SSS- und SWS-Ähnlichkeit

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Welches Dreieck ist ähnlich zu einem Dreieck mit den Seiten $2$ , $3$ und $4$ ?
1. a)4; 6; 8
2. b)4; 5; 6
3. c)3; 4; 5
4. d)4; 6; 9
Lösung: 4; 6; 8
$\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = 2$ , also ist das Dreieck mit den Seiten $4$ , $6$ , $8$ nach der SSS-Ähnlichkeit ähnlich mit $k = 2$ . Bei $3$ , $4$ , $5$ sind die Verhältnisse $1{,}5$ , $1{,}33$ , $1{,}25$ , bei $4$ , $5$ , $6$ sind sie $2$ , $1{,}67$ , $1{,}5$ und bei $4$ , $6$ , $9$ sind sie $2$ , $2$ , $2{,}25$ .
2.
$\triangle ABC$ hat die Seiten $5$ , $7$ , $8$ und $\triangle DEF$ hat die Seiten $15$ , $21$ , $24$ . Die Dreiecke sind ähnlich. Wie groß ist der Streckfaktor $k$ von $\triangle ABC$ zu $\triangle DEF$ ?
Lösung: 3
$\frac{15}{5} = \frac{21}{7} = \frac{24}{8} = 3$ , also $k = 3$ .
3.
Ein Dreieck hat die Seiten $3$ , $5$ , $6$ und ein anderes die Seiten $9$ , $15$ , $18$ . Prüfe alle drei Verhältnisse mit der SSS-Ähnlichkeit und bestimme den Streckfaktor.
Lösung: 3
1. Wie groß ist das Verhältnis der kürzesten Seiten, $\frac{9}{3}$ ? 3
2. Wie groß ist das Verhältnis der mittleren Seiten, $\frac{15}{5}$ ? 3
3. Wie groß ist das Verhältnis der längsten Seiten, $\frac{18}{6}$ ? 3
4. Sind alle drei Verhältnisse gleich, sodass die Dreiecke ähnlich sind? Gib 1 für ja oder 0 für nein ein. 1
4.
Für $\triangle ABC$ und $\triangle DEF$ weißt du $\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC} = 2$ und $\angle A = \angle D$ . Welcher Satz beweist, dass die Dreiecke ähnlich sind?
1. a)SWS-Ähnlichkeit
2. b)AA-Ähnlichkeit
3. c)SSS-Ähnlichkeit
4. d)Zu wenig Angaben
Lösung: SWS-Ähnlichkeit
Zwei Seitenpaare haben dasselbe Verhältnis $2$ , und $\angle A$ ist der von $AB$ und $AC$ eingeschlossene Winkel ( $\angle D$ von $DE$ und $DF$ ). Das ist die SWS-Ähnlichkeit. AA braucht zwei Winkel, SSS drei Seiten.
5.
$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ mit dem Streckfaktor $k = 2$ von $\triangle ABC$ zu $\triangle DEF$ . Wenn $AB = 6$ ist, wie lang ist $DE$ ?
Lösung: 12
$DE = k \cdot AB = 2 \cdot 6 = 12$ .
6.
$\triangle ABC$ hat die Seiten $8$ , $4$ , $6$ und $\triangle DEF$ die Seiten $9$ , $12$ , $6$ . Ordne die Seiten richtig zu und bestimme den Streckfaktor von $\triangle ABC$ zu $\triangle DEF$ .
Lösung: 1.5
1. Welche ist die kürzeste Seite von $\triangle ABC$ ? 4
2. Welche ist die kürzeste Seite von $\triangle DEF$ ? 6
3. Wie groß ist das Verhältnis der kürzesten Seiten, $\frac{6}{4}$ ? 1.5
4. Prüfe mit den längsten Seiten: Wie groß ist $\frac{12}{8}$ ? 1.5
7.
Zwei Dreiecke sind ähnlich mit dem Streckfaktor $k = 3$ . Das kleinere hat einen Flächeninhalt von $5$ cm². Wie groß ist der Flächeninhalt des größeren?
1. a)45 cm²
2. b)30 cm²
3. c)15 cm²
4. d)9 cm²
Lösung: 45 cm²
Das Flächenverhältnis ist $k^2 = 3^2 = 9$ , also ist der Flächeninhalt $5 \cdot 9 = 45$ cm². $15$ cm² wäre der Fehler, $k$ statt $k^2$ zu nehmen.
8.
Zwei ähnliche Dreiecke haben den Streckfaktor $k = 2{,}5$ vom kleineren zum größeren. Das kleinere Dreieck hat einen Umfang von $18$ cm. Wie groß ist der Umfang des größeren Dreiecks in cm?
Lösung: 45
Umfänge wachsen mit demselben Faktor wie die Seiten: $18 \cdot 2{,}5 = 45$ cm.
9.
$\triangle ABC$ : $AB = 3$ , $AC = 5$ , $\angle A = 120°$ , $BC = 7$ . $\triangle DEF$ : $DE = 9$ , $DF = 15$ , $\angle D = 120°$ . Zeige, dass die Dreiecke ähnlich sind, und berechne $EF$ .
Lösung: 21
1. Wie groß ist $\frac{DE}{AB}$ ? 3
2. Wie groß ist $\frac{DF}{AC}$ ? 3
3. Ist $\angle A$ der von $AB$ und $AC$ eingeschlossene Winkel? Gib 1 für ja oder 0 für nein ein. 1
4. Die Dreiecke sind nach SWS ähnlich mit $k = 3$ . Wie groß ist $EF = 3 \cdot BC$ ? 21
10.
$\triangle ABC$ : $AB = 6$ , $AC = 9$ , $\angle A = 40°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 8$ , $DF = 12$ , $\angle D = 40°$ . Was kannst du folgern?
1. a)Zu wenig Angaben
2. b)Ähnlich nach der SSS-Ähnlichkeit, $k = \frac{4}{3}$
3. c)Ähnlich nach der SWS-Ähnlichkeit, $k = \frac{4}{3}$
4. d)Nicht ähnlich, die Seitenverhältnisse sind verschieden
Lösung: Ähnlich nach der SWS-Ähnlichkeit, $k = \frac{4}{3}$
$\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ und $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ , und die $40°$ -Winkel liegen zwischen diesen Seiten. Also sind die Dreiecke nach der SWS-Ähnlichkeit ähnlich mit $k = \frac{4}{3}$ . SSS geht nicht, weil die dritten Seiten nicht gegeben sind.
11.
$\triangle ABC$ hat die Seiten $6$ , $8$ , $10$ . Ein ähnliches Dreieck hat die Seiten $9$ , $12$ und $x$ , wobei $x$ seine längste Seite ist. Berechne $x$ .
Lösung: 15
$k = \frac{9}{6} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ , also $x = 10 \cdot 1{,}5 = 15$ .
12.
Die Dreiecke mit den Seiten $4$ , $6$ , $9$ und $6$ , $x$ , $13{,}5$ sind ähnlich (Seiten von der kürzesten zur längsten). Berechne $x$ .
Lösung: 9
1. Wie groß ist $k$ aus den kürzesten Seiten, $\frac{6}{4}$ ? 1.5
2. Prüfe mit den längsten Seiten: Wie groß ist $\frac{13{,}5}{9}$ ? 1.5
3. Wie lang ist die mittlere Seite $x = 6 \cdot k$ ? 9
13.
Im $\triangle ABC$ liegt der Punkt $D$ auf $AB$ und der Punkt $E$ auf $AC$ . $AD = 3$ , $AB = 9$ , $AE = 4$ , $AC = 12$ und $DE = 5$ . Berechne $BC$ .
Lösung: 15
1. Wie groß ist $\frac{AD}{AB}$ ? Schreibe es als Bruch. 1/3
2. Wie groß ist $\frac{AE}{AC}$ ? Schreibe es als Bruch. 1/3
3. Nach SWS gilt $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ . Wie groß ist der Streckfaktor von $\triangle ADE$ zu $\triangle ABC$ ? 3
4. Wie groß ist $BC = 3 \cdot DE$ ? 15
14.
$\triangle ABC$ : $AB = 4$ , $BC = 6$ , $\angle C = 30°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 8$ , $EF = 12$ , $\angle F = 30°$ . Sind die Dreiecke ähnlich?
1. a)Ja, nach der SWS-Ähnlichkeit
2. b)Nein, die Seitenverhältnisse sind verschieden
3. c)Nicht entscheidbar: Der Winkel liegt nicht zwischen den beiden gegebenen Seiten
4. d)Ja, nach der SSS-Ähnlichkeit
Lösung: Nicht entscheidbar: Der Winkel liegt nicht zwischen den beiden gegebenen Seiten
Beide Seitenverhältnisse sind $2$ , aber der Winkel zwischen $AB$ und $BC$ ist $\angle B$ , nicht $\angle C$ . Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel (SSW) legen die Form nicht fest: Hier könnte $\angle A$ etwa $49°$ oder etwa $131°$ sein. Die SWS-Ähnlichkeit gilt also nicht, und du kannst es nicht entscheiden.
15.
$\triangle ABC$ : $AB = 8$ , $BC = 12$ , $\angle B = 55°$ . $\triangle DEF$ : $DE = 6$ , $EF = x$ , $\angle E = 55°$ . Für welchen Wert von $x$ sind die Dreiecke nach der SWS-Ähnlichkeit ähnlich (mit $AB \leftrightarrow DE$ und $BC \leftrightarrow EF$ )?
Lösung: 9
$k = \frac{DE}{AB} = \frac{6}{8} = 0{,}75$ . Die eingeschlossenen Winkel $B$ und $E$ sind gleich, also brauchen wir $\frac{x}{12} = 0{,}75$ , das ergibt $x = 9$ .
16.
$\triangle ABC$ hat die Seiten $5$ , $12$ , $13$ und einen rechten Winkel zwischen den Seiten $5$ und $12$ . Ein ähnliches Dreieck $\triangle DEF$ hat die kürzeste Seite $15$ . Berechne den Umfang und dann den Flächeninhalt von $\triangle DEF$ .
Lösung: 270
1. Wie groß ist der Streckfaktor $k$ von $\triangle ABC$ zu $\triangle DEF$ ? 3
2. Wie groß ist der Umfang von $\triangle ABC$ ? 30
3. Wie groß ist der Umfang von $\triangle DEF$ ? 90
4. Wie groß ist der Flächeninhalt von $\triangle ABC$ ? (Die Katheten $5$ und $12$ sind Grundseite und Höhe.) 30
5. Wie groß ist der Flächeninhalt von $\triangle DEF$ ? 270
17.
Im $\triangle ABC$ liegt der Punkt $D$ auf $AB$ und der Punkt $E$ auf $AC$ . $AD = 6$ , $DB = 4$ , $AE = 9$ , $EC = 6$ und $DE = 12$ . Zeige, dass $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ , und berechne $BC$ .
Lösung: 20
1. Wie lang ist die ganze Seite $AB$ ? 10
2. Wie lang ist die ganze Seite $AC$ ? 15
3. Wie groß ist $\frac{AD}{AB}$ als Dezimalzahl? 0.6
4. Wie groß ist $\frac{AE}{AC}$ als Dezimalzahl? 0.6
5. Gleiches Verhältnis und gemeinsamer Winkel $A$ : SWS. Wie groß ist $BC = \frac{DE}{0{,}6}$ ? 20
18.
Zwei ähnliche Dreiecke haben die Flächeninhalte $20$ cm² und $45$ cm². Die kürzeste Seite des kleineren Dreiecks ist $4$ cm lang. Wie lang ist die kürzeste Seite des größeren Dreiecks in cm?
Lösung: 6
1. Wie groß ist das Flächenverhältnis $\frac{45}{20}$ ? 2.25
2. Das Flächenverhältnis ist $k^2$ . Wie groß ist $k$ ? 1.5
3. Wie lang ist die kürzeste Seite des größeren Dreiecks, $4 \cdot k$ ? 6