Quotiëntidentiteiten

Leer waarom de tangens gelijk is aan sinus gedeeld door cosinus en de cotangens aan cosinus gedeeld door sinus, waar ze gedefinieerd zijn en hoe je ermee vereenvoudigt.

Gevorderd25 minLes
Werkblad om te printen

Definitie

De quotiëntidentiteiten schrijven tangens en cotangens als een quotiënt (een deling) van sinus en cosinus van dezelfde hoek:
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ(cos⁡θ≠0)\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)
cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ(sin⁡θ≠0)\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \qquad (\sin\theta \neq 0)

Waar ze vandaan komen: de rechthoekige driehoek

Voor een scherpe hoek θ\theta in een rechthoekige driehoek geldt sin⁡θ=overstaandschuin\sin\theta = \frac{\text{overstaand}}{\text{schuin}} en cos⁡θ=aanliggendschuin\cos\theta = \frac{\text{aanliggend}}{\text{schuin}}. Deel je ze door elkaar, dan valt de schuine zijde weg:
sin⁡θcos⁡θ=overstaand/schuinaanliggend/schuin=overstaandaanliggend=tan⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{overstaand}/\text{schuin}}{\text{aanliggend}/\text{schuin}} = \frac{\text{overstaand}}{\text{aanliggend}} = \tan\theta

Waar ze vandaan komen: de eenheidscirkel

De hoek θ\theta snijdt de eenheidscirkel in het punt P=(cos⁡θ,sin⁡θ)P = (\cos\theta, \sin\theta). De richtingscoëfficiënt van de straal OPOP is yx=sin⁡θcos⁡θ\frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, en die richtingscoëfficiënt is tan⁡θ\tan\theta. Dit werkt voor elke hoek, niet alleen voor scherpe hoeken, dus de tekens kloppen in alle vier de kwadranten.

Waar ze gedefinieerd zijn

  • tan⁡θ\tan\theta is niet gedefinieerd als cos⁡θ=0\cos\theta = 0: bij 90°90°, 270°270°, ... (dus θ=90°+k⋅180°\theta = 90° + k \cdot 180°).
  • cot⁡θ\cot\theta is niet gedefinieerd als sin⁡θ=0\sin\theta = 0: bij 0°0°, 180°180°, 360°360°, ... (dus θ=k⋅180°\theta = k \cdot 180°).

Verband met de reciproke identiteiten

Volgens de reciproke identiteiten is cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}. Als je sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} omkeert, krijg je cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, dus beide kijkwijzen kloppen met elkaar, en tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 overal waar beide gedefinieerd zijn.

Probeer het meteen

Welke uitdrukking is gelijk aan tan⁡θ\tan\theta?

Uitgewerkte voorbeelden

Voor een hoek θ\theta weten we dat sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5} en cos⁡θ=45\cos\theta = \frac{4}{5}. Bereken tan⁡θ\tan\theta en cot⁡θ\cot\theta.
1

Schrijf de quotiëntidentiteit voor de tangens op

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=3/54/5\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3/5}{4/5} → De twee breuken delen
2

Deel (de vijfden vallen weg)

3/54/5=35⋅54=34\frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4} → tan⁡θ=34\tan\theta = \frac{3}{4}
3

Gebruik de quotiëntidentiteit voor de cotangens

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=4/53/5=43\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3} → cot⁡θ=43\cot\theta = \frac{4}{3}
4

Controleer met de reciproke identiteit

tan⁡θ⋅cot⁡θ=34⋅43=1\tan\theta \cdot \cot\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1 → Klopt

Veelgemaakte fouten

tan⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\tan\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} schrijven

Waarom het fout is: De breuk staat op zijn kop: dat is de cotangens. Op de eenheidscirkel is de tangens de richtingscoëfficiënt yx\frac{y}{x}, en y=sin⁡θy = \sin\theta.

Correct: tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} (sinus boven, zoals yy gedeeld door xx) en cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Zeggen dat tan⁡90°=0\tan 90° = 0 of cot⁡0°=0\cot 0° = 0

Waarom het fout is: Bij 90°90° is de cosinus 00, en door 00 kun je niet delen. Bij 0°0° is de sinus 00, dus de cotangens heeft een noemer nul.

Correct: tan⁡90°=10\tan 90° = \frac{1}{0} is niet gedefinieerd, en cot⁡0°=10\cot 0° = \frac{1}{0} is niet gedefinieerd. De grafiek van tan⁡\tan heeft daar verticale asymptoten.

Twee hoeken door elkaar halen: sin⁡40°cos⁡20°=tan⁡20°\frac{\sin 40°}{\cos 20°} = \tan 20° of tan⁡40°\tan 40°

Waarom het fout is: De identiteit werkt alleen als sinus en cosinus dezelfde hoek hebben.

Correct: sin⁡40°cos⁡40°=tan⁡40°\frac{\sin 40°}{\cos 40°} = \tan 40°, maar sin⁡40°cos⁡20°≈0,684\frac{\sin 40°}{\cos 20°} \approx 0{,}684 is noch tan⁡20°≈0,364\tan 20° \approx 0{,}364 noch tan⁡40°≈0,839\tan 40° \approx 0{,}839.

Het teken kwijtraken in kwadrant II, III en IV

Waarom het fout is: Vaak wordt de positieve wortel genomen voor cos⁡θ\cos\theta of sin⁡θ\sin\theta, en dan krijg je overal tan⁡θ>0\tan\theta > 0.

Correct: Haal eerst de tekens uit het kwadrant: in kwadrant II is sin⁡>0\sin > 0 en cos⁡<0\cos < 0, dus tan⁡θ<0\tan\theta < 0; in kwadrant III zijn ze allebei negatief, dus tan⁡θ>0\tan\theta > 0.

Interactieve visualisatie

Bewijs

tan⁡θcos⁡θ=sin⁡θ\tan\theta \cos\theta = \sin\theta

  1. Begin met de linkerkant

    tan⁡θcos⁡θ\tan\theta \cos\theta

Controleer met getallen

Linkerkant

tan⁡θcos⁡θ\tan\theta \cos\theta

= 0,5

Rechterkant

sin⁡θ\sin\theta

= 0,5

Beide kanten hebben dezelfde waarde.

Grafiek van de functie

-300-200-1000100200300-4-2024xyx = -270x = -90x = 90x = 270x = -270x = -90x = 90x = 270

Tik op de grafiek of beweeg er met de muis over om waarden af te lezen.

  • sin(a) = 0,5
  • cos(a) = 0,87
  • sin(a)/cos(a) = 0,58
  • tan(a) = 0,58
  • cos(a)/sin(a) = 1,73
  • cot(a) = 1,73

Tik op een naam om de grafiek te tonen of te verbergen.

Asymptoot

Eenheidscirkel

Graden

0°

Radialen

0

sin(θ)

0

cos(θ)

1

tan(θ)

0

Coordinaten (cos, sin)

(1, 0)

Klik en sleep om de hoek rond de eenheidscirkel te draaien.

Interactieve sandbox

Expressiecalculator

Probeer deze:

Geschiedenis

Nog geen berekeningen

Oefenproblemen

18 opgaven
Opgave 1 van 18
Makkelijk
Welke uitdrukking is gelijk aan tan⁡θ\tan\theta?

Waarom het belangrijk is

De quotiëntidentiteiten zijn de brug waarmee je elke goniometrische uitdrukking omzet in sinussen en cosinussen:
  • Vereenvoudigen: tan⁡\tan en cot⁡\cot schrijven als breuken van sin⁡\sin en cos⁡\cos is de eerste stap van bijna elke vereenvoudiging en elk bewijs dat verderop in dit onderwerp komt
  • Exacte waarden: als je sin⁡θ\sin\theta en cos⁡θ\cos\theta kent (van de eenheidscirkel of uit een driehoek), krijg je tan⁡θ\tan\theta en cot⁡θ\cot\theta met één deling
  • Hellingen en hoeken: de helling van een lijn, een weg of een oprit is de tangens van de hellingshoek
  • Natuurkunde: een voorwerp op een hellend vlak begint te glijden als de wrijvingscoëfficiënt kleiner is dan tan⁡θ\tan\theta, en schaduwlengtes gebruiken cot⁡θ\cot\theta
  • Analyse: de afgeleide van tan⁡x\tan x vind je door hem te schrijven als sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x} en de quotiëntregel te gebruiken

Toepassingen in de echte wereld

Skipistes en hellingen van wegen

De helling van een berg (hoogteverschil gedeeld door horizontale afstand) is de tangens van de hellingshoek. Een sensor in je telefoon meet sinus en cosinus van de kanteling, en de app deelt ze.

Voorbeeld:

Een helling met sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 en cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8 heeft tan⁡θ=0,75\tan\theta = 0{,}75: hij daalt 7575 m per 100100 m horizontale afstand.

1Probeer het zelf

Een hellingsensor op een skipiste meet sin⁡θ=0,6\sin\theta = 0{,}6 en cos⁡θ=0,8\cos\theta = 0{,}8. De afdaling beslaat 200200 m horizontale afstand.

Hoeveel meter hoogteverschil heeft de afdaling?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Hoogteverschil = tan⁡θ×\tan\theta \times horizontale afstand:

Wrijving op een helling

Een kist op een helling blijft liggen zolang de wrijvingscoëfficiënt $\mu$ minstens $\tan\theta$ is. Ingenieurs bepalen hiermee hoe steil transportbanden en laadhellingen mogen zijn.

Voorbeeld:

Op een helling met tan⁡θ=0,5\tan\theta = 0{,}5 blijft een kist met μ=0,6\mu = 0{,}6 liggen, maar een kist met μ=0,4\mu = 0{,}4 glijdt weg.

2Probeer het zelf

Een laadhelling heeft sin⁡θ=941\sin\theta = \frac{9}{41} en cos⁡θ=4041\cos\theta = \frac{40}{41}. Een plastic kist erop heeft wrijvingscoëfficiënt μ=0,2\mu = 0{,}2.

Wat is de kleinste wrijvingscoëfficiënt waarbij een kist op deze helling blijft liggen?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Kleinste μ\mu = tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}:

Schaduwlengtes

Als de zon onder een hoogtehoek $\theta$ staat, werpt een paal met hoogte $h$ een schaduw met lengte $h \cot\theta = h \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$. Architecten gebruiken dit om schaduw en zonlicht te plannen.

Voorbeeld:

Met de zon op 45°45° is cot⁡45°=1\cot 45° = 1, dus elk voorwerp werpt een schaduw die even lang is als het hoog is.

3Probeer het zelf

's Middags geldt voor de hoogtehoek van de zon sin⁡θ=0,96\sin\theta = 0{,}96 en cos⁡θ=0,28\cos\theta = 0{,}28. Een vlaggenmast is 1212 m hoog.

Hoe lang is de schaduw van de vlaggenmast, in meter?

Stap 1: Schrijf de wiskundige uitdrukking

Schaduw = 12⋅cos⁡θsin⁡θ12 \cdot \frac{\cos\theta}{\sin\theta}:

Belangrijke punten

  • 1tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} en cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}, altijd voor dezelfde hoek θ\theta
  • 2In een rechthoekige driehoek valt de schuine zijde weg: sin⁡θcos⁡θ=overstaandaanliggend\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{overstaand}}{\text{aanliggend}}
  • 3Op de eenheidscirkel is tan⁡θ\tan\theta de richtingscoëfficiënt yx\frac{y}{x} van de straal naar (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta), dus het werkt in elk kwadrant
  • 4tan⁡θ\tan\theta is niet gedefinieerd waar cos⁡θ=0\cos\theta = 0 (90°90°, 270°270°, ...); cot⁡θ\cot\theta is niet gedefinieerd waar sin⁡θ=0\sin\theta = 0 (0°0°, 180°180°, ...)
  • 5tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 overal waar beide gedefinieerd zijn
  • 6Om te vereenvoudigen herschrijf je eerst alles in sin⁡\sin en cos⁡\cos en deel je daarna gemeenschappelijke factoren weg

Veelgestelde vragen

Een quotiënt is de uitkomst van een deling. Deze identiteiten schrijven tan⁡\tan en cot⁡\cot als de ene functie gedeeld door de andere: sin⁡θ÷cos⁡θ\sin\theta \div \cos\theta en cos⁡θ÷sin⁡θ\cos\theta \div \sin\theta.
Een quotiënt is de uitkomst van een deling. Deze identiteiten schrijven tan⁡\tan en cot⁡\cot als de ene functie gedeeld door de andere: sin⁡θ÷cos⁡θ\sin\theta \div \cos\theta en cos⁡θ÷sin⁡θ\cos\theta \div \sin\theta.
Beide kijkwijzen komen op hetzelfde uit. De reciproke identiteit zegt cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}; vervang je tan⁡θ\tan\theta door sin⁡θcos⁡θ\frac{\sin\theta}{\cos\theta} en keer je de breuk om, dan krijg je de quotiëntvorm cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}. De quotiëntvorm werkt zelfs bij 90°90°, waar tan⁡\tan niet gedefinieerd is maar cot⁡90°=01=0\cot 90° = \frac{0}{1} = 0.
Omdat het dezelfde functie is. Allebei hebben ze verticale asymptoten waar cos⁡x=0\cos x = 0 (x=±90°,±270°,...x = \pm 90°, \pm 270°, ...) en nulpunten waar sin⁡x=0\sin x = 0. Zet de twee krommen in de grafiek hierboven aan en uit: ze liggen precies op elkaar.
Ja. Typ in graden sin⁡(40)/cos⁡(40)\sin(40) / \cos(40) en tan⁡(40)\tan(40): allebei geven ongeveer 0,83910{,}8391. Een controle met getallen bij een paar hoeken is een goede test, maar alleen een algebraïsche redenering bewijst een identiteit voor alle hoeken.

Woordenlijst

Quotiënt
De uitkomst van een deling, bijvoorbeeld ab\frac{a}{b} is het quotiënt van aa en bb
Quotiëntidentiteiten
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} en cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}
Identiteit
Een gelijkheid die waar is voor elke waarde van de variabele waarvoor beide leden gedefinieerd zijn
Cotangens (cot⁡\cot)
De verhouding cos⁡θsin⁡θ\frac{\cos\theta}{\sin\theta}, het omgekeerde van de tangens
Domein
De verzameling hoeken waarvoor een uitdrukking gedefinieerd is; voor tan⁡θ\tan\theta alle hoeken met cos⁡θ≠0\cos\theta \neq 0

Formulekaart

Tangens

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Gedefinieerd als $\cos\theta \neq 0$

Cotangens

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

Gedefinieerd als $\sin\theta \neq 0$

Product

tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1

Waar beide gedefinieerd zijn

Rechthoekige driehoek

tan⁡θ=overstaandaanliggend\tan\theta = \frac{\text{overstaand}}{\text{aanliggend}}

De schuine zijde valt weg in $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Uitdaging van vandaagEén opgave, drie pogingen

Meer over dit onderwerp

Reciproke identiteiten

Gevorderd25 min

Pythagorische identiteiten

Gevorderd25 min

Even en oneven goniometrische identiteiten

Gevorderd25 min

Cofunctie-identiteiten

Gevorderd25 min