Tangens en cotangens uit sinus en cosinus

Voor een hoek $\theta$ weten we dat $\sin\theta = \frac{3}{5}$ en $\cos\theta = \frac{4}{5}$. Bereken $\tan\theta$ en $\cot\theta$.

Schrijf de quotiëntidentiteit voor de tangens op: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5}$ = De twee breuken delen

Deel (de vijfden vallen weg): $\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$ = $\tan\theta = \frac{3}{4}$

Gebruik de quotiëntidentiteit voor de cotangens: $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ = $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Controleer met de reciproke identiteit: $\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1$ = Klopt

Answer: $\tan\theta = \frac{3}{4}$ en $\cot\theta = \frac{4}{3}$

Exacte waarden bij 60°

Gebruik $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ en $\cos 60° = \frac{1}{2}$ om de exacte waarden van $\tan 60°$ en $\cot 60°$ te vinden.

Tangens is sinus gedeeld door cosinus: $\tan 60° = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2}$ = Boven en onder dezelfde noemer 2

Laat de helften wegvallen: $\frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}$ = $\tan 60° = \sqrt{3}$

Cotangens is cosinus gedeeld door sinus: $\cot 60° = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\cot 60° = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Maak de noemer wortelvrij: $\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\cot 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$

Answer: $\tan 60° = \sqrt{3} \approx 1{,}732$ en $\cot 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577$

Herschrijven in sinussen en cosinussen

Vereenvoudig $\cot\theta \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta$.

Vervang $\cot\theta$ met de quotiëntidentiteit: $\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta$ = Alleen $\sec\theta$ moet nog herschreven worden

Vervang $\sec\theta$ met de reciproke identiteit: $\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \cdot \sin\theta \cdot \frac{1}{\cos\theta}$ = Alles staat in $\sin$ en $\cos$

Schrijf het als één breuk: $\frac{\cos\theta \cdot \sin\theta}{\sin\theta \cdot \cos\theta}$ = Teller en noemer hebben dezelfde factoren

Wegdelen: $\frac{\cos\theta \sin\theta}{\sin\theta \cos\theta} = 1$ = $1$ (als $\sin\theta \neq 0$ en $\cos\theta \neq 0$)

Answer: $\cot\theta \cdot \sin\theta \cdot \sec\theta = 1$

Een korte vereenvoudiging

Vereenvoudig $\frac{\tan\theta}{\sin\theta}$.

Vervang $\tan\theta$: $\frac{\tan\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta / \cos\theta}{\sin\theta}$ = Een breuk gedeeld door $\sin\theta$

Delen door $\sin\theta$ is vermenigvuldigen met $\frac{1}{\sin\theta}$: $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot \frac{1}{\sin\theta}$ = $\sin\theta$ staat boven en onder

Deel $\sin\theta$ weg: $\frac{1}{\cos\theta}$ = $\frac{1}{\cos\theta}$

Geef het een naam met een reciproke identiteit: $\frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta$ = $\sec\theta$

Answer: $\frac{\tan\theta}{\sin\theta} = \sec\theta$ (als $\sin\theta \neq 0$, $\cos\theta \neq 0$)

Een hoek in kwadrant III

De hoek $\theta$ ligt in kwadrant III en $\sin\theta = -\frac{5}{13}$. Bereken $\tan\theta$ en $\cot\theta$.

Bereken $\cos^2\theta$ met de Pythagorische identiteit: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ = $\cos\theta = \pm\frac{12}{13}$

Kies het teken: in kwadrant III is $x < 0$: $\cos\theta < 0$ = $\cos\theta = -\frac{12}{13}$

Quotiëntidentiteit voor de tangens: $\tan\theta = \frac{-5/13}{-12/13} = \frac{5}{12}$ = $\tan\theta = \frac{5}{12}$ (positief, zoals in kwadrant III)

Quotiëntidentiteit voor de cotangens: $\cot\theta = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}$ = $\cot\theta = \frac{12}{5}$

Answer: $\tan\theta = \frac{5}{12}$ en $\cot\theta = \frac{12}{5}$

Mistake: $\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ schrijven

Why: De breuk staat op zijn kop: dat is de cotangens. Op de eenheidscirkel is de tangens de richtingscoëfficiënt $\frac{y}{x}$, en $y = \sin\theta$.

Correct: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (sinus boven, zoals $y$ gedeeld door $x$) en $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Mistake: Zeggen dat $\tan 90° = 0$ of $\cot 0° = 0$

Why: Bij $90°$ is de cosinus $0$, en door $0$ kun je niet delen. Bij $0°$ is de sinus $0$, dus de cotangens heeft een noemer nul.

Correct: $\tan 90° = \frac{1}{0}$ is niet gedefinieerd, en $\cot 0° = \frac{1}{0}$ is niet gedefinieerd. De grafiek van $\tan$ heeft daar verticale asymptoten.

Mistake: Twee hoeken door elkaar halen: $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20°$ of $\tan 40°$

Why: De identiteit werkt alleen als sinus en cosinus **dezelfde** hoek hebben.

Correct: $\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°$, maar $\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684$ is noch $\tan 20° \approx 0{,}364$ noch $\tan 40° \approx 0{,}839$.

Mistake: Het teken kwijtraken in kwadrant II, III en IV

Why: Vaak wordt de positieve wortel genomen voor $\cos\theta$ of $\sin\theta$, en dan krijg je overal $\tan\theta > 0$.

Correct: Haal eerst de tekens uit het kwadrant: in kwadrant II is $\sin > 0$ en $\cos < 0$, dus $\tan\theta < 0$; in kwadrant III zijn ze allebei negatief, dus $\tan\theta > 0$.

Skipistes en hellingen van wegen

De helling van een berg (hoogteverschil gedeeld door horizontale afstand) is de tangens van de hellingshoek. Een sensor in je telefoon meet sinus en cosinus van de kanteling, en de app deelt ze.

Een helling met $\sin\theta = 0{,}6$ en $\cos\theta = 0{,}8$ heeft $\tan\theta = 0{,}75$: hij daalt $75$ m per $100$ m horizontale afstand.

Wrijving op een helling

Een kist op een helling blijft liggen zolang de wrijvingscoëfficiënt $\mu$ minstens $\tan\theta$ is. Ingenieurs bepalen hiermee hoe steil transportbanden en laadhellingen mogen zijn.

Op een helling met $\tan\theta = 0{,}5$ blijft een kist met $\mu = 0{,}6$ liggen, maar een kist met $\mu = 0{,}4$ glijdt weg.

Schaduwlengtes

Als de zon onder een hoogtehoek $\theta$ staat, werpt een paal met hoogte $h$ een schaduw met lengte $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Architecten gebruiken dit om schaduw en zonlicht te plannen.

Met de zon op $45°$ is $\cot 45° = 1$, dus elk voorwerp werpt een schaduw die even lang is als het hoog is.

Q: Waarom heten ze quotiëntidentiteiten?

A: Een quotiënt is de uitkomst van een deling. Deze identiteiten schrijven $\tan$ en $\cot$ als de ene functie gedeeld door de andere: $\sin\theta \div \cos\theta$ en $\cos\theta \div \sin\theta$.

Q: Is $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ een quotiëntidentiteit of een reciproke identiteit?

A: Beide kijkwijzen komen op hetzelfde uit. De reciproke identiteit zegt $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$; vervang je $\tan\theta$ door $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ en keer je de breuk om, dan krijg je de quotiëntvorm $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. De quotiëntvorm werkt zelfs bij $90°$, waar $\tan$ niet gedefinieerd is maar $\cot 90° = \frac{0}{1} = 0$.

Q: Waarom hebben $y = \tan x$ en $y = \frac{\sin x}{\cos x}$ dezelfde grafiek?

A: Omdat het dezelfde functie is. Allebei hebben ze verticale asymptoten waar $\cos x = 0$ ($x = \pm 90°, \pm 270°, ...$) en nulpunten waar $\sin x = 0$. Zet de twee krommen in de grafiek hierboven aan en uit: ze liggen precies op elkaar.

Q: Kan ik een quotiëntidentiteit controleren met de rekenmachine?

A: Ja. Typ in graden $\sin(40) / \cos(40)$ en $\tan(40)$: allebei geven ongeveer $0{,}8391$. Een controle met getallen bij een paar hoeken is een goede test, maar alleen een algebraïsche redenering bewijst een identiteit voor alle hoeken.