Betragsungleichungen

Lerne, Ungleichungen mit Betragsfunktion zu lösen, indem du den Abstand von Null verstehst.

Fortgeschritten25 MinLektion
Arbeitsblatt zum Drucken

Definition

Eine Betragsungleichung vergleicht den Betrag eines Ausdrucks mit einer Zahl.
Der Betrag ∣x∣|x| gibt den Abstand von xx zu Null auf dem Zahlenstrahl an.

Zwei Haupttypen

Kleiner als (<< oder ≤\leq): Der Ausdruck liegt innerhalb eines bestimmten Abstands von Null.
∣x∣<a⇒−a<x<a|x| < a \Rightarrow -a < x < a
Größer als (>> oder ≥\geq): Der Ausdruck liegt außerhalb eines bestimmten Abstands von Null.
∣x∣>a⇒x<−a oder x>a|x| > a \Rightarrow x < -a \text{ oder } x > a

Wichtige Erkenntnis

  • ∣x∣<3|x| < 3 bedeutet: xx ist weniger als 3 Einheiten von Null entfernt: −3<x<3-3 < x < 3
  • ∣x∣>3|x| > 3 bedeutet: xx ist mehr als 3 Einheiten von Null entfernt: x<−3x < -3 oder x>3x > 3

Probier es gleich aus

Welche zusammengesetzte Ungleichung stellt ∣x∣<5|x| < 5 dar?

Lösungsbeispiele

Löse ∣x−2∣<5|x - 2| < 5
1

Erkenne den Typ

∣x−2∣<5|x - 2| < 5 ist eine "kleiner als" Ungleichung → Ausdruck liegt innerhalb von 5 Einheiten von Null
2

Schreibe als zusammengesetzte Ungleichung

Für ∣A∣<a|A| < a schreibe −a<A<a-a < A < a → −5<x−2<5-5 < x - 2 < 5
3

Löse durch Addition von 2 zu allen Teilen

−5+2<x−2+2<5+2-5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2 → −3<x<7-3 < x < 7
4

Schreibe die Lösungsmenge

Alle Zahlen zwischen −3-3 und 77 → x∈(−3,7)x \in (-3, 7)

Häufige Fehler

∣x∣<3|x| < 3 als x<3x < 3 oder x<−3x < -3 schreiben

Warum es falsch ist: Schüler vergessen, dass "kleiner als" eine UND-Ungleichung erzeugt (zwischen zwei Werten), nicht ein ODER.

Richtig: ∣x∣<3|x| < 3 bedeutet −3<x<3-3 < x < 3 (Werte zwischen −3-3 und 33)

∣x∣>3|x| > 3 als −3<x<3-3 < x < 3 schreiben

Warum es falsch ist: Verwechslung der beiden Fälle. "Größer als" bedeutet, der Wert ist WEIT von Null entfernt, nicht nahe.

Richtig: ∣x∣>3|x| > 3 bedeutet x<−3x < -3 ODER x>3x > 3 (Werte außerhalb des Intervalls)

Vergessen, die Ungleichung umzukehren beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl

Warum es falsch ist: Beim Lösen: Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, kehrt sich die Ungleichungsrichtung um.

Richtig: Beispiel: ∣3−2x∣<5|3 - 2x| < 5 ergibt −5<3−2x<5-5 < 3 - 2x < 5, also −8<−2x<2-8 < -2x < 2. Beim Teilen durch −2-2 drehen sich beide Zeichen um: 4>x>−14 > x > -1, also −1<x<4-1 < x < 4

Nicht prüfen, ob die Ungleichung keine Lösung oder alle reellen Zahlen hat

Warum es falsch ist: Der Betrag ist immer nicht-negativ, daher hat ∣A∣<negativ|A| < \text{negativ} keine Lösung, und ∣A∣>negativ|A| > \text{negativ} ist immer wahr.

Richtig: Prüfe immer: Kann diese Ungleichung überhaupt erfüllt werden?

Interaktive Visualisierung

bis

-1 ≤ x ≤ 5·[-1, 5]

Klicke auf Zahlen, um sie auszuwählen. Passe den Bereich an, um verschiedene Werte zu erkunden.

bis

x < -4 oder x > 3·(−∞, -4) ∪ (3, ∞)

Klicke auf Zahlen, um sie auszuwählen. Passe den Bereich an, um verschiedene Werte zu erkunden.

Interaktiver Sandkasten

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

17 Aufgaben
Aufgabe 1 von 17
Einfach
Welche zusammengesetzte Ungleichung stellt ∣x∣<5|x| < 5 dar?

Warum es wichtig ist

Betragsungleichungen sind in vielen realen Anwendungen wichtig:
  • Qualitätskontrolle: Ein Maschinenteil muss innerhalb von ±0,02\pm 0{,}02 mm der Zielgröße liegen: ∣x−50∣≤0,02|x - 50| \leq 0{,}02
  • Temperaturbereiche: Medikamente müssen innerhalb von 3 Grad von 20 Grad Celsius gelagert werden: ∣T−20∣≤3|T - 20| \leq 3
  • Statistik: Werte innerhalb von 2 Standardabweichungen vom Mittelwert
  • Ingenieurwesen: Toleranzbereiche für Messungen und Spezifikationen
Das Verständnis dieser Ungleichungen hilft dir, akzeptable Bereiche und Fehlergrenzen mathematisch auszudrücken.

Anwendungen im echten Leben

Fertigungstoleranzen

Fabrikmaschinen müssen Teile innerhalb bestimmter Toleranzen produzieren. Eine Schraube muss 10 mm mit einer Toleranz von 0,05 mm haben.

Beispiel:

Die Ungleichung ∣d−10∣≤0,05|d - 10| \leq 0{,}05 bedeutet, der Durchmesser dd muss zwischen 9,95 mm und 10,05 mm liegen.

1Probiere es selbst

Eine Fabrik produziert Stäbe, die 25 cm lang sein müssen, mit einem akzeptablen Fehler von 0,2 cm.

Schreibe und löse die Ungleichung für akzeptable Stablängen.

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Welche Ungleichung beschreibt die akzeptablen Längen LL?

Temperaturkontrolle

Viele Produkte erfordern Lagerung innerhalb bestimmter Temperaturbereiche.

Beispiel:

Impfstoffe müssen bei 4 Grad Celsius gelagert werden mit einer Abweichung von höchstens 2 Grad: ∣T−4∣≤2|T - 4| \leq 2, also 2≤T≤62 \leq T \leq 6 Grad.

2Probiere es selbst

Ein Weinkeller hält die Temperatur bei 13 Grad Celsius. Die Temperatur darf um nicht mehr als 1,5 Grad abweichen.

Was ist der akzeptable Temperaturbereich?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Welche Ungleichung beschreibt die erlaubten Temperaturen TT?

Geschwindigkeitsbegrenzungen und Radar

Polizeiradar hat eine Fehlermarge. Ein Fahrer könnte einen Strafzettel anfechten, wenn die gemessene Geschwindigkeit innerhalb der Fehlermarge liegt.

Beispiel:

Wenn die Radargenauigkeit 3 km/h beträgt und das Limit 50 km/h ist, könnten Geschwindigkeiten zwischen 47 und 53 innerhalb der Fehlermarge liegen: ∣v−50∣≤3|v - 50| \leq 3.

3Probiere es selbst

Ein Blitzer hat eine Fehlermarge von 2 km/h. Ein Fahrer wurde mit 62 km/h in einer 60 km/h Zone erfasst.

Liegt die erfasste Geschwindigkeit innerhalb der Fehlermarge des Limits?

Schritt 1: Wähle die richtige Antwort

Welche Aussage stimmt für diesen Fahrer?

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Der Betrag misst den Abstand von Null, daher ist ∣x∣|x| immer nicht-negativ
  • 2Für ∣A∣<a|A| < a (kleiner als): schreibe −a<A<a-a < A < a (UND-Ungleichung)
  • 3Für ∣A∣>a|A| > a (größer als): schreibe A<−aA < -a ODER A>aA > a (ODER-Ungleichung)
  • 4Vergleich mit negativer Zahl: ∣A∣<negativ|A| < \text{negativ} hat keine Lösung; ∣A∣>negativ|A| > \text{negativ} gilt für alle reellen Zahlen
  • 5Isoliere immer zuerst den Betragsausdruck, bevor du in Fälle aufteilst

Häufig gestellte Fragen

Denke an Abstand: "kleiner als" bedeutet NAH an Null (zwischen zwei Werten = UND). "Größer als" bedeutet WEIT von Null (außerhalb = ODER). Merkhilfe: Kleiner als ergibt ein Stück in der Mitte, größer als zwei Stücke außen.
Denke an Abstand: "kleiner als" bedeutet NAH an Null (zwischen zwei Werten = UND). "Größer als" bedeutet WEIT von Null (außerhalb = ODER). Merkhilfe: Kleiner als ergibt ein Stück in der Mitte, größer als zwei Stücke außen.
Für ∣A∣=a|A| = a erhältst du genau zwei Lösungen: A=aA = a oder A=−aA = -a. Das ist eine Gleichung, keine Ungleichung.
Ja, aber prüfe sorgfältig! Da der Betrag immer nicht-negativ ist: ∣A∣<negativ|A| < \text{negativ} hat keine Lösung, während ∣A∣>negativ|A| > \text{negativ} für alle Werte wahr ist.

Glossar

Betrag
Der Abstand einer Zahl von Null auf dem Zahlenstrahl, immer nicht-negativ. Geschrieben als ∣x∣|x|
Zusammengesetzte Ungleichung
Zwei Ungleichungen, die durch UND oder ODER verbunden sind
Intervallschreibweise
Eine Art, Lösungsmengen mit Klammern zu schreiben: rund (Endpunkt ausgeschlossen) und eckig (Endpunkt eingeschlossen)
Lösungsmenge
Die Menge aller Werte, die eine Ungleichung erfüllen

Formelkarte

Kleiner-als-Fall (oder gleich)

∣A∣<a⇒−a<A<a|A| < a \Rightarrow -a < A < a

Der Ausdruck $A$ liegt innerhalb von $a$ Einheiten von Null

Größer-als-Fall (oder gleich)

∣A∣>a⇒A<−a oder A>a|A| > a \Rightarrow A < -a \text{ oder } A > a

Der Ausdruck $A$ liegt mehr als $a$ Einheiten von Null entfernt

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

Mehr zu diesem Thema

Einführung in Ungleichungen

Mittelstufe20 Min

Ungleichungen lösen und darstellen

Mittelstufe25 Min

Ungleichungen auf dem Zahlenstrahl darstellen

Mittelstufe25 Min

Einstufige Ungleichungen

Mittelstufe25 Min