Gleichungen mit Brüchen

Lerne, Gleichungen mit Brüchen zu lösen, indem du Nenner eliminierst und Umkehroperationen anwendest.

Mittelstufe25 MinLektion
Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Eine Gleichung mit Brüchen enthält einen oder mehrere Brüche mit Variablen. Um diese Gleichungen zu lösen, eliminieren wir die Nenner, indem wir jeden Term mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) multiplizieren.
Allgemeine Strategie:
  1. 1.Finde das kgV aller Nenner
  2. 2.Multipliziere jeden Term mit dem kgV
  3. 3.Vereinfache (Brüche verschwinden!)
  4. 4.Löse die entstehende Gleichung
  5. 5.Überprüfe deine Antwort
Beispiel:
x2+13=56\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}
kgV von 2, 3 und 6 ist 6. Multipliziere jeden Term mit 6:
6⋅x2+6⋅13=6⋅566 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{1}{3} = 6 \cdot \frac{5}{6}
3x+2=53x + 2 = 5
3x=33x = 3
x=1x = 1

Probier es gleich aus

Was ist der erste Schritt, um x5=4\frac{x}{5} = 4 zu lösen?

Lösungsbeispiele

Löse: x4=3\frac{x}{4} = 3
1

Identifiziere die Operation auf x

xx wird durch 4 geteilt → Division durch 4
2

Wende die Umkehroperation an

Multipliziere beide Seiten mit 4 → 4⋅x4=4⋅34 \cdot \frac{x}{4} = 4 \cdot 3
3

Vereinfache

x=12x = 12
4

Überprüfe

124=3\frac{12}{4} = 3 ✓ → Probe stimmt

Häufige Fehler

Nur einige Terme mit dem kgV multiplizieren

Warum es falsch ist: Beim Eliminieren der Nenner musst du JEDEN Term (einschließlich ganzer Zahlen) mit dem kgV multiplizieren, um die Gleichung ausgeglichen zu halten.

Richtig: In x2+x3=5\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 multiplizierst du ALLE Terme mit 6, auch die 5: 6⋅x2+6⋅x3=6⋅56 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 5 ergibt 3x+2x=303x + 2x = 30, nicht 3x+2x=53x + 2x = 5

Vergessen, nach dem Beseitigen der Brüche auszumultiplizieren

Warum es falsch ist: Wenn du x+14\frac{x + 1}{4} mit 12 multiplizierst, erhältst du 3(x+1)3(x + 1): Die 3 multipliziert den ganzen Zähler, also xx und 11.

Richtig: 12⋅x+14=3(x+1)=3x+312 \cdot \frac{x + 1}{4} = 3(x + 1) = 3x + 3, nicht 3x+13x + 1

Falsches kgV verwenden

Warum es falsch ist: Ein größeres gemeinsames Vielfaches (wie 24 für 4 und 6) funktioniert auch, macht die Zahlen aber größer; eine Zahl, die kein gemeinsames Vielfaches ist, lässt Brüche in der Gleichung übrig.

Richtig: kgV von 4 und 6 ist 12, nicht 24. Finde das KLEINSTE gemeinsame Vielfache, nicht irgendein gemeinsames Vielfaches.

Die Antwort nicht überprüfen

Warum es falsch ist: Beim Beseitigen der Brüche multiplizierst du mehrmals, da passiert leicht ein Fehler. Steht eine Variable im Nenner, kann ein Wert sogar einen Nenner 0 machen (Scheinlösung).

Richtig: Setze deine Antwort immer in die ursprüngliche Gleichung ein, um zu überprüfen, dass sie stimmt.

Interaktive Visualisierung

Gleichungslöser

Löse nach xx:

x4=3\frac{x}{4} = 3
1
x4=3\frac{x}{4} = 3
Beide Seiten mit dem Hauptnenner 44 multiplizierenJetzt gibt es keine Brüche mehr

Tipps:

  • • Was du auf einer Seite machst, mache auch auf der anderen
  • • Operationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig machen
  • • Überprüfe deine Antwort durch Einsetzen

Folge mit, während wir die Gleichung Schritt für Schritt lösen.

Waage

(1/4)x=3
(1/4)x
3
Auf beide Seiten anwenden:

Lösung: x = 12

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

17 Aufgaben
Aufgabe 1 von 17
Einfach
Was ist der erste Schritt, um x5=4\frac{x}{5} = 4 zu lösen?

Warum es wichtig ist

Gleichungen mit Brüchen erscheinen ständig im echten Leben:
  • Kochen: Wenn du ein Rezept für 6 Personen auf 4 Personen umrechnest, nimmst du von jeder Zutat 23\frac{2}{3}. Braucht die kleinere Menge 2 Tassen Mehl, liefert 23x=2\frac{2}{3}x = 2 die ursprüngliche Menge: x=3x = 3 Tassen
  • Finanzen: Berechnen, wie lange du sparen musst, wenn du monatlich 14\frac{1}{4} deines Einkommens zurücklegst
  • Naturwissenschaften: Geschwindigkeitsprobleme wie dt=r\frac{d}{t} = r (Strecke, Zeit, Geschwindigkeit)
  • Bauwesen: Maßstäbe von Bauplänen, wo 150\frac{1}{50} bedeutet, dass x50=12\frac{x}{50} = 12 zu lösen ist
Diese Fähigkeit zu beherrschen öffnet Türen zum Lösen von Proportionen, rationalen Gleichungen und Textaufgaben!

Anwendungen im echten Leben

Rezepte umrechnen

Köche müssen oft Rezepte anpassen, wenn sie für unterschiedliche Personenzahlen kochen.

Beispiel:

Ein Rezept verwendet 34\frac{3}{4} Tasse Mehl für 12 Kekse. Wie viel Mehl für 20 Kekse? Löse 3/412=x20\frac{3/4}{12} = \frac{x}{20}.

1Probiere es selbst

Ein Smoothie-Rezept benötigt 23\frac{2}{3} Tasse Beeren für 2 Portionen. Du möchtest 5 Portionen machen.

Wie viele Tassen Beeren brauchst du?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Stelle die Proportion auf: 2/32=x5\frac{2/3}{2} = \frac{x}{5}

Gemeinsam arbeiten

Wenn zwei Personen zusammenarbeiten, bestimmt ihre gemeinsame Arbeitsleistung pro Stunde, wie schnell sie fertig werden.

Beispiel:

Wenn Maria einen Raum in 4 Stunden streichen kann und Johannes in 6 Stunden, schaffen sie zusammen 14+16\frac{1}{4} + \frac{1}{6} des Raums pro Stunde.

2Probiere es selbst

Rohr A füllt einen Tank in 3 Stunden. Rohr B füllt ihn in 6 Stunden. Welcher Anteil des Tanks wird in 1 Stunde gefüllt, wenn beide Rohre offen sind?

Welcher Bruchteil des Tanks wird pro Stunde gefüllt?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Addiere die Anteile pro Stunde: 13+16\frac{1}{3} + \frac{1}{6}

Geschwindigkeit und Entfernung

Die Formel $d = rt$ (Strecke = Geschwindigkeit mal Zeit) beinhaltet oft Brüche, wenn Zeiten keine ganzen Zahlen sind.

Beispiel:

Wenn du 34\frac{3}{4} Stunde mit 60 km/h fährst, legst du 60×34=4560 \times \frac{3}{4} = 45 km zurück.

3Probiere es selbst

Ein Radfahrer legt 15 km in 23\frac{2}{3} Stunde zurück.

Was ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des Radfahrers in km/h?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Verwende r=dtr = \frac{d}{t}: r=152/3r = \frac{15}{2/3}

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Um Gleichungen mit Brüchen zu lösen, finde das kgV und multipliziere jeden Term, um Nenner zu eliminieren
  • 2Die Kehrwert-Methode funktioniert gut, wenn ein Bruch die Variable multipliziert: multipliziere beide Seiten mit dem Kehrwert
  • 3Multipliziere immer sorgfältig aus, wenn du Brüche mit Ausdrücken im Zähler eliminierst
  • 4Überprüfe deine Antwort, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt

Häufig gestellte Fragen

Durch Multiplizieren mit dem kgV werden alle Nenner auf einmal eliminiert, was die Bruchgleichung in eine einfachere Gleichung mit ganzen Zahlen umwandelt. Das macht das Lösen viel einfacher.
Durch Multiplizieren mit dem kgV werden alle Nenner auf einmal eliminiert, was die Bruchgleichung in eine einfachere Gleichung mit ganzen Zahlen umwandelt. Das macht das Lösen viel einfacher.
Kreuzmultiplikation funktioniert, wenn du eine Proportion hast (ein Bruch gleich einem anderen Bruch). Für Gleichungen mit mehr Termen verwende die kgV-Methode.
Das ist völlig in Ordnung! Viele Gleichungen mit Brüchen haben Bruchlösungen. Überprüfe einfach, indem du den Bruch in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

Glossar

kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)
Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches aller Nenner in einer Gleichung ist
Kehrwert
Der umgekehrte Bruch; der Kehrwert von ab\frac{a}{b} ist ba\frac{b}{a}
Nenner eliminieren
Jeden Term mit dem kgV multiplizieren, um alle Brüche zu beseitigen
Scheinlösung
Eine Lösung, die beim Lösen entsteht, aber die ursprüngliche Gleichung nicht erfüllt

Formelkarte

kgV-Methode

Alle Terme mit kgV multiplizieren

Beseitigt alle Brüche auf einmal

Kehrwert-Methode

Wenn abx=c\frac{a}{b}x = c, dann x=c⋅bax = c \cdot \frac{b}{a}

Multipliziere mit dem Kehrwert des Koeffizienten

Kreuzmultiplikation

Wenn ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, dann ad=bcad = bc

Nur für Proportionen

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

Mehr zu diesem Thema

Einstufige Gleichungen lösen

Mittelstufe25 Min

Literale Gleichungen

Fortgeschritten25 Min

Zweistufige Gleichungen lösen

Mittelstufe30 Min

Mehrstufige Gleichungen lösen

Mittelstufe25 Min