Gleichartige Terme zusammenfassen

Lerne, wie du algebraische Ausdrücke vereinfachst, indem du Terme mit derselben Variablen zusammenfasst.

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Definition

Gleichartige Terme sind Terme, die dieselbe Variable mit demselben Exponenten haben. Nur gleichartige Terme können zusammengefasst werden.
Zum Beispiel:
  • 3x3x und 5x5x sind gleichartig (beide haben xx)
  • 4y24y^2 und −2y2-2y^2 sind gleichartig (beide haben y2y^2)
  • 77 und −3-3 sind gleichartig (beide sind Konstanten)
Um gleichartige Terme zusammenzufassen, addiere oder subtrahiere ihre Koeffizienten und behalte die Variable bei:
3x+5x=8x3x + 5x = 8x
7y−2y=5y7y - 2y = 5y
4a+3b+2a=6a+3b4a + 3b + 2a = 6a + 3b

Probier es gleich aus

Vereinfache: 5x+3x5x + 3x

Lösungsbeispiele

Vereinfache: 4x+7x4x + 7x
1

Gleichartige Terme erkennen

Sowohl 4x4x als auch 7x7x haben dieselbe Variable xx → Gleichartige Terme
2

Koeffizienten addieren

4+7=114 + 7 = 11
3

Variable beibehalten

Schreibe xx hinter die Summe → 11x11x

Häufige Fehler

Variablen addieren: 3x+5x=8x23x + 5x = 8x^2

Warum es falsch ist: Beim Zusammenfassen gleichartiger Terme addieren wir die KOEFFIZIENTEN, nicht die Exponenten. Die Variable bleibt gleich.

Richtig: 3x+5x=8x3x + 5x = 8x (denke: 3 Äpfel + 5 Äpfel = 8 Äpfel)

Ungleichartige Terme zusammenfassen: 3x+4y=7xy3x + 4y = 7xy

Warum es falsch ist: xx und yy sind verschiedene Variablen, daher können 3x3x und 4y4y nicht zusammengefasst werden.

Richtig: 3x+4y3x + 4y ist bereits vereinfacht (das sind ungleichartige Terme)

Vergessen, dass x=1xx = 1x

Warum es falsch ist: Eine Variable ohne Koeffizient hat einen unsichtbaren Koeffizienten von 1.

Richtig: x+5x=1x+5x=6xx + 5x = 1x + 5x = 6x

xx und x2x^2 als gleichartige Terme behandeln

Warum es falsch ist: xx und x2x^2 haben verschiedene Potenzen, daher sind sie NICHT gleichartig.

Richtig: x+x2x + x^2 kann nicht weiter vereinfacht werden

Interaktive Visualisierung

Algebra-Kacheln: gleichartige Terme zusammenfassen

Jede Kachel ist ein Term: große Quadrate sind x², lange Streifen sind x, kleine Quadrate sind 1. Rote Kacheln sind negativ.

5x25x^2
3x3x
2x22x^2
−x-x

5x2+3x+2x2−x5x^2 + 3x + 2x^2 - x

Jeder Term wird zu Kacheln: Der Koeffizient sagt, wie viele.

=x2= x^2=x= x=1= 1negativ

Funktionsgraph

-3-2-10123-20-100102030xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

2x + 5 + 6x - 38x + 2

Wertetabelle

x0123
2x + 5 + 6x - 32101826
8x + 22101826

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

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Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Vereinfache: 5x+3x5x + 3x

Warum es wichtig ist

Das Zusammenfassen gleichartiger Terme ist eine grundlegende Fähigkeit in der Algebra, die du ständig brauchst:
  • Gleichungen vereinfachen: Bevor du 3x+5+2x=203x + 5 + 2x = 20 löst, musst du zu 5x+5=205x + 5 = 20 zusammenfassen
  • Alltagsberechnungen: Gesamtkosten berechnen, z. B. 3 Hefte zu je xx Euro plus 2 weitere Hefte: 3x+2x=5x3x + 2x = 5x
  • Höhere Mathematik: Jeder Algebrakurs, von linearen Gleichungen bis Analysis, erfordert diese Fähigkeit
  • Problemlösung: Macht komplexe Ausdrücke einfacher zu bearbeiten und zu verstehen

Anwendungen im echten Leben

Einkaufen und Budgets

Gleichartige Artikel beim Berechnen der Gesamtkosten zusammenfassen.

Beispiel:

Du kaufst 3 Stifte zu je pp Euro, dann noch 5 Stifte. Gesamtkosten: 3p+5p=8p3p + 5p = 8p Euro.

1Probiere es selbst

Ein Schüler kauft 4 Hefte für je nn Euro, 3 Ordner für je ff Euro, dann noch 2 weitere Hefte und 1 weiteren Ordner.

Schreibe und vereinfache einen Ausdruck für die Gesamtkosten.

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Vereinfache die Summe 4n+3f+2n+f4n + 3f + 2n + f:

Sportstatistiken

Punkte aus verschiedenen Spielen zusammenfassen.

Beispiel:

Ein Basketballspieler erzielt pp Punkte in der ersten Halbzeit und 2p2p Punkte in der zweiten Halbzeit. Gesamt: p+2p=3pp + 2p = 3p Punkte.

2Probiere es selbst

Eine Fußballmannschaft schießt im ersten Spiel gg Tore und im zweiten Spiel 3g3g Tore. In beiden Spielen zusammen kassiert sie 2g2g Gegentore.

Schreibe die Tordifferenz (geschossene Tore minus Gegentore) als vereinfachten Ausdruck.

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Vereinfache g+3g−2gg + 3g - 2g:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Gleichartige Terme haben dieselbe Variable mit demselben Exponenten
  • 2Um gleichartige Terme zusammenzufassen, addiere oder subtrahiere die Koeffizienten
  • 3Konstanten (Zahlen ohne Variablen) sind untereinander gleichartige Terme
  • 4Ungleichartige Terme (verschiedene Variablen oder Potenzen) können nicht zusammengefasst werden
  • 5Eine Variable ohne sichtbaren Koeffizienten hat den Koeffizienten 1 (z. B. x=1xx = 1x)

Häufig gestellte Fragen

Nein! 2x2x und 3y3y haben verschiedene Variablen, daher sind sie ungleichartige Terme und können nicht zusammengefasst werden. 2x+3y2x + 3y ist bereits vollständig vereinfacht.
Nein! 2x2x und 3y3y haben verschiedene Variablen, daher sind sie ungleichartige Terme und können nicht zusammengefasst werden. 2x+3y2x + 3y ist bereits vollständig vereinfacht.
Stell es dir wie beim Zählen von Gegenständen vor: 1 Apfel + 1 Apfel = 2 Äpfel, nicht 1 Apfel-Quadrat. Der Exponent bleibt beim Zusammenfassen gleichartiger Terme gleich.
Der Koeffizient ist −1-1. Wenn keine Zahl vor einer Variablen steht, ist es 1 (oder −1-1, wenn ein Minuszeichen davor steht).

Glossar

Gleichartige Terme
Terme mit derselben Variable und demselben Exponenten (z. B. 3x3x und 5x5x, oder 2y22y^2 und −4y2-4y^2)
Koeffizient
Die Zahl, die mit einer Variable multipliziert wird (z. B. in 7x7x ist der Koeffizient 7)
Konstante
Ein Term ohne Variable (z. B. 5, -3 oder 12)
Term
Eine Zahl, eine Variable oder ein Produkt aus Zahl und Variable (z. B. 55, xx oder 3x23x^2)
Vereinfachen
Einen Ausdruck durch Zusammenfassen gleichartiger Terme reduzieren
Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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