WSW- und WWS-Kongruenz

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wofür steht das 'S' im WSW-Kongruenzsatz?
1. a)Summe
2. b)Seite (zwischen den Winkeln)
3. c)Gerade
4. d)Ähnlich
Lösung: Seite (zwischen den Winkeln)
WSW steht für Winkel-Seite-Winkel. Das 'S' steht für eine Seite, die zwischen den beiden Winkeln eingeschlossen ist.
2.
Was ist der Hauptunterschied zwischen WSW und WWS?
1. a)Position der bekannten Seite relativ zu den Winkeln
2. b)Größe der Winkel
3. c)Art des Dreiecks
4. d)Anzahl der bekannten Winkel
Lösung: Position der bekannten Seite relativ zu den Winkeln
Bei WSW liegt die bekannte Seite zwischen den beiden bekannten Winkeln (eingeschlossene Seite). Bei WWS liegt die bekannte Seite nicht zwischen den beiden Winkeln (nicht eingeschlossene Seite).
3.
Warum kann WWW (drei Winkel) keine Dreieckskongruenz beweisen?
1. a)Winkel bestimmen nicht die Form
2. b)Drei Winkel sind nicht genug Information
3. c)Es funktioniert nur bei rechtwinkligen Dreiecken
4. d)Dreiecke können gleiche Winkel aber unterschiedliche Größen haben
Lösung: Dreiecke können gleiche Winkel aber unterschiedliche Größen haben
WWW beweist nur Ähnlichkeit, nicht Kongruenz. Ähnliche Dreiecke haben die gleichen Winkel, können aber unterschiedliche Größen haben (wie eine kleine und große Version der gleichen Form). Du brauchst mindestens eine Seite, um Kongruenz zu beweisen.
4.
Im Dreieck ist und . Wie groß ist ?
Lösung: 65
. Deshalb gibt uns die Kenntnis von zwei Winkeln automatisch den dritten Winkel!
5.
Dreieck hat und . Wie groß ist ?
Lösung: 45
. Die Winkel in jedem Dreieck ergeben zusammen immer 180 Grad.
6.
Dreieck hat , , cm. Dreieck hat , , cm. Welcher Satz beweist die Kongruenz?
1. a)WSW
2. b)SWS
3. c)WWS
4. d)SSS
Lösung: WSW
Seite liegt zwischen den Winkeln und (es ist die eingeschlossene Seite). Ebenso liegt zwischen den Winkeln und . Dies ist WSW: zwei Winkel und die eingeschlossene Seite.
7.
Dreieck hat , , cm. Dreieck hat , , cm. Welcher Satz beweist die Kongruenz?
1. a)WSW
2. b)SSS
3. c)WWS
4. d)SWS
Lösung: WWS
Seite liegt NICHT zwischen den Winkeln und - sie liegt gegenüber dem Winkel . Wir kennen die Winkel und und eine nicht eingeschlossene Seite . Dies ist WWS.
8.
Wenn nach WSW mit , , wie groß ist in Grad?
Lösung: 65
Zuerst, . Da , sind entsprechende Winkel gleich: .
9.
Bestimme, ob die Dreiecke kongruent sind: mit , , cm und mit , , cm.
Lösung: ASA
1. Sind die beiden gegebenen Winkel in jedem Dreieck gleich? ja
2. Seite AC verbindet welche zwei Winkel? A und C
3. Liegt die Seite zwischen den beiden bekannten Winkeln (eingeschlossen)? ja
4. Welcher Kongruenzsatz gilt? WSW
10.
Bestimme den Satz: mit , , cm und mit , , cm.
Lösung: AAS
1. Stimmen die Winkel M und P überein? Und N und Q? ja
2. Seite NO verbindet die Eckpunkte N und O. Ist Winkel M am Eckpunkt N oder O? keiner
3. Liegt also die Seite NO zwischen den bekannten Winkeln M und N? nein
4. Zwei Winkel und eine nicht eingeschlossene Seite bedeutet welchen Satz? WWS
11.
Dreieck hat , . Dreieck hat , . Wenn , kannst du die Kongruenz der Dreiecke beweisen?
1. a)Ja, nach SWS
2. b)Nein, die Winkel stimmen nicht überein
3. c)Ja, nach WSW
4. d)Ja, nach WWS
Lösung: Ja, nach WSW
In : . In : . Beide Dreiecke haben die Winkel 55°, 65°, 60°. Die Seite liegt zwischen den Winkeln und . Die Seite liegt zwischen den Winkeln und . Da und die angrenzenden Winkel übereinstimmen (55° und 65° auf beiden Seiten), sind die Dreiecke nach WSW kongruent.
12.
Zwei Dreiecke sind nach WWS kongruent. Dreieck 1 hat Winkel von und , wobei die Seite gegenüber dem -Winkel cm misst. Wie lang ist die entsprechende Seite in Dreieck 2?
Lösung: 9
Wenn Dreiecke kongruent sind, sind ALLE entsprechenden Teile gleich. Die Seite gegenüber dem -Winkel in Dreieck 1 entspricht der Seite gegenüber dem -Winkel in Dreieck 2. Da sie kongruent sind, sind beide Seiten cm.
13.
Gegeben: und , wobei , und . Beweise, dass die Dreiecke kongruent sind, und identifiziere den verwendeten Satz.
Lösung: AAS
1. Wie viele Paare kongruenter Winkel haben wir? 2
2. Seite BC verbindet welche zwei Eckpunkte von Dreieck ABC? B und C
3. Ist Winkel A am Eckpunkt B oder Eckpunkt C? keiner
4. Liegt BC also zwischen den Winkeln A und B, oder ist es eine nicht eingeschlossene Seite? nicht eingeschlossen
5. Welcher Satz beweist diese Kongruenz? WWS
14.
In ist , , cm. In ist , , cm. Finde alle Seitenlängen von , wenn cm und cm.
Lösung: XY = 6, YZ = 9, XZ = 7
1. Welcher Kongruenzsatz gilt hier? WSW
2. Welcher Eckpunkt von XYZ entspricht A? X
3. Welche Seite von XYZ entspricht BC? YZ
4. Wie groß ist YZ? 9
5. Welche Seite von XYZ entspricht AC? XZ
6. Wie groß ist XZ? 7
15.
Warum ist WWS eigentlich nur ein Spezialfall von WSW?
1. a)Beide brauchen nur zwei Messungen
2. b)Sie verwenden die gleiche Anzahl an Informationen
3. c)Die Kenntnis von zwei Winkeln bestimmt den dritten, also kennst du eigentlich den eingeschlossenen Winkel
4. d)Sie sind völlig verschiedene Sätze
Lösung: Die Kenntnis von zwei Winkeln bestimmt den dritten, also kennst du eigentlich den eingeschlossenen Winkel
Da die Winkelsumme im Dreieck immer beträgt, kennst du automatisch den dritten Winkel, wenn du zwei Winkel kennst. Bei WWS kennst du, sobald du die beiden gegebenen Winkel kennst, auch den dritten Winkel. Das bedeutet, du kennst effektiv alle drei Winkel plus eine Seite. Die Seite, die für die beiden gegebenen Winkel "nicht eingeschlossen" war, ist eigentlich "eingeschlossen" zwischen einem dieser Winkel und dem dritten Winkel, den du berechnet hast. Also reduziert sich WWS auf WSW!