Leitfaden für Lehrer: SSS- und SWS-Ähnlichkeit

Beweise die Ähnlichkeit von Dreiecken über Seitenverhältnisse (SSS) oder zwei Seitenverhältnisse und den eingeschlossenen Winkel (SWS) und nutze den Streckfaktor.

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10 Fragen zu Kongruenz & Ähnlichkeit. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Die SSS- und SWS-Ähnlichkeit formulieren und damit beweisen, dass zwei Dreiecke ähnlich sind
Entsprechende Seiten richtig zuordnen, indem man sie von der kürzesten zur längsten sortiert
Den Streckfaktor bestimmen und damit fehlende Seitenlängen berechnen
Das Umfangsverhältnis $k$ und das Flächenverhältnis $k^2$ ähnlicher Dreiecke anwenden
Entscheiden, ob AA-, SSS- oder SWS-Ähnlichkeit gilt, auch bei verschachtelten Dreiecken mit gemeinsamem Winkel

Voraussetzungen

• Einführung in die Ähnlichkeit: ähnliche Figuren und der Streckfaktor
• AA-Ähnlichkeit: Ähnlichkeit von Dreiecken mit zwei Winkelpaaren beweisen
• SSS-Kongruenz und SWS-Kongruenz: gleich lange Seiten und der eingeschlossene Winkel
• Verhältnisse kürzen und einfache Verhältnisgleichungen lösen

Diskussionsstarter

1. Warum reichen drei Seitenverhältnisse, um Ähnlichkeit zu beweisen, während drei Winkel nichts über die Größe verraten?
2. SSS-Kongruenz und SSS-Ähnlichkeit tragen denselben Namen. Was ist gleich, was ist anders?
3. Wenn du jede Seite eines Dreiecks verdoppelst, warum verdoppelt sich die Fläche dann nicht einfach?
4. Kannst du zwei verschiedene Dreiecke mit zwei Seiten $4$ und $6$ und einem $30°$ -Winkel zeichnen, der nicht zwischen ihnen liegt?

Häufige Missverständnisse

Die Seiten in der Reihenfolge zuordnen, in der sie in der Aufgabe stehen

Abhilfe: Lass die Lernenden vor jeder SSS-Prüfung die Seiten beider Dreiecke von der kürzesten zur längsten sortiert neu aufschreiben, und zeige das Beispiel $4, 6, 8$ gegen $12, 9, 6$ , bei dem die gegebene Reihenfolge drei verschiedene Verhältnisse liefert.

Jeder Winkel plus zwei verhältnisgleiche Seiten ist SWS

Abhilfe: Lass die Lernenden aus denselben zwei Seiten und einem nicht eingeschlossenen Winkel zwei verschiedene Dreiecke bauen (mit Strohhalmen oder Geometriesoftware). Betone das Wort eingeschlossen: Der Winkel muss zwischen den beiden Seiten liegen.

Die Fläche wächst wie die Seiten mit $k$

Abhilfe: Zeichne ein Dreieck auf Karopapier, vergrößere es mit $k = 2$ und zähle die Kästchen: Die Fläche ist $4$ -mal so groß. Wiederhole es mit $k = 3$ und komme auf $9$ .

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Seitenlängen schon sortiert und mit ganzzahligen Streckfaktoren vorgeben
• Für jede SSS-Prüfung eine Verhältnistabelle mit drei Spalten (kurz, mittel, lang) nutzen
• Bei SWS-Aufgaben den eingeschlossenen Winkel und seine beiden Seiten farbig markieren

Für Schüler auf Niveau:

• SSS-, SWS- und AA-Aufgaben mischen und zuerst den passenden Satz nennen lassen
• Fehlende Seiten in verschachtelten Dreiecken mit gemeinsamem Winkel berechnen
• Umfangsverhältnis und Flächenverhältnis in Textaufgaben anwenden

Für fortgeschrittene Schüler:

• Den Streckfaktor aus einem Flächenverhältnis bestimmen, zum Beispiel $k = \sqrt{\frac{75}{12}} = 2{,}5$
• Beweisen, dass eine Parallele zu einer Dreiecksseite ein ähnliches Dreieck abschneidet, zuerst mit AA, dann mit SWS
• Untersuchen, wann SSW die Form doch festlegt (Winkel gegenüber der längeren Seite)

Standardausrichtung

HSG.SRT.A.2 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.A.2)
Mit der Definition der Ähnlichkeit über Ähnlichkeitsabbildungen entscheiden, ob zwei Figuren ähnlich sind
HSG.SRT.B.5 (CCSS.MATH.CONTENT.HSG.SRT.B.5)
Kongruenz- und Ähnlichkeitssätze für Dreiecke nutzen, um Probleme zu lösen und Beziehungen in geometrischen Figuren zu beweisen
7.G.A.1 (CCSS.MATH.CONTENT.7.G.A.1)
Aufgaben zu maßstäblichen Zeichnungen lösen, einschließlich der Berechnung tatsächlicher Längen und Flächen

Lektionsressourcen

visualÄhnliches Dreieckspaar
Die Lernenden verändern den Streckfaktor mit dem Schieberegler und wechseln zwischen AA, SSS und SWS, um zu sehen, welche Teile jeder Satz markiert
activityDreiecke aus Strohhalmen
Gruppen schneiden Strohhalme in die Längen 4, 6, 8 und 6, 9, 12 (in cm), bauen beide Dreiecke und prüfen, ob die Winkel übereinstimmen
worksheetWelcher Satz?
Zwölf Dreieckspaare mit Angaben: Die Lernenden entscheiden AA, SSS, SWS oder zu wenig Angaben und bestimmen dann den Streckfaktor

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Bei der AA-Ähnlichkeit hast du die Ähnlichkeit nur mit Winkeln bewiesen. Jetzt machst du es mit Seiten. Zur Erinnerung: Ähnliche Dreiecke haben die gleiche Form, ihre entsprechenden Seiten stehen im gleichen Verhältnis, dem Streckfaktor

k

(auch Ähnlichkeitsfaktor).

SSS-Ähnlichkeit (Seite-Seite-Seite): Stehen alle drei Paare entsprechender Seiten im gleichen Verhältnis, dann sind die Dreiecke ähnlich.

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = k \quad\Rightarrow\quad \triangle ABC \sim \triangle DEF

SWS-Ähnlichkeit (Seite-Winkel-Seite): Stehen zwei Paare entsprechender Seiten im gleichen Verhältnis und ist der eingeschlossene Winkel (der Winkel zwischen diesen beiden Seiten) gleich groß, dann sind die Dreiecke ähnlich.

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k \text{ und } \angle B = \angle E \quad\Rightarrow\quad \triangle ABC \sim \triangle DEF

So ordnest du die Seiten zu: Wenn du nur die Längen kennst, sortiere die Seiten jedes Dreiecks von der kürzesten zur längsten und bilde die Paare in dieser Reihenfolge: kürzeste mit kürzester, mittlere mit mittlerer, längste mit längster.

Sobald du weißt, dass die Dreiecke ähnlich sind:

jede Seite des Bilddreiecks ist $k$ -mal so lang wie die entsprechende Seite
das Umfangsverhältnis ist $k$
das Flächenverhältnis ist $k^2$

Vergleich mit der Kongruenz: SSS- und SWS-Kongruenz verlangen gleich lange Seiten (

k = 1

), SSS- und SWS-Ähnlichkeit nur verhältnisgleiche Seiten.

Lösungsbeispiele

\triangle ABC

hat die Seiten

AB = 4

BC = 6

CA = 8

\triangle DEF

hat die Seiten

DE = 6

EF = 9

FD = 12

. Sind die Dreiecke ähnlich?

Sortiere die Seiten jedes Dreiecks von der kürzesten zur längsten

\triangle ABC

4, 6, 8

\triangle DEF

6, 9, 12

→ Paare:

4 \leftrightarrow 6

6 \leftrightarrow 9

8 \leftrightarrow 12

Teile jede Seite von $\triangle DEF$ durch die entsprechende Seite von $\triangle ABC$

\frac{6}{4} = 1{,}5

\frac{9}{6} = 1{,}5

\frac{12}{8} = 1{,}5

→ Alle drei Verhältnisse sind

1{,}5

Wende die SSS-Ähnlichkeit an

Drei gleiche Verhältnisse, also sind die Seiten verhältnisgleich →

\triangle ABC \sim \triangle DEF

k = 1{,}5

Antwort: Ja, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ nach der SSS-Ähnlichkeit mit dem Streckfaktor $k = 1{,}5$ .

Häufige Fehler

Die Seiten in der angegebenen Reihenfolge zuordnen, zum Beispiel $4, 6, 8$ mit $12, 9, 6$ , und die Verhältnisse $3$ , $1{,}5$ , $0{,}75$ erhalten

Warum es falsch ist: Die Reihenfolge, in der die Längen aufgeschrieben sind, sagt nichts darüber, welche Seiten sich entsprechen. Falsche Paare ergeben verschiedene Verhältnisse, selbst bei ähnlichen Dreiecken.

Richtig: Sortiere zuerst beide Dreiecke von der kürzesten zur längsten Seite: $4, 6, 8$ und $6, 9, 12$ . Dann sind alle Verhältnisse $1{,}5$ .

SWS mit einem Winkel verwenden, der nicht zwischen den beiden Seiten liegt

Warum es falsch ist: Zwei verhältnisgleiche Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel (SSW) legen die Form nicht fest: Zwei verschiedene Dreiecke können dieselben zwei Seiten und denselben Winkel gegenüber einer von ihnen haben.

Richtig: Prüfe, dass der gleich große Winkel genau von den beiden verglichenen Seiten gebildet wird. Sonst gilt die SWS-Ähnlichkeit nicht.

Glauben, dass auch das Flächenverhältnis $k$ ist

Warum es falsch ist: Eine Fläche ist Länge mal Länge, also wachsen beide Faktoren mit $k$ : Die Fläche wächst mit $k \cdot k = k^2$ .

Richtig: Umfangsverhältnis $= k$ , Flächenverhältnis $= k^2$ . Bei $k = 3$ ist die Fläche $9$ -mal so groß, nicht $3$ -mal.

Bei einem Paar groß durch klein teilen und bei einem anderen klein durch groß, zum Beispiel $\frac{6}{4} = 1{,}5$ , aber $\frac{6}{9} \approx 0{,}67$

Warum es falsch ist: Dann sehen die Verhältnisse verschieden aus, obwohl die Seiten verhältnisgleich sind.

Richtig: Teile immer in dieselbe Richtung: Seite des Bilddreiecks durch Seite des Originals (oder bei jedem Paar umgekehrt).

Warum es wichtig ist

Längen lassen sich oft leichter messen als Winkel, und dann brauchst du genau die SSS- und SWS-Ähnlichkeit:

Vermessung: Um die Breite eines Sees zu bestimmen, den man nicht überqueren kann, stecken Vermesser ein kleines Dreieck ab, das einen Winkel mit einem großen Dreieck teilt, und nutzen die SWS-Ähnlichkeit
Technik: Ein Modell eines Dachstuhls oder einer Brücke wird mit demselben Faktor für alle Längen gebaut, sodass es genau die gleiche Form hat wie das Original
Druck und Design: Wird ein Logo vergrößert, wächst jede Länge mit $k$ , aber die benötigte Farbe oder das Material wächst mit $k^2$
Zeichnungen prüfen: Ein Schreiner kann prüfen, ob ein dreieckiger Rahmen zum Plan passt, indem er drei Längenverhältnisse vergleicht, ganz ohne Geodreieck

Wer weiß, dass die Fläche mit

k^2

wächst (nicht mit

k

), vermeidet teure Fehler, zum Beispiel nur doppelt so viel Farbe für eine Wand zu kaufen, die doppelt so breit und doppelt so hoch ist.

Anwendungen im echten Leben

Ein Logo vergrößern

Designer vergrößern Logos so, dass jede Länge mit demselben Streckfaktor wächst. Das vergrößerte Dreieck ist nach der SSS-Ähnlichkeit ähnlich zum Original und behält genau seine Form.

Beispiel:

Ein dreieckiges Logo mit den Seiten $2$ cm, $3$ cm und $4$ cm wird mit $k = 5$ auf ein Plakat gedruckt: Die Seiten werden $10$ cm, $15$ cm und $20$ cm lang.

1Probiere es selbst

Ein dreieckiges Logo hat die Seiten $3$ cm, $4$ cm und $6$ cm. Auf einem Banner soll die kürzeste Seite $7{,}5$ cm lang sein, und das Logo soll seine Form behalten.

Wie lang ist die längste Seite des Logos auf dem Banner (in cm)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere die längste Seite mit dem Streckfaktor:

Über einen See hinweg messen

Vermesser können kein Maßband über das Wasser spannen. Sie markieren zwei Punkte auf Linien, die von einem Eckpunkt weggehen, und nutzen das kleine Dreieck, das den Winkel an der Ecke mit dem großen Dreieck teilt.

Beispiel:

Vom Punkt $A$ führen zwei gerade Wege am See vorbei. Ein kleines Dreieck, dessen Seiten entlang beider Wege $\frac{1}{4}$ so lang sind wie beim großen, teilt den Winkel bei $A$ , also ist der See $4$ -mal so breit wie die kurze Strecke, die an Land gemessen wird.

2Probiere es selbst

Vom Punkt $A$ aus gilt entlang des einen Weges $AD = 20$ m und $AB = 60$ m, entlang des anderen $AE = 25$ m und $AC = 75$ m. $B$ und $C$ liegen an gegenüberliegenden Ufern des Sees. An Land misst man $DE = 18$ m.

Wie breit ist der See, also die Strecke $BC$ (in m)?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere die gemessene Strecke $DE$ mit dem Streckfaktor:

Stoff für ein größeres Segel

Segelmacher vergrößern oder verkleinern bewährte Segelformen. Das neue Segel ist ähnlich zum alten, aber der benötigte Stoff wächst mit dem Flächenverhältnis $k^2$, nicht mit $k$.

Beispiel:

Ein Segel, das an jeder Seite $1{,}5$ -mal so lang ist, braucht $1{,}5^2 = 2{,}25$ -mal so viel Stoff.

3Probiere es selbst

Ein kleines dreieckiges Segel hat die Seiten $3$ m, $4$ m und $5$ m und eine Fläche von $6$ m². Ein neues Segel hat die Seiten $6$ m, $8$ m und $10$ m.

Wie viel Stoff (in m²) braucht das neue Segel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Multipliziere die alte Fläche mit dem Flächenverhältnis:

Wichtige Erkenntnisse

1SSS-Ähnlichkeit: Haben alle drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis $k$ , sind die Dreiecke ähnlich
2SWS-Ähnlichkeit: Zwei Seitenpaare mit demselben Verhältnis $k$ und ein gleich großer eingeschlossener Winkel machen die Dreiecke ähnlich
3Sind nur Längen gegeben, sortiere die Seiten von der kürzesten zur längsten und bilde die Paare in dieser Reihenfolge
4Der Streckfaktor $k$ ist Seite des Bilddreiecks durch Seite des Originals; jede fehlende Seite ist $k$ -mal so lang wie ihr Partner
5Umfangsverhältnis $= k$ , Flächenverhältnis $= k^2$
6Wähle den Satz nach den Angaben: zwei Winkel bedeuten AA, drei Seiten bedeuten SSS, zwei Seiten und der Winkel dazwischen bedeuten SWS

Häufig gestellte Fragen

Wie unterscheidet sich die SSS-Ähnlichkeit von der SSS-Kongruenz?

Die SSS-Kongruenz verlangt drei Paare gleich langer Seiten. Die SSS-Ähnlichkeit verlangt nur drei Seitenpaare im gleichen Verhältnis. Kongruenz ist der Sonderfall

k = 1

Warum muss der Winkel bei SWS der eingeschlossene Winkel sein?

Die beiden Seiten und der Winkel dazwischen legen die Form vollständig fest. Liegt der Winkel woanders (SSW), passen zwei verschiedene Dreiecke zu denselben Angaben, und du kannst nicht auf Ähnlichkeit schließen.

Wann nehme ich AA, SSS oder SWS?

Schau, was gegeben ist. Zwei Paare gleich großer Winkel: AA. Drei Paare von Seitenlängen: SSS. Zwei Paare von Seitenlängen und der Winkel dazwischen: SWS. Bei verschachtelten Dreiecken bekommst du durch einen gemeinsamen Winkel oft den Winkel für AA oder SWS geschenkt.

Ist es egal, durch welches Dreieck ich teile?

Nur der Wert von

k

ändert sich. Groß durch klein ergibt

k > 1

(Vergrößerung), klein durch groß ergibt

k < 1

(Verkleinerung). Beides funktioniert, solange du bei jedem Paar in dieselbe Richtung teilst.

Glossar

SSS-Ähnlichkeit: Stehen alle drei Paare entsprechender Seiten zweier Dreiecke im gleichen Verhältnis, sind die Dreiecke ähnlich
SWS-Ähnlichkeit: Stehen zwei Paare entsprechender Seiten im gleichen Verhältnis und sind die eingeschlossenen Winkel gleich groß, sind die Dreiecke ähnlich
Eingeschlossener Winkel: Der Winkel, den zwei gegebene Seiten eines Dreiecks an ihrem gemeinsamen Eckpunkt bilden
Streckfaktor: Das Verhältnis $k$ einer Seite der einen ähnlichen Figur zur entsprechenden Seite der anderen (auch Ähnlichkeitsfaktor)
Entsprechende Seiten: Seiten, die in zwei ähnlichen oder kongruenten Figuren an derselben Stelle liegen
Flächenverhältnis: Das Verhältnis der Flächeninhalte zweier ähnlicher Figuren, es ist gleich $k^2$

Formelkarte

SSS-Ähnlichkeit

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = k \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Alle drei Seitenverhältnisse sind gleich (Seiten von der kürzesten zur längsten sortiert)

SWS-Ähnlichkeit

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k,\ \angle B = \angle E \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Zwei Seitenverhältnisse sind gleich und die eingeschlossenen Winkel sind gleich groß

Umfangsverhältnis

\frac{U_2}{U_1} = k

Umfänge wachsen mit demselben Faktor wie die Seiten

Flächenverhältnis

\frac{A_2}{A_1} = k^2

Flächen wachsen mit dem Quadrat des Streckfaktors

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Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Ein Logo vergrößern

Über einen See hinweg messen

Stoff für ein größeres Segel

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

SSS-Ähnlichkeit

SWS-Ähnlichkeit

Umfangsverhältnis

Flächenverhältnis

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Kongruente Dreiecke

AA-Ähnlichkeit