Lineare Gleichungen aufstellen

Lerne, lineare Gleichungen aus gegebenen Informationen wie Steigung, Punkten oder realen Situationen aufzustellen.

Mittelstufe25 MinLektion
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Definition

Lineare Gleichungen aufstellen bedeutet, eine Gleichung in der Form y=mx+by = mx + b (oder gleichwertig) aus gegebenen Informationen zu erstellen.
Um eine lineare Gleichung aufzustellen, benötigst du:
  • Die Steigung (mm) - wie steil die Gerade ist
  • Einen Punkt auf der Geraden - oder den y-Achsenabschnitt (bb)
Gegeben: Steigung und y-Achsenabschnitt→y=mx+b\text{Gegeben: Steigung und y-Achsenabschnitt} \rightarrow y = mx + b
Gegeben: Steigung und ein Punkt→y−y1=m(x−x1)\text{Gegeben: Steigung und ein Punkt} \rightarrow y - y_1 = m(x - x_1)
Sobald du die Steigung und einen Punkt identifiziert hast, kannst du die Gleichung aufstellen!

Probier es gleich aus

Was ist die Gleichung einer Geraden mit Steigung m=2m = 2 und y-Achsenabschnitt b=5b = 5?

Lösungsbeispiele

Stelle die Gleichung einer Geraden mit Steigung m=3m = 3 und y-Achsenabschnitt b=−2b = -2 auf.
1

Steigung identifizieren

m=3m = 3 → Steigung ist 3
2

y-Achsenabschnitt identifizieren

b=−2b = -2 → y-Achsenabschnitt ist −2-2
3

In die Steigungsform einsetzen

y=mx+by = mx + b y=3x+(−2)y = 3x + (-2) → y=3x−2y = 3x - 2

Häufige Fehler

Steigung und y-Achsenabschnitt vertauschen

Warum es falsch ist: In y=mx+by = mx + b ist der Koeffizient von xx IMMER die Steigung und die Konstante ist IMMER der y-Achsenabschnitt.

Richtig: Merke: mm multipliziert xx (Steigung), bb steht allein (y-Achsenabschnitt). In y=5+3xy = 5 + 3x ist die Steigung 3, nicht 5!

Steigung als x2−x1y2−y1\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1} berechnen

Warum es falsch ist: Das ergibt den Kehrwert der richtigen Steigung!

Richtig: Steigung ist immer senkrechte A¨nderungwaagerechte A¨nderung=y2−y1x2−x1\frac{\text{senkrechte Änderung}}{\text{waagerechte Änderung}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (y-Werte im Zähler, x-Werte im Nenner)

Negative Steigungen nicht richtig ausmultiplizieren

Warum es falsch ist: Wenn m=−2m = -2 und der Punkt (3,5)(3, 5) ist: y−5=−2(x−3)y - 5 = -2(x - 3) wird zu y−5=−2x+6y - 5 = -2x + 6, nicht −2x−6-2x - 6

Richtig: Minus mal Minus ergibt Plus: −2×(−3)=+6-2 \times (-3) = +6

Punkte in der Steigungsformel vertauschen

Warum es falsch ist: Die Reihenfolge der Punkte während der Berechnung zu wechseln führt zu falschen Ergebnissen.

Richtig: Wenn du mit (x1,y1)=(2,5)(x_1, y_1) = (2, 5) beginnst, verwende das konsequent: m=y2−5x2−2m = \frac{y_2 - 5}{x_2 - 2}

Interaktive Visualisierung

Lineare Funktion erkunden

y = 3x - 2
Steigung (m)3
Y-Achsenabschnitt (b)-2
b
Lauf
Anstieg
xy
-2-8
-1-5
0-2
11
24

Funktionsgraph

-2-101234560510xy(1 | 2)(4 | 11)y = 3x - 1
  • Gerade durch (1 | 2) und (4 | 11): y = 3x - 1

Interaktiver Sandkasten

Interaktiver Grapher

-10-50510-10-50510xy

Tippe auf den Graphen oder fahre mit der Maus darüber, um Werte abzulesen.

Probiere diese Beispiele:

y = 2x + 1

m=2, b=1

Ausdrucksrechner

Probiere diese:

Verlauf

Noch keine Berechnungen

Übungsaufgaben

16 Aufgaben
Aufgabe 1 von 16
Einfach
Was ist die Gleichung einer Geraden mit Steigung m=2m = 2 und y-Achsenabschnitt b=5b = 5?

Warum es wichtig ist

Das Aufstellen linearer Gleichungen ist eine grundlegende Fähigkeit, die Algebra mit der realen Welt verbindet:
  • Wirtschaft: Ein Unternehmen berechnet 50€ pro Stunde plus eine Servicegebühr von 100€: y=50x+100y = 50x + 100
  • Naturwissenschaft: Die Temperatur sinkt jede Stunde um 2 Grad von anfänglich 20 Grad: T=−2h+20T = -2h + 20
  • Finanzen: Du sparst 25€ pro Woche, beginnend mit 150€: S=25w+150S = 25w + 150
  • Sport: Ein Läufer legt 8 Meter pro Sekunde zurück: d=8td = 8t
Diese Fähigkeit ermöglicht es dir, reale Zusammenhänge mathematisch zu modellieren und vorherzusagen!

Anwendungen im echten Leben

Handyverträge

Telefonanbieter verwenden lineare Gleichungen zur Berechnung monatlicher Rechnungen mit Grundgebühren und Verbrauchskosten.

Beispiel:

Ein Tarif kostet 30€ pro Monat plus 0,10€ pro SMS. Die Gleichung ist K=0,10t+30K = 0{,}10t + 30.

1Probiere es selbst

Ein Streamingdienst verlangt 12€ pro Monat plus 3€ für jede Premium-Filmausleihe.

Stelle eine Gleichung für die monatlichen Kosten basierend auf Premium-Ausleihen auf.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Sei aa die Anzahl der Ausleihen. Schreibe die Kostengleichung:

Naturwissenschaftliche Experimente

Wissenschaftler verwenden lineare Gleichungen, um Zusammenhänge wie Temperaturänderungen oder zurückgelegte Strecken zu modellieren.

Beispiel:

Wasser kühlt jede Minute um 5 Grad von anfänglich 80 Grad ab: T=−5t+80T = -5t + 80

2Probiere es selbst

Eine Kerze verliert 2 Zentimeter Höhe pro Stunde. Sie ist anfangs 20 cm hoch.

Stelle eine Gleichung für die Höhe der Kerze nach hh Stunden auf.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Höhengleichung:

Sparziele

Lineare Gleichungen helfen, den Sparfortschritt in Richtung finanzieller Ziele zu verfolgen.

Beispiel:

Mit 200€ beginnend und wöchentlich 50€ sparend: S=50w+200S = 50w + 200

3Probiere es selbst

Du hast 75€ gespart und fügst jede Woche 15€ von deinem Taschengeld hinzu.

Stelle eine Gleichung für deine Gesamtersparnisse nach ww Wochen auf.

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Spargleichung:

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Verwende y=mx+by = mx + b, wenn du Steigung und y-Achsenabschnitt direkt kennst
  • 2Verwende die Punkt-Steigungs-Form y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1), wenn du einen Punkt und die Steigung kennst
  • 3Berechne die Steigung aus zwei Punkten: m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  • 4Aus Tabellen: Die Steigung ist die konstante Änderung von yy geteilt durch die Änderung von xx
  • 5In Textaufgaben: Die Änderungsrate ist die Steigung, der Startwert ist der y-Achsenabschnitt

Häufig gestellte Fragen

Wenn du den y-Achsenabschnitt kennst, verwende die Steigungsform (y=mx+by = mx + b). Wenn du nur einen Punkt kennst, der nicht auf der y-Achse liegt, ist die Punkt-Steigungs-Form (y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)) einfacher. Beide ergeben dieselbe Gerade!
Wenn du den y-Achsenabschnitt kennst, verwende die Steigungsform (y=mx+by = mx + b). Wenn du nur einen Punkt kennst, der nicht auf der y-Achse liegt, ist die Punkt-Steigungs-Form (y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)) einfacher. Beide ergeben dieselbe Gerade!
Verschiedene Punkte ergeben Gleichungen, die unterschiedlich aussehen, aber dieselbe Gerade darstellen. Zum Beispiel mit den Punkten (1,5)(1, 5) und (2,8)(2, 8) bei Steigung 3: y−5=3(x−1)y - 5 = 3(x - 1) und y−8=3(x−2)y - 8 = 3(x - 2) vereinfachen sich beide zu y=3x+2y = 3x + 2.
Setze einen bekannten Punkt in deine Gleichung ein. Wenn beide Seiten gleich sind, ist sie richtig! Wenn deine Gerade durch (2,7)(2, 7) verläuft und deine Gleichung y=2x+3y = 2x + 3 ist, prüfe: 7=2(2)+3=77 = 2(2) + 3 = 7 ✓

Glossar

Steigungsform (Normalform)
Die Gleichung y=mx+by = mx + b, wobei mm die Steigung und bb der y-Achsenabschnitt ist
Punkt-Steigungs-Form
Die Gleichung y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1) mit Steigung mm und Punkt (x1,y1)(x_1, y_1)
y-Achsenabschnitt
Der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet; der Wert von yy, wenn x=0x = 0
Änderungsrate
Ein anderer Name für Steigung; wie stark sich yy für jede Einheitsänderung von xx ändert

Formelkarte

Steigungsform

y=mx+by = mx + b

Wenn Steigung und y-Achsenabschnitt bekannt sind

Punkt-Steigungs-Form

y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)

Wenn ein Punkt und die Steigung bekannt sind

Steigungsformel

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Steigung aus zwei Punkten berechnen

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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