Betragsungleichungen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welche zusammengesetzte Ungleichung stellt $|x| < 5$ dar?
1. a) $-5 < x < 5$
2. b) $x > -5$
3. c) $x < 5$
4. d) $x < -5$ oder $x > 5$
Lösung: $-5 < x < 5$
$|x| < 5$ bedeutet, dass $x$ weniger als 5 Einheiten von Null entfernt ist. Das ergibt $-5 < x < 5$ (Werte zwischen $-5$ und $5$ ).
2.
Welche zusammengesetzte Ungleichung stellt $|x| > 4$ dar?
1. a) $x > 4$
2. b) $-4 < x < 4$
3. c) $x < -4$ oder $x > 4$
4. d) $x < -4$
Lösung: $x < -4$ oder $x > 4$
$|x| > 4$ bedeutet, dass $x$ mehr als 4 Einheiten von Null entfernt ist. Das ergibt $x < -4$ ODER $x > 4$ (Werte außerhalb des Intervalls).
3.
Löse $|x| < 3$ . Was ist die untere Grenze der Lösung? (Gib nur die Zahl ein)
Lösung: -3
$|x| < 3$ bedeutet $-3 < x < 3$ . Die untere Grenze ist $-3$ .
4.
Löse $|x| \leq 7$ . Was ist die obere Grenze der Lösung?
Lösung: 7
$|x| \leq 7$ bedeutet $-7 \leq x \leq 7$ . Die obere Grenze ist $7$ .
5.
Löse $|x - 3| < 4$
Lösung: $-1 < x < 7$
1. Welcher Typ von Ungleichung ist das (kleiner als oder größer als)? kleiner als
2. Schreibe die zusammengesetzte Ungleichung: $-4 < x - 3 < ?$ 4
3. Addiere 3 zu allen Teilen. Was ist die untere Grenze? -1
4. Was ist die obere Grenze? 7
6.
Löse $|x + 2| > 5$
Lösung: $x < -7$ oder $x > 3$
1. Welcher Typ von Ungleichung ist das? größer als
2. Für größer als schreiben wir zwei separate Ungleichungen. Die erste ist $x + 2 < ?$ -5
3. Löse $x + 2 < -5$ : $x < ?$ -7
4. Die zweite Ungleichung ist $x + 2 > 5$ . Löse sie: $x > ?$ 3
7.
Was ist die Lösung von $|x - 1| \leq 6$ ?
1. a) $-5 \leq x \leq 7$
2. b) $-6 \leq x \leq 6$
3. c) $-7 \leq x \leq 5$
4. d) $x \leq -5$ oder $x \geq 7$
Lösung: $-5 \leq x \leq 7$
$|x - 1| \leq 6$ bedeutet $-6 \leq x - 1 \leq 6$ . Addition von 1: $-5 \leq x \leq 7$ .
8.
Löse $|2x| < 10$ . Was ist die obere Grenze der Lösung?
Lösung: 5
$|2x| < 10$ bedeutet $-10 < 2x < 10$ . Division durch 2: $-5 < x < 5$ . Die obere Grenze ist $5$ .
9.
Was ist die Lösung von $|x + 5| \geq 3$ ?
1. a) $x \leq -8$ oder $x \geq -2$
2. b) $-2 \leq x \leq 8$
3. c) $x \leq -2$ oder $x \geq 8$
4. d) $-8 \leq x \leq -2$
Lösung: $x \leq -8$ oder $x \geq -2$
$|x + 5| \geq 3$ ergibt $x + 5 \leq -3$ ODER $x + 5 \geq 3$ . Lösung: $x \leq -8$ oder $x \geq -2$ .
10.
Löse $|3x - 6| \leq 12$
Lösung: $-2 \leq x \leq 6$
1. Schreibe als zusammengesetzte Ungleichung: $-12 \leq 3x - 6 \leq ?$ 12
2. Addiere 6 zu allen Teilen: $-6 \leq 3x \leq ?$ 18
3. Teile durch 3. Was ist die untere Grenze? -2
4. Was ist die obere Grenze? 6
11.
Was ist die Lösung von $|x + 3| < -1$ ?
1. a) $x < -4$ oder $x > -2$
2. b) $-4 < x < -2$
3. c)Alle reellen Zahlen
4. d)Keine Lösung
Lösung: Keine Lösung
Der Betrag ist immer $\geq 0$ . Da $|x + 3| \geq 0$ für alle $x$ , kann er nie kleiner als $-1$ sein. Keine Lösung.
12.
Was ist die Lösung von $|2x - 5| > -3$ ?
1. a) $1 < x < 4$
2. b)Alle reellen Zahlen
3. c)Keine Lösung
4. d) $x < 1$ oder $x > 4$
Lösung: Alle reellen Zahlen
Da $|2x - 5| \geq 0$ und $0 > -3$ , ist die Ungleichung immer wahr. Lösung: alle reellen Zahlen.
13.
Löse $|4x + 8| > 12$
Lösung: $x < -5$ oder $x > 1$
1. Dies ist eine größer-als-Ungleichung. Schreibe den ersten Fall: $4x + 8 < ?$ -12
2. Löse $4x + 8 < -12$ . Subtrahiere zuerst 8: $4x < ?$ -20
3. Teile durch 4: $x < ?$ -5
4. Löse jetzt $4x + 8 > 12$ . Subtrahiere 8, dann teile durch 4: $x > ?$ 1
14.
Ein Maschinenteil soll einen Durchmesser von 50 mm haben, mit einer Toleranz von 0,5 mm: $|d - 50| \leq 0{,}5$ . Was ist der größte zulässige Durchmesser $d$ in mm?
Lösung: 50.5
$|d - 50| \leq 0{,}5$ bedeutet $-0{,}5 \leq d - 50 \leq 0{,}5$ . Addition von 50: $49{,}5 \leq d \leq 50{,}5$ . Das Maximum ist $50{,}5$ mm.
15.
Löse $|2x - 3| \geq 7$
Lösung: $x ≤ -2$ oder $x ≥ 5$
1. Dies ist größer oder gleich. Erster Fall: $2x - 3 \leq ?$ -7
2. Addiere 3: $2x \leq ?$ -4
3. Teile durch 2: $x \leq ?$ -2
4. Zweiter Fall: Löse $2x - 3 \geq 7$ : $x \geq ?$ 5
16.
Löse $|x| > 6$ . Die Lösung hat zwei Teile: $x < ?$ oder $x > 6$ . Welche Zahl gehört an die Stelle des Fragezeichens?
Lösung: -6
$|x| > 6$ bedeutet, dass $x$ mehr als 6 Einheiten von Null entfernt ist: $x < -6$ oder $x > 6$ . Die gesuchte Zahl ist $-6$ .
17.
Löse $|x + 4| \leq 2$
Lösung: $-6 \leq x \leq -2$
1. Schreibe als zusammengesetzte Ungleichung: $-2 \leq x + 4 \leq ?$ 2
2. Subtrahiere 4 von allen Teilen. Untere Grenze: $-2 - 4 = ?$ -6
3. Obere Grenze: $2 - 4 = ?$ -2