Absolutwert

Lerne, was der Absolutwert bedeutet und wie man den Abstand von Null findet.

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Definition

Der Absolutwert einer Zahl ist ihr Abstand von Null auf dem Zahlenstrahl. Wir schreiben den Absolutwert mit senkrechten Strichen: ∣n∣|n|.
Da Entfernung immer positiv (oder Null) ist, ist der Absolutwert immer nicht-negativ:
∣5∣=5und∣−5∣=5|5| = 5 \quad \text{und} \quad |-5| = 5
Sowohl 55 als auch −5-5 sind genau 5 Einheiten von Null entfernt, also haben sie denselben Absolutwert.
Wichtige Erkenntnis: Der Absolutwert sagt uns "wie weit", ohne sich um die Richtung (links oder rechts) zu kümmern.

Probier es gleich aus

Was ist ∣−6∣|-6|?

Lösungsbeispiele

Finde: ∣8∣|8| und ∣−8∣|-8|
1

Für ∣8∣|8|: Wie weit ist 8 von Null entfernt?

Zähle von 0 bis 8 auf dem Zahlenstrahl → ∣8∣=8|8| = 8
2

Für ∣−8∣|-8|: Wie weit ist −8-8 von Null entfernt?

Zähle von −8-8 bis 0 auf dem Zahlenstrahl → ∣−8∣=8|-8| = 8
3

Vergleiche die Ergebnisse

Sowohl 8 als auch −8-8 sind 8 Einheiten von Null entfernt → ∣8∣=∣−8∣=8|8| = |-8| = 8

Häufige Fehler

Denken, dass ∣−5∣=−5|-5| = -5

Warum es falsch ist: Schüler wenden möglicherweise das "Abstands"-Konzept nicht an und behalten einfach das Minuszeichen.

Richtig: Der Absolutwert ist immer nicht-negativ. ∣−5∣=5|-5| = 5, weil −5-5 5 Einheiten von Null entfernt ist.

−∣5∣-|5| mit ∣−5∣|-5| verwechseln

Warum es falsch ist: Diese sehen ähnlich aus, bedeuten aber unterschiedliche Dinge!

Richtig: ∣−5∣=5|-5| = 5 (finde den Absolutwert von −5-5), aber −∣5∣=−5-|5| = -5 (nimm das Negative von ∣5∣|5|).

Denken, dass der Absolutwert die Zahl im Inneren verändert

Warum es falsch ist: Schüler könnten denken, dass ∣−3∣|-3| bedeutet "entferne das Negative" für jeden Ausdruck.

Richtig: Der Absolutwert gibt den Abstand von Null an. Er verändert die Zahl nicht; er misst, wie weit sie von Null entfernt ist.

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Übungsaufgaben

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Was ist ∣−6∣|-6|?

Warum es wichtig ist

Der Absolutwert erscheint überall, wenn uns die Größe wichtiger ist als die Richtung:
  • Messfehler: Wenn eine Messung um −3-3 oder +3+3 abweicht, ist die Fehlergröße gleich: ∣−3∣=∣3∣=3|{-3}| = |3| = 3
  • Entfernung: Die Entfernung zwischen zwei Städten ist immer positiv, egal in welche Richtung man reist
  • Temperaturunterschied: Ob es 55 Grad wärmer oder kälter ist, die Änderung beträgt immer noch 55 Grad
  • Sport: Im Golf sind ein Score von −2-2 (unter Par) und +2+2 (über Par) beide "2 entfernt von Par"
Der Absolutwert entfernt das Vorzeichen und sagt uns nur die Größe!

Anwendungen im echten Leben

Messfehler

Wissenschaftler und Ingenieure verwenden den Absolutwert, um zu messen, wie genau ihre Messungen sind.

Beispiel:

Wenn die tatsächliche Temperatur 20 Grad Celsius beträgt und dein Thermometer 18 Grad Celsius anzeigt, ist der Fehler ∣18−20∣=∣−2∣=2|18 - 20| = |-2| = 2 Grad.

1Probiere es selbst

Ein Rezept verlangt genau 250 Gramm Mehl. Du misst 243 Gramm ab.

Wie groß ist der absolute Fehler deiner Messung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne ∣243−250∣|243 - 250|

Temperaturänderungen

Beim Vergleichen von Temperaturänderungen interessiert uns oft die Größe der Änderung, nicht die Richtung.

Beispiel:

Wenn die Temperatur von 15 Grad Celsius auf 8 Grad Celsius fiel, ist die Änderung ∣8−15∣=∣−7∣=7|8 - 15| = |-7| = 7 Grad.

2Probiere es selbst

Das Temperaturmaximum am Montag war 22 Grad Celsius. Am Dienstag war es 17 Grad Celsius.

Wie groß war der Temperaturunterschied?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Berechne ∣17−22∣|17 - 22|

Wichtige Erkenntnisse

  • 1Der Absolutwert ∣n∣|n| stellt den Abstand von Null auf dem Zahlenstrahl dar
  • 2Der Absolutwert ist immer nicht-negativ: ∣n∣≥0|n| \geq 0
  • 3Gegenzahlen haben denselben Absolutwert: ∣n∣=∣−n∣|n| = |-n|
  • 4Für jede Zahl nn: wenn n≥0n \geq 0, dann ∣n∣=n|n| = n; wenn n<0n < 0, dann ∣n∣=−n|n| = -n
  • 5Abstand zwischen zwei Zahlen: ∣a−b∣|a - b| oder ∣b−a∣|b - a|

Häufig gestellte Fragen

Der Absolutwert stellt die Entfernung dar, und Entfernung kann nicht negativ sein. Du kannst keine negative Anzahl von Schritten gehen! Ob du nach links oder rechts gehst, du legst immer eine positive Entfernung zurück.
Der Absolutwert stellt die Entfernung dar, und Entfernung kann nicht negativ sein. Du kannst keine negative Anzahl von Schritten gehen! Ob du nach links oder rechts gehst, du legst immer eine positive Entfernung zurück.
∣0∣=0|0| = 0. Null ist null Einheiten von sich selbst entfernt. Es ist die einzige Zahl, deren Absolutwert gleich Null ist.
Nein! ∣−x∣=∣x∣|-x| = |x| (gleicher Abstand von Null), aber −∣x∣-|x| ist das Negative des Absolutwerts. Zum Beispiel: ∣−5∣=5|-5| = 5, aber −∣5∣=−5-|5| = -5.

Glossar

Absolutwert
Der Abstand einer Zahl von Null auf dem Zahlenstrahl, geschrieben als ∣n∣|n|
Abstand
Die Entfernung zwischen zwei Punkten, immer nicht-negativ
Nicht-negativ
Eine Zahl, die größer oder gleich Null ist
Betrag
Die Größe oder Menge von etwas, ohne Berücksichtigung der Richtung oder des Vorzeichens
Gegenzahlen
Zwei Zahlen mit demselben Absolutwert aber unterschiedlichen Vorzeichen, wie 55 und −5-5

Formelkarte

Definition

∣n∣=n|n| = n wenn n≥0n \geq 0; ∣n∣=−n|n| = -n wenn n<0n < 0

Der Absolutwert ist die Zahl selbst wenn positiv, oder ihr Gegenteil wenn negativ

Gegenzahlen

∣n∣=∣−n∣|n| = |-n|

Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Absolutwert

Abstand

d=∣a−b∣d = |a - b|

Abstand zwischen zwei Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Nicht-Negativität

∣n∣≥0|n| \geq 0

Der Absolutwert ist immer Null oder positiv

Heutige ChallengeEine Aufgabe, drei Versuche

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