Afleiding van de formule voor de sinus van de dubbele hoek

Gebruik de somformule $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ om $\sin(2\theta)$ af te leiden.

Begin met de somformule: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ = Somformule

Stel $A = B = \theta$: $\sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta$ = $\sin(2\theta) = \sin\theta\cos\theta + \sin\theta\cos\theta$

Combineer gelijke termen: $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ = $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$

Answer: $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$

sin(2θ) vinden gegeven sin(θ)

Als $\sin\theta = \frac{3}{5}$ en $\theta$ in het eerste kwadrant ligt, vind $\sin(2\theta)$.

Vind $\cos\theta$ met de goniometrische hoofdformule: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ = $\cos\theta = \frac{4}{5}$ (positief in K1)

Pas de formule voor de dubbele hoek toe: $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ = Substitueer waarden

Bereken: $\sin(2\theta) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$ = $\sin(2\theta) = \frac{24}{25}$

Answer: $\sin(2\theta) = \frac{24}{25}$

Vereenvoudigen met de formule voor de cosinus van de dubbele hoek

Vereenvoudig: $\cos^2(15°) - \sin^2(15°)$

Herken het patroon: Dit komt overeen met $\cos^2\theta - \sin^2\theta$ = Dubbele hoek vorm

Pas de identiteit toe: $\cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos(2\theta)$ = Met $\theta = 15°$

Bereken: $\cos(2 \cdot 15°) = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer: $\cos^2(15°) - \sin^2(15°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Een vergelijking oplossen met dubbele hoeken

Los op: $\sin(2x) = \cos(x)$ voor $0 \leq x < 2\pi$

Pas de formule voor de dubbele hoek toe: $2\sin x \cos x = \cos x$ = Uitgewerkte vorm

Herschik: $2\sin x \cos x - \cos x = 0$ = $\cos x(2\sin x - 1) = 0$

Stel elke factor gelijk aan nul: $\cos x = 0$ of $\sin x = \frac{1}{2}$ = Twee gevallen

Los $\cos x = 0$ op: $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ = Twee oplossingen

Los $\sin x = \frac{1}{2}$ op: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ = Twee extra oplossingen

Answer: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

Mistake: Schrijven $\sin(2\theta) = 2\sin\theta$

Why: Leerlingen vergeten soms de cosinusfactor. De sinusfunctie is niet lineair, dus je kunt het argument niet simpelweg verdubbelen door de uitvoer te verdubbelen.

Correct: $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ — zowel de sinus ALS de cosinus van $\theta$ zijn nodig.

Mistake: De verkeerde vorm van $\cos(2\theta)$ gebruiken

Why: Er zijn drie equivalente vormen. De verkeerde kiezen kan problemen moeilijker maken.

Correct: Kies de vorm die past bij je gegevens: gebruik $1 - 2\sin^2\theta$ als je $\sin\theta$ kent, gebruik $2\cos^2\theta - 1$ als je $\cos\theta$ kent.

Mistake: Het teken van de noemer van $\tan(2\theta)$ vergeten

Why: De formule heeft $1 - \tan^2\theta$ in de noemer, niet $1 + \tan^2\theta$.

Correct: $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Bereikformule voor een projectiel

Het bereik van een projectiel dat onder een hoek $\theta$ met beginsnelheid $v_0$ wordt gelanceerd is $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$. Het maximale bereik treedt op wanneer $\sin(2\theta) = 1$, d.w.z. $\theta = 45°$.

Een voetbal getrapt met 20 m/s onder een hoek van 30°: $R = \frac{400 \cdot \sin(60°)}{10} = \frac{400 \cdot 0,866}{10} \approx 34,6$ meter.

Elektrotechniek: Arbeidsfactor

In wisselstroomkringen bevatten vermogensberekeningen vaak $\cos(2\omega t)$ waarbij $\omega$ de hoekfrequentie is. De identiteit van de dubbele hoek helpt bij het analyseren van het momentaan vermogen.

Als spanning $V = V_0\cos(\omega t)$ en stroom $I = I_0\cos(\omega t)$, dan bevat het momentaan vermogen $\cos^2(\omega t) = \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}$.

Q: Waarom zijn er drie vormen voor de cosinus van de dubbele hoek?

A: Alle drie zijn equivalent, maar elk is nuttig in verschillende situaties. Gebruik $\cos^2\theta - \sin^2\theta$ als je beide kent. Gebruik $2\cos^2\theta - 1$ als je alleen cosinus kent. Gebruik $1 - 2\sin^2\theta$ als je alleen sinus kent. Ze worden afgeleid met $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.

Q: Hoe leid ik de formules voor de halve hoek af uit de formules voor de dubbele hoek?

A: Vervang $\theta$ door $\frac{\theta}{2}$ in de formule voor de dubbele hoek. Bijvoorbeeld, uit $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$, stel $\alpha = \frac{\theta}{2}$: $\cos\theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2}) - 1$, wat geeft $\cos(\frac{\theta}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$.

Q: Wanneer is $\tan(2\theta)$ onbepaald?

A: Wanneer de noemer gelijk is aan nul: $1 - \tan^2\theta = 0$, dus $\tan\theta = \pm 1$, wat betekent $\theta = 45°, 135°, 225°, 315°$ (of $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$). Bij deze hoeken is $2\theta$ een oneven veelvoud van $90°$.