Omzetten naar sinus en cosinus

Bewijs dat $\tan x \cos x = \sin x$.

Kies het lid waaraan je werkt: Het linkerlid heeft twee functies, het rechterlid maar één. Begin links. = $\tan x \cos x$

Gebruik de quotiëntidentiteit: Vervang $\tan x$ door $\frac{\sin x}{\cos x}$ = $\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x$

Deel de gemeenschappelijke factor weg: $\cos x$ in teller en noemer valt weg (als $\cos x \neq 0$) = $\sin x$

Vergelijk met het rechterlid: Het linkerlid ziet er nu precies uit als het rechterlid = $\sin x = \sin x$ ✓

Answer: $\tan x \cos x = \sin x$ is een identiteit voor elke $x$ met $\cos x \neq 0$.

Breuken samenvoegen, dan Pythagoras

Bewijs dat $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$.

Omzetten naar sinus en cosinus: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ = $\frac{1}{\cos x} - \cos x$

Een gemeenschappelijke noemer gebruiken: $\cos x = \frac{\cos^2 x}{\cos x}$ = $\frac{1 - \cos^2 x}{\cos x}$

De Pythagorische identiteit toepassen: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ = $\frac{\sin^2 x}{\cos x}$

Eén factor afsplitsen: $\frac{\sin^2 x}{\cos x} = \sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$ = $\sin x \tan x$ ✓

Answer: $\sec x - \cos x = \sin x \tan x$ is een identiteit (voor $\cos x \neq 0$). Controle bij $x = 60°$: $2 - 0{,}5 = 1{,}5$ en $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = 1{,}5$.

Vermenigvuldigen met de geconjugeerde

Bewijs dat $\dfrac{\sin x}{1 - \cos x} = \dfrac{1 + \cos x}{\sin x}$.

De truc kiezen: De noemer $1 - \cos x$ heeft als geconjugeerde $1 + \cos x$. Vermenigvuldig het linkerlid met $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$, wat gelijk is aan 1. = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$

De noemer uitwerken: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{1 - \cos^2 x}$

De Pythagorische identiteit toepassen: $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ = $\frac{\sin x\,(1 + \cos x)}{\sin^2 x}$

Eén keer $\sin x$ wegdelen: $\frac{\sin x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin x}$ = $\frac{1 + \cos x}{\sin x}$ ✓

Answer: De twee breuken zijn gelijk voor elke $x$ met $\sin x \neq 0$. De geconjugeerde heeft $1 - \cos x$ omgezet in $\sin^2 x$.

Beginnen bij het rechterlid

Bewijs dat $\dfrac{\cos x}{1 - \sin x} = \sec x + \tan x$.

Het lid kiezen: Het rechterlid heeft twee verschillende functies die je kunt samenvoegen, dus begin daar. = $\sec x + \tan x$

Omzetten en samenvoegen: $\frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x}$ = $\frac{1 + \sin x}{\cos x}$

Vermenigvuldigen met de geconjugeerde van $1 + \sin x$: $\frac{1 + \sin x}{\cos x} \cdot \frac{1 - \sin x}{1 - \sin x} = \frac{1 - \sin^2 x}{\cos x\,(1 - \sin x)}$ = $\frac{\cos^2 x}{\cos x\,(1 - \sin x)}$

Eén keer $\cos x$ wegdelen: $\frac{\cos^2 x}{\cos x} = \cos x$ = $\frac{\cos x}{1 - \sin x}$ ✓

Answer: Vanuit het rechterlid zijn we bij het linkerlid uitgekomen, dus de identiteit is bewezen (waar $\cos x \neq 0$ en $\sin x \neq 1$).

Weerleggen met één hoek

Is $\sin x + \cos x = 1$ een identiteit?

Eenvoudige hoeken testen: $x = 0°$: $0 + 1 = 1$. $x = 90°$: $1 + 0 = 1$. = Waar voor deze twee hoeken

Een hoek ertussen testen: $x = 45°$: $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}414$ = $1{,}414 \neq 1$

De conclusie trekken: Eén tegenvoorbeeld is genoeg: bij $45°$ zijn de twee leden verschillend. = Geen identiteit

Het in een grafiek zien: $y = \sin x + \cos x$ is een golf en $y = 1$ een rechte lijn: ze snijden elkaar alleen in enkele punten. = De grafieken vallen niet samen

Answer: $\sin x + \cos x = 1$ is een vergelijking (waar bij $0°$, $90°$, $360°$, ...), geen identiteit. Het tegenvoorbeeld $x = 45°$ weerlegt haar.

Mistake: Aan beide leden werken zoals bij een vergelijking, bijvoorbeeld kruislings vermenigvuldigen in $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$ om $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ te krijgen

Why: Kruislings vermenigvuldigen, termen naar de andere kant brengen of beide leden delen gaan allemaal uit van de bewering dat de twee leden gelijk zijn, en dat is precies wat je wilt aantonen.

Correct: Herschrijf één lid tot het het andere lid wordt. Het isgelijkteken blijft tot het allerlaatst onaangeroerd.

Mistake: Eén of twee hoeken controleren en de identiteit als bewezen beschouwen

Why: $\sin x + \cos x = 1$ klopt bij $0°$ en $90°$, maar niet bij $45°$. Een paar ware voorbeelden bewijzen nooit dat iets voor elke hoek geldt.

Correct: Gebruik getallen alleen om te testen of te weerleggen. Een bewijs vraagt algebra met identiteiten die voor alle $x$ gelden.

Mistake: Een breuk splitsen bij de noemer: $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\sin x}{1} - \frac{\sin x}{\cos x}$

Why: Een som in de teller mag je splitsen, $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$, maar een som in de noemer nooit. Bij $x = 60°$ is het linkerlid $1{,}732$ en het rechterlid $-0{,}866$.

Correct: Om $1 - \cos x$ uit een noemer te krijgen, vermenigvuldig je teller en noemer met de geconjugeerde $1 + \cos x$.

Mistake: $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos x$ of $1 + \cos^2 x$ schrijven

Why: Het product van geconjugeerden is een verschil van twee kwadraten: beide termen worden gekwadrateerd en het teken is min.

Correct: $(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

Hoe computeralgebra identiteiten test

Wiskundesoftware controleert of twee formules gelijk zijn door veel willekeurige hoeken in te vullen voordat ze een volledig symbolisch bewijs probeert. Geeft ook maar één hoek verschillende waarden, dan zijn de formules verschillend.

Om $\sec x - \cos x$ en $\sin x \tan x$ te vergelijken, berekent een programma beide bij hoeken zoals $17°$, $60°$ en $133°$ en vindt telkens dezelfde waarden.

Natuurkunde: een formule voor een helling vereenvoudigen

Natuurkundige formules komen vaak in een omslachtige vorm uit een berekening. Een identiteit maakt er een kortere vorm van, die sneller te berekenen en makkelijker te begrijpen is.

Een kracht op een helling kwam uit als $F = \dfrac{G\sin\theta}{\tan\theta}$. Omdat $\frac{\sin\theta}{\tan\theta} = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta$, is de formule gewoon $F = G\cos\theta$.

Computergraphics: draaiingen behouden lengtes

Games draaien punten met $x' = x\cos\theta - y\sin\theta$ en $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$. Door $x'^2 + y'^2$ uit te werken en $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ te gebruiken, bewijs je dat $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$ voor elke hoek, dus objecten vervormen nooit.

Het punt $(3, 4)$ blijft na een draaiing over $30°$, $90°$ of $217°$ altijd op afstand 5 van de oorsprong.

Q: Waarom mag ik niet gewoon aan beide kanten hetzelfde doen?

A: Dezelfde bewerking op beide leden gaat ervan uit dat de leden gelijk zijn, en dat wil je juist bewijzen. Sommige van die bewerkingen (kwadrateren, vermenigvuldigen met een uitdrukking die 0 kan zijn) kunnen zelfs een onjuiste bewering waar maken. Door aan één lid te werken voorkom je dat.

Q: Bij welk lid moet ik beginnen?

A: Meestal bij het ingewikkeldste: het lid met meer termen, breuken of functies zoals $\sec$, $\csc$, $\tan$, $\cot$. Vereenvoudigen is makkelijker dan complicaties verzinnen.

Q: Wat doe ik als ik halverwege vastloop?

A: Probeer een ander gereedschap: omzetten naar $\sin$ en $\cos$, breuken samenvoegen, ontbinden in factoren of vermenigvuldigen met een geconjugeerde. Je mag ook beide leden apart vereenvoudigen tot ze dezelfde uitdrukking bereiken, zolang elk lid op zichzelf herschreven wordt.

Q: Is naar de grafiek kijken een bewijs?

A: Nee. Als de grafieken van beide leden overal samenvallen, is de identiteit zeer waarschijnlijk waar, en als ze niet samenvallen, is ze onjuist. Maar een plaatje toont alleen een beperkt venster, dus een bewijs heeft toch algebraïsche stappen nodig.