Distributivgesetz

Lerne, wie man eine Zahl oder Variable mit einer Summe oder Differenz in Klammern multipliziert.

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Definition

Das Distributivgesetz (auch Verteilungsgesetz genannt) besagt, dass die Multiplikation einer Zahl mit einer Summe dasselbe ist wie die Multiplikation mit jedem Summanden und anschließende Addition der Produkte.
a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac
Dies funktioniert auch mit Subtraktion:
a(b−c)=ab−aca(b - c) = ab - ac
Kernidee: Die Zahl vor der Klammer wird auf jeden Term in der Klammer "verteilt".

Probier es gleich aus

Welcher Ausdruck ist äquivalent zu 2(3+5)2(3 + 5)?

Lösungsbeispiele

Vereinfache: 4(5+3)4(5 + 3)
1

Bestimme den Faktor vor der Klammer

Die Zahl 44 steht vor der Klammer → Faktor: 44
2

Multipliziere mit jedem Term

4×54 \times 5 und 4×34 \times 3 → 20+1220 + 12
3

Addiere die Produkte

20+12=3220 + 12 = 32

Häufige Fehler

Nur den ersten Term multiplizieren: 3(x+4)=3x+43(x + 4) = 3x + 4

Warum es falsch ist: Der Faktor muss JEDEN Term in der Klammer multiplizieren, nicht nur den ersten.

Richtig: 3(x+4)=3x+123(x + 4) = 3x + 12 (multipliziere 33 sowohl mit xx ALS AUCH mit 44)

Vorzeichen vergessen bei negativem Faktor: −2(x+3)=−2x+3-2(x + 3) = -2x + 3

Warum es falsch ist: Ein negativer Faktor ändert das Vorzeichen JEDES Produkts.

Richtig: −2(x+3)=−2x−6-2(x + 3) = -2x - 6 (negativ mal positiv ergibt negativ)

Fehler bei doppeltem Minus: −4(x−2)=−4x−8-4(x - 2) = -4x - 8

Warum es falsch ist: Negativ mal negativ ergibt positiv, nicht negativ.

Richtig: −4(x−2)=−4x+8-4(x - 2) = -4x + 8 (weil −4×(−2)=+8-4 \times (-2) = +8)

Interaktive Visualisierung

Distributivgesetz mit Zahlen

a Reihen mit (b + c) Quadraten teilen sich in a Reihen mit b und a Reihen mit c: Die Summe bleibt gleich.

4×(5+3)4 \times (5 + 3)

4×(5+3)=4×5+4×34 \times (5 + 3) = 4 \times 5 + 4 \times 3

=20+12=32= 20 + 12 = 32

Flächenmodell: Distributivgesetz

a Reihen von (x + b): Die Fläche ist a·x plus a·b.

3x3x
2121
xx
77
33

Länge × Breite = Fläche

3(x+7)=3x+213(x + 7) = 3x + 21

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

18 Aufgaben
Aufgabe 1 von 18
Einfach
Welcher Ausdruck ist äquivalent zu 2(3+5)2(3 + 5)?

Warum es wichtig ist

Das Distributivgesetz ist eines der wichtigsten Werkzeuge in der Algebra:
  • Terme vereinfachen: Wandle 3(x+4)3(x + 4) in 3x+123x + 12 um
  • Kopfrechnen: Berechne 7×987 \times 98 als 7×100−7×2=700−14=6867 \times 100 - 7 \times 2 = 700 - 14 = 686
  • Faktorisieren: Kehre den Prozess um, um Ausdrücke zu faktorisieren
  • Praktische Anwendungen: Berechne Gesamtkosten beim Kauf mehrerer Artikel zu verschiedenen Preisen
Ohne das Distributivgesetz wären viele algebraische Umformungen unmöglich!

Anwendungen im echten Leben

Einkaufsrechnungen

Das Distributivgesetz hilft bei der Berechnung von Gesamtkosten beim Kauf mehrerer Artikel mit verschiedenen Bestandteilen.

Beispiel:

Du kaufst 3 Menüs, die jeweils einen Burger für 5€ und Pommes für 2€ enthalten. Gesamt: 3(5+2)=3×5+3×2=15+6=213(5 + 2) = 3 \times 5 + 3 \times 2 = 15 + 6 = 21 Euro.

1Probiere es selbst

Du kaufst 4 Geschenktüten. Jede Tüte enthält ein Spielzeug für 8€ und Süßigkeiten für 3€.

Was sind die Gesamtkosten?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe den Ausdruck mit dem Distributivgesetz:

Kopfrechenkniffe

Nutze das Distributivgesetz, um schwierige Berechnungen im Kopf einfacher zu machen.

Beispiel:

Um 6×526 \times 52 zu berechnen, denke an 6(50+2)=300+12=3126(50 + 2) = 300 + 12 = 312.

2Probiere es selbst

Du musst 8×478 \times 47 im Kopf rechnen.

Wie kannst du das aufteilen?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe als 8(50−?)8(50 - ?):

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Das Distributivgesetz: a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac
  • 2Multipliziere den äußeren Faktor mit JEDEM Term in der Klammer
  • 3Funktioniert sowohl mit Addition als auch mit Subtraktion
  • 4Bei negativem Faktor ändern sich alle Vorzeichen
  • 5Nützlich zum Vereinfachen von Ausdrücken und beim Kopfrechnen

Häufig gestellte Fragen

Weil der Faktor vor der Klammer auf jeden Term in der Klammer 'verteilt' (distribuiert) wird. Es ist wie Kekse gleichmäßig an alle verteilen!
Weil der Faktor vor der Klammer auf jeden Term in der Klammer 'verteilt' (distribuiert) wird. Es ist wie Kekse gleichmäßig an alle verteilen!
Ja, sie sind gleich! Multiplikation ist kommutativ, also a(b+c)=(b+c)a=ab+aca(b + c) = (b + c)a = ab + ac.
Auf jeden Fall! Zum Beispiel 2(x+y+z)=2x+2y+2z2(x + y + z) = 2x + 2y + 2z. Verteile auf jeden Term.

Glossar

Distributivgesetz
Eine Regel, die besagt: a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac
Faktor
Eine Zahl oder ein Ausdruck, der einen anderen multipliziert (die Zahl vor der Klammer)
Term
Ein Teil eines Ausdrucks, getrennt durch + oder - Zeichen
Ausmultiplizieren
Klammern entfernen durch Anwendung des Distributivgesetzes
Verteilen
Den äußeren Faktor mit jedem Term in der Klammer multiplizieren

Formelkarte

Distributivgesetz (Addition)

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

Multipliziere den Faktor mit jedem Term, dann addiere

Distributivgesetz (Subtraktion)

a(b−c)=ab−aca(b - c) = ab - ac

Multipliziere den Faktor mit jedem Term, behalte das Minus

Faktor rechts der Klammer

(b+c)a=ba+ca(b + c)a = ba + ca

Der Faktor kann auch rechts stehen

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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