Goniometrische identiteiten bewijzen

Leer stap voor stap een goniometrische identiteit te bewijzen: aan één kant werken, omzetten naar sinus en cosinus, breuken samenvoegen, de geconjugeerde gebruiken en onjuiste beweringen met één hoek weerleggen.

Gevorderd30 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

Een goniometrische identiteit is een gelijkheid die waar is voor elke hoek xx waarvoor beide leden gedefinieerd zijn. Een gewone vergelijking zoals sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} is alleen waar voor sommige hoeken, en die *los* je *op*. Een identiteit zoals tan⁡xcos⁡x=sin⁡x\tan x \cos x = \sin x is waar voor alle toegestane hoeken, en die *bewijs* je.

Wat bewijzen betekent

Om een identiteit te bewijzen, begin je bij één lid en herschrijf je het, met één toegestane stap tegelijk, tot het er precies uitziet als het andere lid:
tan⁡xcos⁡x⏟linkerlid=sin⁡xcos⁡x⋅cos⁡x=sin⁡x⏟rechterlid\underbrace{\tan x \cos x}_{\text{linkerlid}} = \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x = \underbrace{\sin x}_{\text{rechterlid}}

De spelregels

  • Werk aan één lid (meestal het ingewikkeldste). Het andere lid blijft zoals het is.
  • Breng nooit termen naar de andere kant van het isgelijkteken en vermenigvuldig of deel nooit beide leden: dan neem je al aan dat de identiteit klopt.
  • Elke stap moet een bekende identiteit gebruiken (reciproke, quotiënt- of Pythagorische identiteit) of correcte algebra (gemeenschappelijke noemer, ontbinden in factoren, vereenvoudigen).

De gereedschapskist

  1. 1.Begin bij het ingewikkeldste lid.
  2. 2.Zet alles om naar sin⁡\sin en cos⁡\cos (tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, sec⁡x=1cos⁡x\sec x = \frac{1}{\cos x}, ...).
  3. 3.Voeg breuken samen met een gemeenschappelijke noemer.
  4. 4.Ontbind in factoren (gemeenschappelijke factoren, verschil van twee kwadraten).
  5. 5.Vermenigvuldig met de geconjugeerde, bijvoorbeeld 1+cos⁡x1+cos⁡x\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}, zodat 1−cos⁡2x=sin⁡2x1 - \cos^2 x = \sin^2 x ontstaat.
  6. 6.Gebruik de Pythagorische identiteiten sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1, 1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x, 1+cot⁡2x=csc⁡2x1 + \cot^2 x = \csc^2 x.

Weerleggen

Eén hoek waarvoor de twee leden verschillende waarden geven (een tegenvoorbeeld) is genoeg om te laten zien dat een bewering geen identiteit is. Een paar hoeken numeriek controleren is een goede test, maar vervangt nooit een bewijs.

Probeer het meteen

Welke bewering is een identiteit (waar voor elke toegestane hoek xx)?

Uitgewerkte voorbeelden

Bewijs dat tan⁡xcos⁡x=sin⁡x\tan x \cos x = \sin x.
1

Kies het lid waaraan je werkt

Het linkerlid heeft twee functies, het rechterlid maar één. Begin links. → tan⁡xcos⁡x\tan x \cos x
2

Gebruik de quotiëntidentiteit

Vervang tan⁡x\tan x door sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} → sin⁡xcos⁡x⋅cos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x
3

Deel de gemeenschappelijke factor weg

cos⁡x\cos x in teller en noemer valt weg (als cos⁡x≠0\cos x \neq 0) → sin⁡x\sin x
4

Vergelijk met het rechterlid

Het linkerlid ziet er nu precies uit als het rechterlid → sin⁡x=sin⁡x\sin x = \sin x ✓

Veelgemaakte fouten

Aan beide leden werken zoals bij een vergelijking, bijvoorbeeld kruislings vermenigvuldigen in sin⁡x1−cos⁡x=1+cos⁡xsin⁡x\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \cos x}{\sin x} om sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x te krijgen

Waarom het fout is: Kruislings vermenigvuldigen, termen naar de andere kant brengen of beide leden delen gaan allemaal uit van de bewering dat de twee leden gelijk zijn, en dat is precies wat je wilt aantonen.

Correct: Herschrijf één lid tot het het andere lid wordt. Het isgelijkteken blijft tot het allerlaatst onaangeroerd.

Eén of twee hoeken controleren en de identiteit als bewezen beschouwen

Waarom het fout is: sin⁡x+cos⁡x=1\sin x + \cos x = 1 klopt bij 0°0° en 90°90°, maar niet bij 45°45°. Een paar ware voorbeelden bewijzen nooit dat iets voor elke hoek geldt.

Correct: Gebruik getallen alleen om te testen of te weerleggen. Een bewijs vraagt algebra met identiteiten die voor alle xx gelden.

Een breuk splitsen bij de noemer: sin⁡x1−cos⁡x=sin⁡x1−sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{\sin x}{1} - \frac{\sin x}{\cos x}

Waarom het fout is: Een som in de teller mag je splitsen, a+bc=ac+bc\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}, maar een som in de noemer nooit. Bij x=60°x = 60° is het linkerlid 1,7321{,}732 en het rechterlid −0,866-0{,}866.

Correct: Om 1−cos⁡x1 - \cos x uit een noemer te krijgen, vermenigvuldig je teller en noemer met de geconjugeerde 1+cos⁡x1 + \cos x.

(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=1−cos⁡x(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos x of 1+cos⁡2x1 + \cos^2 x schrijven

Waarom het fout is: Het product van geconjugeerden is een verschil van twee kwadraten: beide termen worden gekwadrateerd en het teken is min.

Correct: (1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=1−cos⁡2x=sin⁡2x(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 1 - \cos^2 x = \sin^2 x

Interactieve visualisatie

Bewijs

(1+tan⁡2x)cos⁡2x=1(1 + \tan^2 x)\cos^2 x = 1

  1. Begin met de linkerkant

    (1+tan⁡2x)cos⁡2x(1 + \tan^2 x)\cos^2 x

Welke uitdrukking komt hierna?

Controleer met getallen

Linkerkant

(1+tan⁡2x)cos⁡2x(1 + \tan^2 x)\cos^2 x

= 1

Rechterkant

11

= 1

Beide kanten hebben dezelfde waarde.

Grafiek van de functie

-300-200-1000100200300-2-1012xy(45; 1,41)

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

  • (sin a + cos a)² = 2
  • 1 + 2 sin a cos a = 2
  • sin a + cos a (gelijk aan 1?) = 1,41

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Interactieve sandbox

Interactieve grafiek

-300-200-1000100200300-3-2-10123xy

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

Probeer deze voorbeelden:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven
Opgave 1 van 18
Makkelijk
Welke bewering is een identiteit (waar voor elke toegestane hoek xx)?

Waarom het belangrijk is

Identiteiten bewijzen traint de nuttigste vaardigheid uit de algebra: een uitdrukking in een slimmere vorm schrijven zonder de waarde te veranderen.
  • Analyse: integralen zoals ∫sin⁡2x dx\int \sin^2 x\,dx of ∫sec⁡x dx\int \sec x\,dx zijn pas op te lossen nadat een identiteit ze herschreven heeft.
  • Natuurkunde en techniek: formules voor golven en signalen worden met identiteiten vereenvoudigd voordat er iets berekend wordt.
  • Computergraphics: draaiingen behouden lengtes omdat cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.
  • Logisch denken: een bewijs is een keten van onderbouwde stappen, hetzelfde soort denken als bij programmeren en in elke latere wiskundecursus.
  • Antwoorden controleren: als je weet dat twee verschillend uitziende antwoorden dezelfde identiteit zijn, denk je niet ten onrechte dat een van beide fout is.

Toepassingen in de echte wereld

Hoe computeralgebra identiteiten test

Wiskundesoftware controleert of twee formules gelijk zijn door veel willekeurige hoeken in te vullen voordat ze een volledig symbolisch bewijs probeert. Geeft ook maar één hoek verschillende waarden, dan zijn de formules verschillend.

Voorbeeld:

Om sec⁡x−cos⁡x\sec x - \cos x en sin⁡xtan⁡x\sin x \tan x te vergelijken, berekent een programma beide bij hoeken zoals 17°17°, 60°60° en 133°133° en vindt telkens dezelfde waarden.

1Probeer het zelf

Een programma test de identiteit sec⁡x−cos⁡x=sin⁡xtan⁡x\sec x - \cos x = \sin x \tan x bij x=60°x = 60°, waarbij cos⁡60°=12\cos 60° = \frac{1}{2}, sec⁡60°=2\sec 60° = 2, sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} en tan⁡60°=3\tan 60° = \sqrt{3}.

Welke waarde geven beide leden bij x=60°x = 60°?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Bereken het linkerlid sec⁡60°−cos⁡60°\sec 60° - \cos 60°:

Natuurkunde: een formule voor een helling vereenvoudigen

Natuurkundige formules komen vaak in een omslachtige vorm uit een berekening. Een identiteit maakt er een kortere vorm van, die sneller te berekenen en makkelijker te begrijpen is.

Voorbeeld:

Een kracht op een helling kwam uit als F=Gsin⁡θtan⁡θF = \dfrac{G\sin\theta}{\tan\theta}. Omdat sin⁡θtan⁡θ=sin⁡θ⋅cos⁡θsin⁡θ=cos⁡θ\frac{\sin\theta}{\tan\theta} = \sin\theta \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cos\theta, is de formule gewoon F=Gcos⁡θF = G\cos\theta.

2Probeer het zelf

Een kist met gewicht G=200G = 200 N ligt op een helling met hoek θ=60°\theta = 60°. De kracht is F=Gsin⁡θtan⁡θ=Gcos⁡θF = \dfrac{G\sin\theta}{\tan\theta} = G\cos\theta.

Hoe groot is de kracht FF in newton?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik de vereenvoudigde formule F=Gcos⁡θF = G\cos\theta:

Computergraphics: draaiingen behouden lengtes

Games draaien punten met $x' = x\cos\theta - y\sin\theta$ en $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$. Door $x'^2 + y'^2$ uit te werken en $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ te gebruiken, bewijs je dat $x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2$ voor elke hoek, dus objecten vervormen nooit.

Voorbeeld:

Het punt (3,4)(3, 4) blijft na een draaiing over 30°30°, 90°90° of 217°217° altijd op afstand 5 van de oorsprong.

3Probeer het zelf

Een game draait het punt (3,4)(3, 4) over een hoek θ\theta om de oorsprong. De identiteit x′2+y′2=x2+y2x'^2 + y'^2 = x^2 + y^2 geldt voor elke θ\theta.

Hoe ver ligt het gedraaide punt van de oorsprong?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Gebruik x2+y2\sqrt{x^2 + y^2} met het oorspronkelijke punt:

Belangrijke punten

  • 1Een identiteit is waar voor elke toegestane hoek; een vergelijking alleen voor sommige hoeken
  • 2Je bewijst een identiteit door één lid stap voor stap te herschrijven tot het gelijk is aan het andere lid
  • 3Breng nooit termen over het isgelijkteken en voer nooit dezelfde bewerking op beide leden uit
  • 4Begin bij het ingewikkeldste lid en zet alles om naar sin⁡\sin en cos⁡\cos
  • 5Voeg breuken samen, ontbind in factoren, vermenigvuldig met de geconjugeerde en gebruik sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1
  • 6Eén tegenvoorbeeld weerlegt een bewering; numerieke controles testen een identiteit maar bewijzen haar niet

Veelgestelde vragen

Dezelfde bewerking op beide leden gaat ervan uit dat de leden gelijk zijn, en dat wil je juist bewijzen. Sommige van die bewerkingen (kwadrateren, vermenigvuldigen met een uitdrukking die 0 kan zijn) kunnen zelfs een onjuiste bewering waar maken. Door aan één lid te werken voorkom je dat.
Dezelfde bewerking op beide leden gaat ervan uit dat de leden gelijk zijn, en dat wil je juist bewijzen. Sommige van die bewerkingen (kwadrateren, vermenigvuldigen met een uitdrukking die 0 kan zijn) kunnen zelfs een onjuiste bewering waar maken. Door aan één lid te werken voorkom je dat.
Meestal bij het ingewikkeldste: het lid met meer termen, breuken of functies zoals sec⁡\sec, csc⁡\csc, tan⁡\tan, cot⁡\cot. Vereenvoudigen is makkelijker dan complicaties verzinnen.
Probeer een ander gereedschap: omzetten naar sin⁡\sin en cos⁡\cos, breuken samenvoegen, ontbinden in factoren of vermenigvuldigen met een geconjugeerde. Je mag ook beide leden apart vereenvoudigen tot ze dezelfde uitdrukking bereiken, zolang elk lid op zichzelf herschreven wordt.
Nee. Als de grafieken van beide leden overal samenvallen, is de identiteit zeer waarschijnlijk waar, en als ze niet samenvallen, is ze onjuist. Maar een plaatje toont alleen een beperkt venster, dus een bewijs heeft toch algebraïsche stappen nodig.

Woordenlijst

Identiteit
Een gelijkheid die waar is voor elke waarde van de variabele waarvoor beide leden gedefinieerd zijn, bijvoorbeeld sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1
Linkerlid / rechterlid
De uitdrukkingen links en rechts van het isgelijkteken
Geconjugeerde
De geconjugeerde van a−ba - b is a+ba + b (en omgekeerd); hun product is a2−b2a^2 - b^2
Gemeenschappelijke noemer
Een noemer die meerdere breuken delen, zodat je ze tot één breuk kunt samenvoegen
Tegenvoorbeeld
Eén waarde waarvoor een beweerde identiteit onjuist is; dat is genoeg om de bewering te weerleggen

Formulekaart

Reciproke identiteiten

sec⁡x=1cos⁡x, csc⁡x=1sin⁡x, cot⁡x=1tan⁡x\sec x = \frac{1}{\cos x},\ \csc x = \frac{1}{\sin x},\ \cot x = \frac{1}{\tan x}

Hiermee zet je secans, cosecans en cotangens om naar sinus en cosinus

Quotiëntidentiteiten

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x, cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

Maken van tangens en cotangens breuken van sinus en cosinus

Pythagorische identiteiten

sin⁡2x+cos⁡2x=1, 1+tan⁡2x=sec⁡2x, 1+cot⁡2x=csc⁡2x\sin^2 x + \cos^2 x = 1,\ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x,\ 1 + \cot^2 x = \csc^2 x

Vervangen een som of verschil van kwadraten door één term

Producten van geconjugeerden

(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=sin⁡2x, (1−sin⁡x)(1+sin⁡x)=cos⁡2x(1 - \cos x)(1 + \cos x) = \sin^2 x,\ (1 - \sin x)(1 + \sin x) = \cos^2 x

De reden waarom vermenigvuldigen met de geconjugeerde werkt

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Reciproke identiteiten

Gevorderd25 min

Pythagorische identiteiten

Gevorderd25 min

Even en oneven goniometrische identiteiten

Gevorderd25 min

Cofunctie-identiteiten

Gevorderd25 min