Lineare Gleichungen aufstellen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist die Gleichung einer Geraden mit Steigung $m = 2$ und y-Achsenabschnitt $b = 5$ ?
1. a) $y = -2x + 5$
2. b) $y = 5x + 2$
3. c) $y = 2x + 5$
4. d) $y = 2x - 5$
Lösung: $y = 2x + 5$
Setzt man $m = 2$ und $b = 5$ in $y = mx + b$ ein, ergibt sich $y = 2x + 5$ .
2.
Eine Gerade hat die Steigung $4$ und verläuft durch den Ursprung. Wie lautet die Gleichung? Schreibe in der Form $y = mx + b$ .
Lösung: y = 4x
Da die Gerade durch den Ursprung verläuft, ist $b = 0$ . Mit $m = 4$ ist die Gleichung $y = 4x + 0$ oder einfach $y = 4x$ .
3.
Welche Gleichung stellt eine Gerade mit Steigung $-3$ und y-Achsenabschnitt $7$ dar?
1. a) $y = 7x - 3$
2. b) $y = -3x + 7$
3. c) $y = -3x - 7$
4. d) $y = 3x + 7$
Lösung: $y = -3x + 7$
Mit Steigung $m = -3$ und y-Achsenabschnitt $b = 7$ ist die Gleichung $y = -3x + 7$ .
4.
Berechne die Steigung der Geraden durch $(2, 3)$ und $(5, 12)$ .
Lösung: 3
$m = \frac{12 - 3}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$
5.
Stelle die Gleichung der Geraden mit Steigung $m = 4$ auf, die durch den Punkt $(2, 11)$ verläuft.
Lösung: y = 4x + 3
1. Schreibe die Punkt-Steigungs-Form: $y - y_1 = m(x - x_1)$ . Was erhältst du beim Einsetzen? y - 11 = 4(x - 2)
2. Multipliziere die 4 auf der rechten Seite aus. Was ist $4(x - 2)$ ? 4x - 8
3. Addiere 11 zu beiden Seiten, um nach $y$ aufzulösen. Wie lautet die endgültige Gleichung? y = 4x + 3
6.
Was ist die Steigung der Geraden durch die Punkte $(1, 5)$ und $(3, 11)$ ?
1. a) $3$
2. b) $6$
3. c) $\frac{1}{3}$
4. d) $2$
Lösung: $3$
$m = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$
7.
Stelle die Gleichung der Geraden durch $(0, 4)$ und $(2, 10)$ in Steigungsform auf.
Lösung: y = 3x + 4
1. Berechne die Steigung mit $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ . Was ist $m$ ? 3
2. Einer der Punkte ist $(0, 4)$ . Was ist der y-Achsenabschnitt $b$ ? 4
3. Schreibe die Gleichung $y = mx + b$ . y = 3x + 4
8.
Ein Fitnessstudio verlangt 20€ pro Monat plus 5€ pro Kurs. Sei $x$ die Anzahl der Kurse und $y$ die monatlichen Gesamtkosten. Stelle die Gleichung auf (in der Form y = ...).
Lösung: y = 5x + 20
Preis = 5€ pro Kurs (Steigung), Grundgebühr = 20€ (y-Achsenabschnitt). Also $y = 5x + 20$ .
9.
Eine Tabelle zeigt: wenn $x = 1$ , $y = 7$ ; wenn $x = 3$ , $y = 13$ . Wie lautet die Gleichung?
1. a) $y = 3x + 4$
2. b) $y = 3x + 7$
3. c) $y = 6x + 1$
4. d) $y = 2x + 5$
Lösung: $y = 3x + 4$
Steigung: $m = \frac{13-7}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$ . Mit $(1, 7)$ : $7 = 3(1) + b \Rightarrow b = 4$ . Also $y = 3x + 4$ .
10.
Stelle die Gleichung der Geraden durch $(2, 1)$ und $(5, 10)$ auf.
Lösung: y = 3x - 5
1. Berechne die Steigung $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 3
2. Verwende die Punkt-Steigungs-Form mit $(2, 1)$ : $y - 1 = 3(x - 2)$ . Multipliziere die rechte Seite aus. 3x - 6
3. Addiere 1 zu beiden Seiten. Wie lautet die endgültige Gleichung? y = 3x - 5
11.
Stelle die Gleichung der Geraden mit Steigung $m = -2$ auf, die durch $(4, 3)$ verläuft. Gib deine Antwort in Steigungsform an.
Lösung: y = -2x + 11
$y - 3 = -2(x - 4) \Rightarrow y - 3 = -2x + 8 \Rightarrow y = -2x + 11$
12.
Stelle die Gleichung der Geraden durch $(-1, 5)$ und $(3, -3)$ auf.
Lösung: y = -2x + 3
1. Berechne $y_2 - y_1$ (Änderung in y) -8
2. Berechne $x_2 - x_1$ (Änderung in x) 4
3. Was ist die Steigung $m$ ? -2
4. Bestimme mit dem Punkt $(-1, 5)$ und der Steigung $-2$ den y-Achsenabschnitt $b$ . 3
5. Schreibe die endgültige Gleichung. y = -2x + 3
13.
Eine Autovermietung kostet 30 Euro pro Tag plus 0,20 Euro pro Kilometer. Welche Gleichung stellt die Gesamtkosten $K$ für $t$ Tage und $k$ Kilometer dar?
1. a) $K = 30t + 0{,}20$
2. b) $K = 30k + 0{,}20t$
3. c) $K = 30t + 0{,}20k$
4. d) $K = 30 + 0{,}20tk$
Lösung: $K = 30t + 0{,}20k$
Tageskosten = 30€ $\times$ Tage. Kilometerkosten = 0,20€ $\times$ km. Gesamt: $K = 30t + 0{,}20k$ .
14.
Ein Wassertank hat 200 Liter und entleert sich mit 15 Litern pro Minute. Stelle die Gleichung für die Wassermenge $W$ nach $t$ Minuten auf und finde heraus, wann der Tank leer sein wird.
Lösung: 13.33
1. Was ist die Änderungsrate (Steigung)? Beachte: Entleeren bedeutet negativ! -15
2. Was ist die Anfangsmenge (y-Achsenabschnitt)? 200
3. Schreibe die Gleichung W = ? -15t + 200
4. Setze $W = 0$ und löse nach $t$ auf. Was ist $t$ (auf 2 Nachkommastellen gerundet)? 13.33
15.
Die Gerade $L$ verläuft durch $(2, 8)$ und $(6, 20)$ . Was ist der y-Achsenabschnitt der Geraden $L$ ?
Lösung: 2
Steigung: $m = \frac{20-8}{6-2} = \frac{12}{4} = 3$ . Mit $(2, 8)$ : $8 = 3(2) + b \Rightarrow b = 2$ .
16.
Stelle die Gleichung einer horizontalen Geraden auf, die durch $(3, 5)$ verläuft.
Lösung: y = 5
1. Was ist die Steigung einer horizontalen Geraden? 0
2. Bei einer horizontalen Geraden ist y immer gleich. Welchen Wert hat y immer? 5
3. Schreibe die Gleichung. y = 5