Leitfaden für Lehrer: Einführung in gemischte Zahlen

Lerne, was gemischte Zahlen sind, wie man sie liest und schreibt, wie man sie zeichnet und wo sie auf dem Zahlenstrahl liegen.

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Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Brüche Grundlagen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Eine gemischte Zahl als ganze Zahl plus echten Bruch definieren
Gemischte Zahlen in Worten und Zeichen richtig lesen und schreiben
Gemischte Zahlen mit Bruchstreifen und Kreisen darstellen
Gemischte Zahlen am Zahlenstrahl zwischen zwei ganzen Zahlen finden
Gemischte Zahlen in Rezepten, Längenangaben und Zeitangaben erkennen

Voraussetzungen

• Zähler und Nenner verstehen (Lektion Was sind Brüche)
• Echte und unechte Brüche kennen (Lektion Unechte Brüche)
• Einfache Brüche zwischen 0 und 1 am Zahlenstrahl eintragen

Diskussionsstarter

1. Wo hast du schon jemanden "und ein halb" oder "und ein Viertel" sagen hören? Was war damit gemeint?
2. Warum muss der Bruchanteil einer gemischten Zahl wohl kleiner als 1 sein?
3. Liegt $4\frac{1}{2}$ näher an 4 oder an 5? Woher weißt du das?
4. Würdest du lieber "sieben Viertelstunden" oder "eindreiviertel Stunden" sagen? Warum?

Häufige Missverständnisse

Die ganze Zahl und der Bruch werden multipliziert ( $3\frac{1}{2} = 3 \times \frac{1}{2}$ )

Abhilfe: Lies gemischte Zahlen immer laut mit "und" vor und schreibe am Anfang die Summe daneben: $3\frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2}$ . Zeige 3 ganze Streifen und einen halben Streifen: deutlich mehr als 3, nicht weniger als 2.

Der Nenner zählt alle Teile im Bild

Abhilfe: Frage: Wie viele gleiche Teile hat EIN Ganzes? Färbe jedes Ganze in einer anderen Farbe, damit die Kinder sehen, dass jedes Ganze gleich viele Teile hat.

Eine gemischte Zahl wird am Zahlenstrahl nur nach ihrem Bruchanteil eingetragen

Abhilfe: Lass die Kinder zuerst die ganze Zahl am Zahlenstrahl einkreisen und dann von dort aus die Bruchteile abzählen. Ein Zahlenstrahl auf dem Boden, auf dem sie wirklich gehen, hilft dabei.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Zuerst echte Gegenstände verwenden: ganze Äpfel und Apfelschnitze, volle und halb volle Becher
• Vor anderen Nennern nur mit Halben und Vierteln arbeiten
• Jede gemischte Zahl laut mit dem Wort "und" vorlesen und das Pluszeichen dazuschreiben

Für Schüler auf Niveau:

• Gemischte Zahlen aus Bildern mit Nennern bis 10 aufschreiben
• Mehrere gemischte Zahlen auf einem Zahlenstrahl von 0 bis 5 eintragen
• Gemischte Zahlen in Stunden und Metern in Minuten und Zentimeter umrechnen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Den unechten Bruch zu einer gemischten Zahl finden, indem man alle Teile in einer Zeichnung zählt
• Erklären, warum $1\frac{5}{4}$ keine richtige gemischte Zahl ist, und sie korrigieren
• Ein eigenes Rezept oder einen eigenen Fahrplan mit mindestens vier gemischten Zahlen erstellen

Standardausrichtung

3.NF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.3.NF.A.2)
Einen Bruch als Zahl auf dem Zahlenstrahl verstehen; Brüche am Zahlenstrahl darstellen
4.NF.B.3.b (CCSS.MATH.CONTENT.4.NF.B.3.B)
Einen Bruch in eine Summe von Brüchen mit gleichem Nenner zerlegen, zum Beispiel 2 1/8 = 1 + 1 + 1/8

Lektionsressourcen

visualBruchstreifen und Bruchkreise
Die Schülerinnen und Schüler färben ganze Formen und einen Teil einer weiteren Form, um gemischte Zahlen darzustellen
activityZahlenstrahl-Spaziergang
Klebe einen Zahlenstrahl von 0 bis 3 auf den Boden; die Kinder stellen sich auf gemischte Zahlen, die die Lehrkraft nennt
worksheetGemischte Zahlen um uns herum
Gemischte Zahlen in Rezepten, Fahrplänen und Maßangaben finden und aufschreiben

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch, die direkt nebeneinander geschrieben werden.

2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4}

Der Ganzzahlanteil ( $2$ ) sagt dir, wie viele vollständige Ganze du hast
Der Bruchanteil ( $\frac{3}{4}$ ) sagt dir, welchen Teil eines weiteren Ganzen du hast
Der Bruchanteil ist immer ein echter Bruch: Sein Zähler ist kleiner als sein Nenner

Wir lesen

2\frac{3}{4}

als zwei und drei Viertel (oder zweidreiviertel). Das Wort und steht für das Pluszeichen, das zwischen den beiden Teilen versteckt ist.

Eine gemischte Zahl ist immer größer als 1, weil sie mindestens ein Ganzes enthält. In der Lektion über unechte Brüche hast du gesehen, dass man dieselbe Menge auch als einen einzigen Bruch schreiben kann:

2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}

. Die nächsten Lektionen zeigen dir, wie du zwischen beiden Schreibweisen wechselst.

Lösungsbeispiele

Was bedeutet $3\frac{1}{2}$ , und wie liest man es?

Finde den Ganzzahlanteil

Die große Zahl vorne ist $3$ → 3 vollständige Ganze

Finde den Bruchanteil

Der Bruch daneben ist $\frac{1}{2}$ , ein echter Bruch, weil $1 < 2$ → Die Hälfte eines weiteren Ganzen

Setze die beiden Teile zusammen

$3\frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2}$ → Gelesen: drei und ein halb

Antwort: $3\frac{1}{2}$ bedeutet 3 Ganze plus ein Halbes. Wir lesen es als "drei und ein halb" oder "dreieinhalb".

Häufige Fehler

Denken, dass $2\frac{1}{3}$ dasselbe ist wie $2 \times \frac{1}{3}$

Warum es falsch ist: In der Algebra bedeutet Nebeneinanderschreiben oft Multiplizieren. Bei einer gemischten Zahl nicht: Das versteckte Zeichen ist ein Plus.

Richtig: $2\frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3}$ . Lies das "und" in "zwei und ein Drittel" als Plus.

Einen Bruchanteil schreiben, der kein echter Bruch ist, zum Beispiel $1\frac{5}{4}$

Warum es falsch ist: Der Bruchanteil muss kleiner als ein Ganzes sein. $\frac{5}{4}$ enthält schon ein Ganzes ( $\frac{4}{4}$ ), das gehört zum Ganzzahlanteil.

Richtig: Schiebe das zusätzliche Ganze hinüber: $1\frac{5}{4} = 2\frac{1}{4}$ . In einer gemischten Zahl ist der Zähler immer kleiner als der Nenner.

$2\frac{1}{4}$ am Zahlenstrahl in die Nähe von $\frac{1}{4}$ setzen

Warum es falsch ist: Wer nur auf den Bruchanteil schaut, vergisst die 2 Ganzen, die zuerst kommen.

Richtig: Springe zuerst zur ganzen Zahl (2) und gehe dann um den Bruchanteil ( $\frac{1}{4}$ ) weiter nach rechts.

Den falschen Nenner verwenden, wenn ein Bild mehrere Formen zeigt

Warum es falsch ist: Bei 2 ganzen Kreisen und 3 von 4 Teilen eines dritten Kreises zählen manche alle Teile und schreiben $\frac{11}{12}$ .

Richtig: Der Nenner ist die Anzahl der Teile in EINEM Ganzen (4). Die Antwort ist $2\frac{3}{4}$ .

Warum es wichtig ist

Mit gemischten Zahlen sprechen Menschen ganz natürlich über Mengen, die größer als ein Ganzes sind:

Kochen: Ein Rezept verlangt $1\frac{1}{2}$ Tassen Milch oder $2\frac{1}{4}$ Teelöffel Salz
Zeit: Ein Film dauert $1\frac{3}{4}$ Stunden, eine Autofahrt $2\frac{1}{2}$ Stunden
Länge: Ein Regal ist $1\frac{1}{4}$ Meter lang, ein Zimmer ist $3\frac{1}{2}$ Meter breit
Sport: Eine Läuferin schafft $4\frac{1}{2}$ Runden auf der Bahn

"Zweieinhalb Stunden" kann man sich viel leichter vorstellen als "fünf halbe Stunden". Gemischte Zahlen zeigen auf einen Blick, wie viele Ganze du hast und wie viel noch übrig ist.

Anwendungen im echten Leben

Kochen und Backen

Rezepte verwenden gemischte Zahlen für Mengen, die größer als eine Tasse, ein Löffel oder ein Kilogramm sind.

Beispiel:

Ein Pfannkuchenrezept braucht $1\frac{1}{2}$ Tassen Milch: Fülle die Tasse einmal ganz und dann noch einmal zur Hälfte.

1Probiere es selbst

Ein Brotrezept braucht $2\frac{1}{2}$ Tassen Mehl, aber du hast nur einen Messbecher für eine halbe Tasse.

Wie viele halbe Tassen Mehl brauchst du?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Zwei Hälften in jeder ganzen Tasse, plus die zusätzliche Hälfte:

Längen messen

Handwerker, Schneiderinnen und Bastler messen Längen, die aus einigen ganzen Metern und einem Teil eines Meters bestehen.

Beispiel:

Ein Vorhang, der $1\frac{3}{4}$ Meter lang ist, misst 1 Meter plus drei Viertel eines weiteren Meters, also 175 Zentimeter.

2Probiere es selbst

Ein Geschenkband ist $2\frac{3}{4}$ Meter lang.

Wie viele Zentimeter lang ist das Band?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Die ganzen Meter in Zentimetern, plus drei Viertel von 100 Zentimetern:

Zeit und Fahrpläne

Fahrpläne und die Alltagssprache verwenden gemischte Zahlen für Stunden: anderthalb Stunden, zweieinviertel Stunden.

Beispiel:

Eine Zugfahrt von $1\frac{1}{2}$ Stunden dauert 60 + 30 = 90 Minuten.

3Probiere es selbst

Das Fußballtraining dauert $1\frac{1}{4}$ Stunden.

Wie viele Minuten dauert das Training?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Eine Stunde in Minuten, plus ein Viertel von 60 Minuten:

Wichtige Erkenntnisse

1Eine gemischte Zahl besteht aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch, zum Beispiel $2\frac{3}{4}$
2Sie bedeutet die ganze Zahl plus den Bruch: $2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4}$ , gelesen "zwei und drei Viertel"
3Der Bruchanteil ist immer ein echter Bruch: Sein Zähler ist kleiner als sein Nenner
4Um eine gemischte Zahl zu zeichnen, färbst du die ganzen Teile und dann den Bruchanteil eines weiteren Ganzen
5Am Zahlenstrahl liegt eine gemischte Zahl zwischen ihrer ganzen Zahl und der nächsten: $2\frac{1}{4}$ liegt zwischen 2 und 3
6Dieselbe Menge kann man auch als unechten Bruch schreiben, zum Beispiel $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$

Häufig gestellte Fragen

Ist $2\frac{1}{4}$ wirklich dasselbe wie $2 + \frac{1}{4}$ ?

Ja. Eine gemischte Zahl ist eine Kurzschreibweise für die Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruch. Das Pluszeichen wird einfach weggelassen.

Darf der Bruchanteil $\frac{4}{4}$ oder größer sein?

Nein.

\frac{4}{4}

ist ein Ganzes und gehört deshalb zum Ganzzahlanteil.

3\frac{4}{4}

ist einfach

4

, und

3\frac{5}{4}

ist

4\frac{1}{4}

Warum gibt es gemischte Zahlen, wenn es doch unechte Brüche gibt?

Gemischte Zahlen kann man sich im Alltag leichter vorstellen:

2\frac{1}{2}

Stunden zeigt sofort, dass es etwas mehr als 2 Stunden sind. Mit unechten Brüchen wie

\frac{5}{2}

rechnet man oft leichter. Beide beschreiben dieselbe Menge.

Wie erkenne ich, welche von zwei gemischten Zahlen größer ist?

Vergleiche zuerst die Ganzzahlanteile und nur wenn sie gleich sind, die Bruchanteile. Die Lektion Gemischte Zahlen vergleichen erklärt das genauer.

Glossar

Gemischte Zahl: Eine Zahl aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch, zum Beispiel $3\frac{1}{2}$
Ganzzahlanteil: Die Zahl vor dem Bruch; sie gibt an, wie viele vollständige Ganze es gibt
Bruchanteil: Der echte Bruch in einer gemischten Zahl; er zeigt den Teil eines weiteren Ganzen
Echter Bruch: Ein Bruch, dessen Zähler kleiner als sein Nenner ist, zum Beispiel $\frac{3}{4}$ ; er ist kleiner als 1
Unechter Bruch: Ein Bruch, dessen Zähler gleich groß oder größer als sein Nenner ist, zum Beispiel $\frac{7}{4}$ ; er ist 1 oder mehr

Formelkarte

Bedeutung einer gemischten Zahl

a\frac{b}{c} = a + \frac{b}{c}

Eine gemischte Zahl ist die ganze Zahl $a$ plus der Bruch $\frac{b}{c}$

Regel für den Bruchanteil

b < c

Der Zähler des Bruchanteils ist immer kleiner als der Nenner

Lage am Zahlenstrahl

a < a\frac{b}{c} < a + 1

Eine gemischte Zahl liegt zwischen ihrem Ganzzahlanteil und der nächsten ganzen Zahl

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

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Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Kochen und Backen

Längen messen

Zeit und Fahrpläne

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Bedeutung einer gemischten Zahl

Regel für den Bruchanteil

Lage am Zahlenstrahl

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