Leitfaden für Lehrer: Gemischte Zahlen ordnen

Lerne, wie du drei bis fünf gemischte Zahlen und unechte Brüche der Größe nach ordnest, aufsteigend oder absteigend.

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Klassenquiz

10 Fragen zu Vergleichen & Ordnen. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Drei bis fünf gemischte Zahlen und unechte Brüche aufsteigend und absteigend ordnen
Unechte Brüche in gemischte Zahlen umwandeln, um zuerst die Ganzen zu vergleichen
Bruchteile mit einem gemeinsamen Nenner, mit Referenzbrüchen oder mit Dezimalzahlen ordnen
Sachaufgaben lösen, die nach der größten, der kleinsten Zahl oder einem Platz in der Reihenfolge fragen

Voraussetzungen

• Einführung in gemischte Zahlen
• Unechte Brüche in gemischte Zahlen umwandeln
• Gemischte Zahlen vergleichen
• Brüche mit Referenzwerten vergleichen

Diskussionsstarter

1. Warum ist $1\frac{9}{10}$ kleiner als $2\frac{1}{10}$ , obwohl $\frac{9}{10}$ viel größer ist als $\frac{1}{10}$ ?
2. Wie erkennst du schnell, dass $\frac{13}{6}$ größer als 2 ist?
3. Wann nimmst du lieber Dezimalzahlen und wann einen gemeinsamen Nenner?
4. Ist bei einem Rennen der Sieger die größte oder die kleinste Zahl? Warum?

Häufige Missverständnisse

Unechte Brüche sind immer kleiner als gemischte Zahlen, weil sie keine Ganzen haben

Abhilfe: Lass die Kinder $\frac{13}{6}$ in $2\frac{1}{6}$ umwandeln und neben $1\frac{3}{4}$ auf den Zahlenstrahl setzen. Die Ganzen waren die ganze Zeit da, nur versteckt.

Die Zahl mit dem größten Bruchteil ist die größte Zahl

Abhilfe: Frage, ob $1\frac{9}{10}$ m Seil länger sind als $2\frac{1}{10}$ m. Markiere beide auf dem Zahlenstrahl: Zuerst entscheiden die Ganzen.

Ein größerer Nenner bedeutet einen größeren Bruch

Abhilfe: Schneide zwei gleich lange Streifen in 5 und in 8 Stücke und vergleiche je ein Stück. Vergleiche danach $2\frac{1}{5}$ und $2\frac{1}{8}$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Mit Listen beginnen, in denen alle Ganzen verschieden sind
• Für jede Liste zuerst den Zahlenstrahl nutzen, bevor Zeichen geschrieben werden
• Anfangs nur Bruchteile mit gleichem Nenner geben

Für Schüler auf Niveau:

• Vier Zahlen ordnen, gemischt aus gemischten Zahlen und unechten Brüchen
• Zwischen gemeinsamem Nenner, Referenzbrüchen und Dezimalzahlen wählen
• Sachaufgaben lösen, die nach dem zweitgrößten oder zweitkleinsten Wert fragen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Fünf oder mehr Zahlen mit Nennern wie 7, 9 und 12 ordnen
• Eine gemischte Zahl finden, die zwischen zwei gegebene Zahlen passt
• Eigene Ordnungsrätsel erfinden, in denen zwei Zahlen gleich sind

Standardausrichtung

4.NF.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.4.NF.A.2)
Zwei Brüche mit verschiedenen Zählern und verschiedenen Nennern vergleichen
6.NS.C.7 (CCSS.MATH.CONTENT.6.NS.C.7)
Anordnung und Betrag rationaler Zahlen verstehen

Lektionsressourcen

visualBruch-Zahlenstrahl
Gemischte Zahlen und unechte Brüche zwischen 0 und 5 eintragen und die Reihenfolge von links nach rechts ablesen
activityMenschlicher Zahlenstrahl
Jedes Kind hält eine Karte mit einer gemischten Zahl oder einem unechten Bruch, und die Klasse stellt sich der Größe nach auf
worksheetMesswerte ordnen
Listen mit Brettlängen, Laufzeiten und Rezeptmengen zum Ordnen

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Liste von Zahlen zu ordnen heißt, sie vom kleinsten zum größten (aufsteigend, mit

<

) oder vom größten zum kleinsten (absteigend, mit

>

) aufzuschreiben. Wenn die Liste gemischte Zahlen wie

2\frac{1}{3}

und unechte Brüche wie

\frac{11}{4}

enthält, gehst du so vor:

1.Schreibe alle Zahlen in derselben Form. Wandle jeden unechten Bruch in eine gemischte Zahl um: $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$ , denn $11 = 2 \times 4 + 3$ .
2.Sortiere nach den Ganzen. Eine Zahl mit mehr Ganzen ist immer größer: Jede Zahl $3\frac{\square}{\square}$ ist größer als jede Zahl $2\frac{\square}{\square}$ .
3.Bei gleichen Ganzen entscheiden die Bruchteile. Zahlen mit denselben Ganzen ordnest du nach ihren Bruchteilen. Nutze einen gemeinsamen Nenner oder einen Referenzbruch wie $\frac{1}{2}$ .
4.Schreibe die Reihenfolge mit $<$ oder $>$ auf, und zwar mit den Zahlen genau so, wie sie gegeben waren.

Ein anderer Weg: Wandle jede Zahl in eine Dezimalzahl um (

\frac{11}{4} = 2{,}75

2\frac{1}{3} \approx 2{,}33

) und ordne die Dezimalzahlen.

1\frac{7}{8} < 2\frac{1}{4} < \frac{7}{3} < \frac{5}{2}

Lösungsbeispiele

Ordne vom kleinsten zum größten: $3\frac{1}{2}$ , $1\frac{4}{5}$ , $2\frac{1}{3}$

Schau dir die Ganzen an

$3\frac{1}{2}$ hat 3, $1\frac{4}{5}$ hat 1, $2\frac{1}{3}$ hat 2 → Ganze: 3, 1, 2

Prüfe, ob Ganze gleich sind

Alle drei Ganzen sind verschieden, also spielen die Bruchteile keine Rolle → Nur nach den Ganzen sortieren

Sortiere die Ganzen vom kleinsten zum größten

$1 < 2 < 3$ → $1\frac{4}{5} < 2\frac{1}{3} < 3\frac{1}{2}$

Antwort: $1\frac{4}{5} < 2\frac{1}{3} < 3\frac{1}{2}$ . Obwohl $\frac{4}{5}$ der größte Bruchteil ist, ist $1\frac{4}{5}$ die kleinste Zahl.

Häufige Fehler

Zu denken, ein unechter Bruch wie $\frac{13}{6}$ sei klein, weil er wie ein gewöhnlicher Bruch aussieht

Warum es falsch ist: Ein Bruch, dessen Zähler größer als der Nenner ist, ist größer als 1. $\frac{13}{6}$ ist sogar größer als 2.

Richtig: Wandle ihn zuerst um: $\frac{13}{6} = 2\frac{1}{6}$ , und das ist größer als $1\frac{3}{4}$ .

Nach den Bruchteilen zu ordnen und die Ganzen zu übersehen, zum Beispiel $2\frac{1}{4} < 1\frac{7}{8}$

Warum es falsch ist: Der Bruchteil ist immer kleiner als 1, er kann also nie ein Ganzes weniger ausgleichen.

Richtig: Sortiere zuerst nach den Ganzen: $1\frac{7}{8} < 2\frac{1}{4}$ , weil $1 < 2$ .

Zu denken, ein größerer Nenner bedeute eine größere Zahl, zum Beispiel $2\frac{1}{8} > 2\frac{1}{5}$

Warum es falsch ist: Bei gleichem Zähler bedeutet ein größerer Nenner kleinere Stücke.

Richtig: $\frac{1}{8} < \frac{1}{5}$ , also $2\frac{1}{8} < 2\frac{1}{5}$ .

Die Reihenfolge in der falschen Richtung aufzuschreiben

Warum es falsch ist: Gefragt war vom größten zum kleinsten (oder die schnellste Zeit zuerst), aber aus Gewohnheit wurde aufsteigend geordnet.

Richtig: Lies die Frage vor dem Antworten noch einmal: absteigend schreibt man mit $>$ , aufsteigend mit $<$ . Die schnellste Zeit ist die kleinste Zahl.

Warum es wichtig ist

Mehrere Messwerte zu ordnen, brauchst du ständig:

Holzarbeiten: Bretter mit $2\frac{5}{8}$ m, $\frac{17}{6}$ m und $3\frac{1}{10}$ m müssen vor dem Zuschneiden vom längsten zum kürzesten sortiert werden.
Sport: Laufzeiten wie $\frac{11}{4}$ Stunden und $2\frac{2}{3}$ Stunden werden geordnet, um Sieger und Podest zu bestimmen.
Kochen: Rezepte geben Mengen wie $1\frac{3}{4}$ Tassen und $\frac{5}{3}$ Tassen an, und du willst wissen, wovon du am meisten brauchst.
Naturwissenschaften: Messergebnisse eines Versuchs werden der Größe nach geordnet, um ein Muster zu erkennen.

In der Lektion Gemischte Zahlen vergleichen hast du zwei Zahlen verglichen. Hier ordnest du eine ganze Liste auf einmal, auch wenn einige Zahlen als unechte Brüche geschrieben sind.

Anwendungen im echten Leben

Holzarbeiten und Bauen

Schreiner sortieren Bretter vor dem Zuschneiden nach Länge, damit die längsten Bretter für die längsten Teile verwendet werden.

Beispiel:

Bretter mit $2\frac{1}{2}$ m, $\frac{9}{4}$ m und $2\frac{3}{5}$ m: Da $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$ ist, lautet die Reihenfolge vom kürzesten zum längsten $\frac{9}{4} < 2\frac{1}{2} < 2\frac{3}{5}$ .

1Probiere es selbst

Drei Bretter sind $3\frac{3}{8}$ m, $\frac{10}{3}$ m und $3\frac{2}{5}$ m lang.

Welches Brett ist am längsten?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe $3\frac{3}{8}$ als Ganze plus Bruchteil, damit ein Taschenrechner daraus eine Dezimalzahl machen kann:

Ergebnisse von Rennen

Veranstalter ordnen die Zielzeiten von der kleinsten zur größten, um Sieger und Podest zu bestimmen.

Beispiel:

Zeiten von $1\frac{1}{2}$ h, $\frac{7}{5}$ h und $1\frac{3}{4}$ h: Da $\frac{7}{5} = 1{,}4$ , $1\frac{1}{2} = 1{,}5$ und $1\frac{3}{4} = 1{,}75$ ist, gewinnt die Person mit $\frac{7}{5}$ h.

2Probiere es selbst

Bei einem Geländelauf kommt Lea nach $\frac{9}{4}$ h ins Ziel, Tom nach $2\frac{1}{3}$ h und Sam nach $2\frac{1}{6}$ h.

Wie lautet die Siegerzeit (die kleinste Zeit)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe Leas Zeit $\frac{9}{4}$ als Division, die du in einen Taschenrechner tippen kannst:

Kochen und Backen

Wer kocht, vergleicht die Mengen im Rezept, um zu sehen, wovon am meisten gebraucht wird und was zuerst eingekauft werden muss.

Beispiel:

Ein Brotrezept braucht $\frac{7}{2}$ Tassen Mehl, $1\frac{1}{4}$ Tassen Wasser und $\frac{3}{4}$ Tasse Körner: $\frac{3}{4} < 1\frac{1}{4} < \frac{7}{2}$ , also ist Mehl die größte Menge.

3Probiere es selbst

Ein Müslirezept braucht $\frac{11}{8}$ Tassen Haferflocken, $1\frac{1}{3}$ Tassen Milch, $1\frac{1}{2}$ Tassen Mehl und $\frac{5}{4}$ Tassen Nüsse.

Welche Menge ist die zweitkleinste?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Schreibe die Haferflockenmenge $\frac{11}{8}$ als Division, die du in einen Taschenrechner tippen kannst:

Wichtige Erkenntnisse

1Aufsteigend heißt vom kleinsten zum größten ( $<$ ), absteigend heißt vom größten zum kleinsten ( $>$ )
2Wandle zuerst jeden unechten Bruch in eine gemischte Zahl um, zum Beispiel $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$
3Sortiere nach den Ganzen: Mehr Ganze bedeuten immer eine größere Zahl
4Sind die Ganzen gleich, vergleiche die Bruchteile mit einem gemeinsamen Nenner oder mit dem Referenzbruch $\frac{1}{2}$
5Alle Zahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln ist ein weiterer sicherer Weg zum Ordnen
6Schreibe die Reihenfolge mit den Zahlen genau so, wie sie gegeben waren, und achte auf die verlangte Richtung

Häufig gestellte Fragen

Muss ich unechte Brüche in gemischte Zahlen umwandeln?

So siehst du die Ganzen am schnellsten. Du kannst auch jede gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln (zum Beispiel

2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}

) und mit einem gemeinsamen Nenner vergleichen, aber dann werden die Zahlen größer.

Was ist, wenn zwei Zahlen in der Liste gleich sind?

Dann teilen sie sich denselben Platz in der Reihenfolge. Zum Beispiel ist

\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}

, also schreibst du

2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}

direkt nebeneinander.

Wann sind Dezimalzahlen besser als ein gemeinsamer Nenner?

Dezimalzahlen sind praktisch, wenn die Nenner kein kleines gemeinsames Vielfaches haben, etwa 7, 8 und 10, oder wenn du einen Taschenrechner hast. Bei Halben, Dritteln, Vierteln und Sechsteln ist ein gemeinsamer Nenner besser, weil er genaue Ergebnisse liefert.

Wohin gehört eine ganze Zahl wie 3?

Eine ganze Zahl ist eine gemischte Zahl mit dem Bruchteil 0. Also gilt

2\frac{9}{10} < 3 < 3\frac{1}{9}

Glossar

Gemischte Zahl: Eine ganze Zahl und ein echter Bruch zusammen, zum Beispiel $2\frac{3}{4}$
Unechter Bruch: Ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, zum Beispiel $\frac{11}{4}$
Aufsteigende Reihenfolge: Vom kleinsten zum größten, geschrieben mit $<$
Absteigende Reihenfolge: Vom größten zum kleinsten, geschrieben mit $>$
Gemeinsamer Nenner: Ein Nenner, den mehrere Brüche teilen, sodass man ihre Zähler direkt vergleichen kann
Referenzbruch: Ein bekannter Bruch wie $\frac{1}{2}$ , der als Bezugspunkt dient, um andere Brüche schnell zu vergleichen

Formelkarte

Unechter Bruch in gemischte Zahl

\frac{a}{b} = q\frac{r}{b}

mit

a = q \times b + r

Teile den Zähler durch den Nenner: Der Quotient $q$ sind die Ganzen, der Rest $r$ ist der neue Zähler.

Zuerst die Ganzen

q_1 < q_2 \Rightarrow q_1\frac{r_1}{b_1} < q_2\frac{r_2}{b_2}

Weniger Ganze ergeben immer eine kleinere Zahl, egal wie die Bruchteile aussehen.

Gleiche Ganze

q\frac{r_1}{b} < q\frac{r_2}{b} \iff r_1 < r_2

Bei gleichen Ganzen und gemeinsamem Nenner vergleichst du die Zähler.

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Leitfaden für Lehrer: Gemischte Zahlen ordnen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Holzarbeiten und Bauen

Ergebnisse von Rennen

Kochen und Backen

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Unechter Bruch in gemischte Zahl

Zuerst die Ganzen

Gleiche Ganze

Mehr zu diesem Thema

Brüche mit gleichem Nenner vergleichen

Brüche mit gleichem Zähler vergleichen

Brüche auf dem Zahlenstrahl

Gemischte Zahlen vergleichen