Potenz einer Potenz

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Vereinfache $(x^3)^4$ .
1. a) $x^{7}$
2. b) $x^{81}$
3. c) $x^{12}$
4. d) $4x^{3}$
Lösung: $x^{12}$
$(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$ . Die Antwort $x^7$ entsteht durch Addieren der Exponenten, das ist die Regel für $x^3 \cdot x^4$ .
2.
$(2^3)^2 = 2^{\square}$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 6
$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6$ . Probe: $8^2 = 64$ und $2^6 = 64$ .
3.
Vereinfache $(a^5)^2$ , indem du es zuerst als Produkt schreibst.
Lösung: a^10
1. Wie viele Faktoren $a^5$ stecken in $(a^5)^2$ ? 2
2. $a^5 \cdot a^5 = a^{?}$ (Exponenten addieren) 10
3. Prüfe mit der Abkürzung: $5 \cdot 2 = ?$ 10
4.
Berechne $(3^2)^2$ .
Lösung: 81
$(3^2)^2 = 9^2 = 81$ . Mit der Regel: $3^{2 \cdot 2} = 3^4 = 81$ .
5.
Welcher Term ist gleich $(5y)^2$ ?
1. a) $25y^2$
2. b) $25y$
3. c) $10y^2$
4. d) $5y^2$
Lösung: $25y^2$
$(5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2$ . Bei $5y^2$ wurde vergessen, die $5$ zu quadrieren, und $10y^2$ multipliziert $5$ mit $2$ , statt zu quadrieren.
6.
Vergleiche $(2^2)^3$ und $(2^3)^2$ .
Lösung: 64
1. $(2^2)^3 = 2^{?}$ 6
2. $(2^3)^2 = 2^{?}$ 6
3. Beide sind $2^6$ . Wie viel ist $2^6$ ? 64
7.
$(2x^3)^4 = \square \, x^{12}$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 16
Jeder Faktor bekommt den Exponenten: $(2x^3)^4 = 2^4 \cdot (x^3)^4 = 16x^{12}$ .
8.
Welchen Wert hat $2^{3^2}$ (ohne Klammern)?
1. a)512
2. b)128
3. c)36
4. d)64
Lösung: 512
Ohne Klammern kommt der obere Exponent zuerst: $3^2 = 9$ , also $2^{3^2} = 2^9 = 512$ . Der Wert $64$ gehört zu $(2^3)^2 = 2^6$ .
9.
Vereinfache $(3x^2)^3$ .
Lösung: 27x^6
1. Potenziere den Koeffizienten: $3^3 = ?$ 27
2. $(x^2)^3 = x^{?}$ 6
3. Prüfe mit $x = 1$ : $(3 \cdot 1^2)^3 = ?$ 27
10.
Vereinfache $\left(\frac{x^2}{3}\right)^3$ .
Lösung: x^6/27
1. Zähler: $(x^2)^3 = x^{?}$ 6
2. Nenner: $3^3 = ?$ 27
3. Prüfe mit $x = 3$ : $\frac{3^6}{27} = \frac{729}{27} = ?$ 27
11.
$(10^2)^3 \cdot 10^4 = 10^{\square}$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 10
$(10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6$ , und $10^6 \cdot 10^4 = 10^{6+4} = 10^{10}$ .
12.
Welche Aussage gilt für alle Zahlen $a$ und $b$ ?
1. a) $(2a)^3 = 2a^3$
2. b) $(a + b)^2 = a^2 + b^2$
3. c) $(ab)^2 = a^2 b^2$
4. d) $(a^2)^3 = a^5$
Lösung: $(ab)^2 = a^2 b^2$
Nur $(ab)^2 = a^2 b^2$ gilt immer. Tatsächlich ist $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , $(a^2)^3 = a^6$ und $(2a)^3 = 8a^3$ .
13.
Zeige mit Zahlen, dass $(3 + 4)^2 \neq 3^2 + 4^2$ ist.
Lösung: 24
1. $(3 + 4)^2 = 7^2 = ?$ 49
2. $3^2 + 4^2 = ?$ 25
3. Wie viel fehlt? $49 - 25 = ?$ 24
14.
Vereinfache $\frac{(x^4)^3 \cdot x^2}{(x^3)^4}$ .
Lösung: x^2
1. $(x^4)^3 = x^{?}$ 12
2. $x^{12} \cdot x^2 = x^{?}$ 14
3. $(x^3)^4 = x^{?}$ 12
4. $\frac{x^{14}}{x^{12}} = x^{?}$ 2
15.
$(2a^2b^3)^4 = 16a^8 b^{\square}$ . Welche Zahl gehört in das Kästchen?
Lösung: 12
$(2a^2b^3)^4 = 2^4 \cdot a^{2 \cdot 4} \cdot b^{3 \cdot 4} = 16a^8b^{12}$ . Jeder der drei Faktoren wird potenziert.
16.
Vereinfache $(2x^2y)^3 \cdot (xy^2)^2$ .
Lösung: 8x^8y^7
1. Koeffizient von $(2x^2y)^3$ : $2^3 = ?$ 8
2. Exponent von $x$ in $(2x^2y)^3$ 6
3. Exponent von $y$ in $(xy^2)^2$ 4
4. Gesamtexponent von $x$ nach dem Multiplizieren: $x^6 \cdot x^2 = x^{?}$ 8
5. Gesamtexponent von $y$ nach dem Multiplizieren: $y^3 \cdot y^4 = y^{?}$ 7
17.
Vereinfache $\left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3$ .
1. a) $\frac{6x^9}{y^6}$
2. b) $\frac{2x^9}{y^6}$
3. c) $\frac{8x^6}{y^5}$
4. d) $\frac{8x^9}{y^6}$
Lösung: $\frac{8x^9}{y^6}$
$\left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3 = \frac{2^3 \cdot x^{3 \cdot 3}}{y^{2 \cdot 3}} = \frac{8x^9}{y^6}$ . $6x^9$ multipliziert $2$ mit $3$ , $x^6$ und $y^5$ addieren die Exponenten, und $2x^9$ vergisst den Koeffizienten.
18.
Ein Würfel hat Kanten der Länge $3 \cdot 10^2$ cm, sein Volumen ist also $(3 \cdot 10^2)^3$ cm³. Berechne das Volumen.
Lösung: 27000000
1. $3^3 = ?$ 27
2. $(10^2)^3 = 10^{?}$ 6
3. Schreibe das Volumen $27 \cdot 10^6$ cm³ als gewöhnliche Zahl (nur Ziffern) 27000000