je met

D

. **Haal

B

altijd eerst buiten haakjes** voordat je de verschuiving afleest:

\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))

, dus de verschuiving is

\frac{\pi}{2}

, niet

\pi

De methode van de vijf sleutelpunten

1.Eén periode begint bij $x = C$ en eindigt bij $x = C + \text{periode}$ .
2.Verdeel die in vier gelijke stappen: $\text{stap} = \frac{\text{periode}}{4}$ .
3.Vul de y-waarden in. Sinus: middellijn, maximum, middellijn, minimum, middellijn. Cosinus: maximum, middellijn, minimum, middellijn, maximum. Als $A < 0$ , wissel je maximum en minimum.
4.Maximum $= D + |A|$ , minimum $= D - |A|$ , waarde op de middellijn $= D$ .

Domein: alle reële getallen. Bereik:

[D - |A|,\ D + |A|]

Probeer het meteen

Wat is de amplitude van

y = -4\sin(2x) + 1

Uitgewerkte voorbeelden

Bepaal voor

y = 3\sin(2(x - \frac{\pi}{6})) - 1

de amplitude, de periode, de faseverschuiving, de middellijn en het bereik.

Vergelijken met de algemene vorm

Vergelijk met

y = A\sin(B(x - C)) + D

→

A = 3,\ B = 2,\ C = \frac{\pi}{6},\ D = -1

Amplitude en periode

Amplitude

= |3| = 3

, periode

= \frac{2\pi}{2} = \pi

→ Amplitude

3

, periode

\pi

Faseverschuiving en middellijn

C = \frac{\pi}{6} > 0

, dus verschuiving naar rechts;

D = -1

→

\frac{\pi}{6}

naar rechts, middellijn

y = -1

Bereik

[D - |A|,\ D + |A|] = [-1 - 3,\ -1 + 3]

→

[-4, 2]

Antwoord: Amplitude $3$ , periode $\pi$ , faseverschuiving $\frac{\pi}{6}$ naar rechts, middellijn $y = -1$ , bereik $[-4, 2]$ .

Veelgemaakte fouten

De faseverschuiving van $y = \sin(2x - \pi)$ aflezen als $\pi$

Waarom het fout is: De verschuiving is het getal dat van $x$ zelf wordt afgetrokken, niet van $2x$ . $B$ vermenigvuldigt alles tussen de haakjes en drukt dus ook de verschuiving samen.

Correct: Haal eerst $B$ buiten haakjes: $\sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$ , dus de verschuiving is $\frac{\pi}{2}$ naar rechts.

$y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ naar rechts verschuiven

Waarom het fout is: In de algemene vorm staat $x - C$ . Hier is $x + \frac{\pi}{3} = x - (-\frac{\pi}{3})$ , dus $C = -\frac{\pi}{3}$ is negatief.

Correct: Een plusteken binnen de haakjes betekent een verschuiving naar links: $\frac{\pi}{3}$ naar links.

De sleutelpunten bij $x = 0$ laten beginnen of stappen van een hele periode nemen

Waarom het fout is: Na een faseverschuiving begint de periode niet meer bij $0$ , en de vijf punten moeten ÉÉN periode in vier gelijke delen verdelen.

Correct: Begin bij $x = C$ en neem stappen van $\frac{\text{periode}}{4}$ . Bij periode $\pi$ is de stap $\frac{\pi}{4}$ .

De gewone volgorde van maximum en minimum houden als $A < 0$

Waarom het fout is: Een negatieve $A$ spiegelt de golf in de middellijn: elk maximum wordt een minimum en omgekeerd.

Correct: Voor $y = -2\sin(x)$ is het patroon middellijn, minimum, middellijn, maximum, middellijn. De amplitude blijft $2$ .

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

A = 1B = 1C = 0D = 0

y = sin(x)

Opdracht 1 van 6

Uitrekken en optillen

Verschuif de schuifjes tot jouw grafiek precies op de gestippelde doelgrafiek ligt.

Hoe dichtbij

0 van 6 opgelost

A: groter
B: goed
C: goed
D: groter

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

y = A·sin(B(x − C)) + DUitrekken en optillen

Grafiek van de functie

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Waardetabel

x	0,785398	1,5708	2,35619	3,14159	3,92699
sin(x)	0,707107	1	0,707107	-1,02068 × 10^-11	-0,707107
2·sin(2(x − π/4)) + 1	1	3	1	-1	1
Middellijn y = 1	1	1	1	1	1

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

2sin(2(x - pi/4)) + 1

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven

Opgave 1 van 18

Makkelijk

Wat is de amplitude van

y = -4\sin(2x) + 1

Waarom het belangrijk is

Bijna elk zich herhalend proces in natuur en techniek wordt beschreven met een getransformeerde sinus of cosinus, en de vier parameters hebben altijd een concrete betekenis:

Reuzenrad: de straal is de amplitude, de hoogte van het middelpunt is de middellijn (evenwichtslijn), één rondje is de periode
Getijden: de waterdiepte stijgt en daalt ongeveer elke 12 uur rond een gemiddelde diepte
Daglicht: de daglengte schommelt rond 12 uur met een periode van 365 dagen
Geluid en stroom: de amplitude is het volume of de spanning, de periode bepaalt de toonhoogte of de frequentie

Als je een vergelijking in een minuut kunt omzetten in een schets, lees je de hoogste en laagste waarden en de momenten waarop ze voorkomen direct uit de formule af. Dat is precies wat ingenieurs, oceanografen en klimaatwetenschappers met deze modellen doen.

Toepassingen in de echte wereld

Hoogte in een reuzenrad

De hoogte van een bakje in een draaiend reuzenrad is een getransformeerde cosinus: het middelpunt van het rad geeft de middellijn en de straal geeft de amplitude.

Voorbeeld:

Een rad met straal 20 m, waarvan het middelpunt 22 m boven de grond ligt, draait elke 30 minuten één keer rond. Een bakje dat onderaan begint, zit na $t$ minuten op hoogte $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ meter, en de periode is $\frac{2\pi}{\pi/15} = 30$ .

1Probeer het zelf

De hoogte van het bakje is $h(t) = -20\cos(\frac{\pi}{15}t) + 22$ meter, met $t$ in minuten.

Hoe hoog boven de grond is het bakje op zijn hoogste punt (in meter)?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Hoogste punt = middellijn + amplitude:

Getijden in een haven

Havenmeesters voorspellen de waterdiepte met een sinusmodel met een periode van ongeveer 12 uur, zodat schepen weten wanneer ze kunnen binnenvaren.

Voorbeeld:

De diepte $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ meter, $t$ uur na middernacht, heeft middellijn 4 m, amplitude 1,5 m en periode $\frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ uur. De diepte schommelt tussen 2,5 m en 5,5 m.

2Probeer het zelf

Een groot schip heeft hoogwater nodig. De diepte is $d(t) = 1{,}5\sin(\frac{\pi}{6}(t - 3)) + 4$ meter, $t$ uur na middernacht.

Op welk tijdstip $t$ (in uren na middernacht) is het eerste hoogwater na $t = 3$ ?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Begin van de periode plus een kwart periode:

Uren daglicht

Het aantal uren daglicht volgt over het jaar een sinusgolf met een periode van 365 dagen. De middellijn ligt op 12 uur, de daglengte bij de equinoxen.

Voorbeeld:

In een stad in Noord-Europa geldt $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ uur, waarbij $t$ de dag van het jaar is. Dag 80 (rond 21 maart) is de lente-equinox, en de daglengte schommelt tussen 8 en 16 uur.

3Probeer het zelf

De daglengte is $L(t) = 4\sin(\frac{2\pi}{365}(t - 80)) + 12$ uur, waarbij $t$ de dag van het jaar is.

Op welke dag van het jaar is het daglicht het langst? Rond af op een hele dag.

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Begin van de periode plus een kwart periode, afgerond:

Belangrijke punten

1In $y = A\sin(B(x - C)) + D$ is $|A|$ de amplitude, $\frac{2\pi}{B}$ de periode, $C$ de faseverschuiving en $y = D$ de middellijn
2Eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven: binnen de haakjes $B$ vóór $C$ , buiten de haakjes $A$ vóór $D$
3Haal $B$ altijd buiten haakjes voordat je de faseverschuiving afleest: $\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))$
4 $x - C$ verschuift $C$ naar rechts, $x + C$ verschuift $C$ naar links
5Vijf sleutelpunten: begin bij $x = C$ , stap $= \frac{\text{periode}}{4}$ . Sinus: middellijn, maximum, middellijn, minimum, middellijn; cosinus: maximum, middellijn, minimum, middellijn, maximum; $A < 0$ wisselt maximum en minimum
6Het domein is alle reële getallen en het bereik is $[D - |A|,\ D + |A|]$

Veelgestelde vragen

Omdat

B = 2

alles tussen de haakjes vermenigvuldigt. Haal hem buiten haakjes:

\sin(2x - \pi) = \sin(2(x - \frac{\pi}{2}))

. De periode begint waar het deel tussen haakjes

0

is, bij

x = \frac{\pi}{2}

, dus de verschuiving is

\frac{\pi}{2}

Woordenlijst

Amplitude: Afstand van de middellijn tot een maximum of minimum: $|A|$
Periode: Horizontale lengte van één volledige golf: $\frac{2\pi}{B}$
Faseverschuiving: Horizontale verschuiving van de grafiek: $C$ in $x - C$ (naar rechts als hij positief is, naar links als hij negatief is)
Middellijn: De horizontale lijn $y = D$ precies tussen maximum en minimum (ook evenwichtslijn genoemd)
Sleutelpunten: De vijf punten die één periode in vier gelijke stappen verdelen: begin, kwart, helft, driekwart, eind
Spiegeling: Het omklappen van de golf in de middellijn, veroorzaakt door een negatieve $A$

Formulekaart

Algemene vorm

y = A\sin(B(x - C)) + D

Dezelfde letters voor de cosinus: $y = A\cos(B(x - C)) + D$

Amplitude

|A|

Verticale vermenigvuldiging; $A < 0$ spiegelt de golf ook

Periode

\frac{2\pi}{B}

Lengte van één golf

Faseverschuiving en middellijn

C

y = D

Naar rechts als $C > 0$, naar links als $C < 0$; omhoog als $D > 0$, omlaag als $D < 0$

Stap tussen de sleutelpunten

\frac{\text{periode}}{4}

Begin bij $x = C$ en tel de stap vier keer op

Bereik

[D - |A|,\ D + |A|]

Van het minimum tot het maximum

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Definitie

Volgorde: eerst vermenigvuldigen, dan verschuiven

De methode van de vijf sleutelpunten

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

Interactieve visualisatie

Grafiek van de functie

Grafiek van de functie

Waardetabel

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

Expressiecalculator

Geschiedenis

Oefenproblemen

Waarom het belangrijk is

Toepassingen in de echte wereld

Hoogte in een reuzenrad

Getijden in een haven

Uren daglicht

Belangrijke punten

Veelgestelde vragen

Woordenlijst

Formulekaart

Algemene vorm

Amplitude

Periode

Faseverschuiving en middellijn

Stap tussen de sleutelpunten

Bereik

Meer over dit onderwerp

De sinusfunctie grafisch weergeven

Grafische weergave van de cotangens

De cosinusfunctie tekenen

Amplitude en periode