Zusammengesetzte boolesche Aussagen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Sei $P$ : "Der Hund hat Hunger" und $Q$ : "Der Hund ist müde". Welche Symbole bedeuten "Der Hund hat Hunger und ist müde"?
1. a) $P \land \neg Q$
2. b) $\neg P \land Q$
3. c) $P \lor Q$
4. d) $P \land Q$
Lösung: $P \land Q$
Beide Teile werden als wahr behauptet und mit *und* verbunden, also lautet die Aussage $P \land Q$ .
2.
$P$ ist wahr und $Q$ ist falsch. Welchen Wahrheitswert hat $P \lor Q$ ? Schreibe 1 für wahr und 0 für falsch.
Lösung: 1
$P \lor Q = 1 \lor 0 = 1$ : Für ODER reicht ein wahrer Teil.
3.
Sei $P$ : "Es schneit" und $Q$ : "Die Schule ist geschlossen". Welcher Satz passt zu $\neg P \land Q$ ?
1. a)Es schneit nicht und die Schule ist geschlossen.
2. b)Es schneit und die Schule ist nicht geschlossen.
3. c)Es stimmt nicht, dass es schneit und die Schule geschlossen ist.
4. d)Es schneit nicht oder die Schule ist geschlossen.
Lösung: Es schneit nicht und die Schule ist geschlossen.
$\neg P$ heißt "es schneit nicht", und $\land$ verbindet es mit *und* mit $Q$ . Die letzte Auswahl wäre $\neg(P \land Q)$ .
4.
Sei $P$ : " $4 + 4 = 8$ " und $Q$ : " $9$ ist eine gerade Zahl". Welchen Wahrheitswert hat $P \land Q$ ? Schreibe 1 für wahr und 0 für falsch.
Lösung: 0
$P = 1$ und $Q = 0$ , weil $9$ ungerade ist. $1 \land 0 = 0$ : UND braucht zwei wahre Teile.
5.
Sei $P$ : " $5 > 2$ " und $Q$ : " $6$ ist eine ungerade Zahl". Bestimme den Wahrheitswert von $P \land \neg Q$ (1 = wahr, 0 = falsch).
Lösung: 1
1. Welchen Wert hat $P$ ? 1
2. Welchen Wert hat $Q$ ? 0
3. Welchen Wert hat $\neg Q$ ? 1
4. Welchen Wert hat $P \land \neg Q$ ? 1
6.
Sei $P$ : "Mia hat eine Katze" und $Q$ : "Mia hat einen Hund". Mia hat überhaupt keine Haustiere. Bestimme den Wahrheitswert von "Mia hat weder eine Katze noch einen Hund" (1 = wahr, 0 = falsch).
Lösung: 1
1. Welchen Wert hat $P$ ? 0
2. Weder ... noch ist $\neg P \land \neg Q$ . Welchen Wert hat $\neg P$ ? 1
3. Welchen Wert hat $\neg Q$ ? 1
4. Welchen Wert hat $\neg P \land \neg Q$ ? 1
7.
Welcher Satz ist die Verneinung von "Leo spielt Gitarre und Leo singt"?
1. a)Leo spielt nicht Gitarre und Leo singt.
2. b)Es stimmt nicht, dass Leo sowohl Gitarre spielt als auch singt.
3. c)Leo spielt weder Gitarre noch singt er.
4. d)Leo spielt Gitarre, aber singt nicht.
Lösung: Es stimmt nicht, dass Leo sowohl Gitarre spielt als auch singt.
Mit $G$ : Leo spielt Gitarre und $S$ : Leo singt ist die Verneinung $\neg(G \land S)$ : Sie ist in 3 der 4 Fälle wahr, sobald mindestens eines der beiden fehlt. "Weder ... noch" ist nur in 1 Fall wahr, also ist das nicht die Verneinung.
8.
$P$ ist falsch und $Q$ ist wahr. Welchen Wahrheitswert hat $\neg(P \lor Q)$ ? Schreibe 1 für wahr und 0 für falsch.
Lösung: 0
$P \lor Q = 0 \lor 1 = 1$ , und $\neg 1 = 0$ : Die Aussage ist falsch.
9.
In wie vielen der 4 Fälle von $P$ und $Q$ ist $P \lor \neg Q$ wahr?
Lösung: 3
Fälle ( $P$ , $Q$ ): 00 ergibt $0 \lor 1 = 1$ , 01 ergibt $0 \lor 0 = 0$ , 10 ergibt $1$ , 11 ergibt $1$ . Wahr in 3 Fällen.
10.
Ana geht zur Party und Ben geht zur Party. Ist die Aussage "Ana geht oder Ben geht" in der Logik wahr?
1. a)Das lässt sich nicht entscheiden
2. b)Ja, denn ODER ist wahr, wenn mindestens ein Teil wahr ist
3. c)Nein, denn ODER bedeutet genau einer von beiden
4. d)Nein, denn beide gehen hin
Lösung: Ja, denn ODER ist wahr, wenn mindestens ein Teil wahr ist
In der Logik ist ODER einschließend: $1 \lor 1 = 1$ . Die Aussage wäre nur falsch, wenn weder Ana noch Ben hinginge.
11.
Bestimme den Wahrheitswert von $(P \land Q) \lor \neg R$ für $P = 1$ , $Q = 0$ und $R = 1$ .
Lösung: 0
1. Welchen Wert hat $P \land Q$ ? 0
2. Welchen Wert hat $\neg R$ ? 0
3. Welchen Wert hat $(P \land Q) \lor \neg R$ ? 0
12.
Sei $P$ : " $12$ ist durch $3$ teilbar" und $Q$ : " $12$ ist durch $5$ teilbar". Bestimme den Wahrheitswert von " $12$ ist durch $3$ oder durch $5$ teilbar, aber nicht durch beide", geschrieben $(P \lor Q) \land \neg(P \land Q)$ (1 = wahr, 0 = falsch).
Lösung: 1
1. Welchen Wert hat $P \lor Q$ ? 1
2. Welchen Wert hat $P \land Q$ ? 0
3. Welchen Wert hat $\neg(P \land Q)$ ? 1
4. Welchen Wert hat die ganze Aussage? 1
13.
In wie vielen der 4 Fälle von $P$ und $Q$ ist $\neg P \land Q$ wahr?
Lösung: 1
1. Wie viele Fälle gibt es für $P$ und $Q$ ? 4
2. In wie vielen Fällen ist $\neg P$ wahr? 2
3. In wie vielen dieser Fälle ist auch $Q$ wahr? 1
14.
Sei $P$ : "Es ist kalt", $Q$ : "Es ist windig", $R$ : "Es ist sonnig". Welche Symbole bedeuten "Es ist sonnig, und es ist weder kalt noch windig"?
1. a) $\neg R \land (P \lor Q)$
2. b) $R \lor \neg(P \land Q)$
3. c) $R \land \neg(P \lor Q)$
4. d) $R \land \neg P \lor Q$
Lösung: $R \land \neg(P \lor Q)$
Weder kalt noch windig heißt: Es stimmt nicht, dass es kalt oder windig ist, also $\neg(P \lor Q)$ , und das ist nur bei $P = 0$ und $Q = 0$ wahr. Mit sonnig durch *und* verbunden: $R \land \neg(P \lor Q)$ .
15.
In wie vielen der 8 Fälle von $P$ , $Q$ und $R$ ist $(P \land Q) \lor R$ wahr?
Lösung: 5
Bei $R = 1$ ist die Aussage immer wahr: 4 Fälle. Bei $R = 0$ braucht sie $P = 1$ und $Q = 1$ : 1 weiterer Fall. Insgesamt $4 + 1 = 5$ .
16.
Sei $P$ : " $2^3 = 8$ ", $Q$ : " $15$ ist eine Primzahl", $R$ : " $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ ". Bestimme den Wahrheitswert von $\neg(P \land R) \lor Q$ (1 = wahr, 0 = falsch).
Lösung: 0
1. Welchen Wert hat $P \land R$ ? 1
2. Welchen Wert hat $\neg(P \land R)$ ? 0
3. Welchen Wert hat $Q$ ? 0
4. Welchen Wert hat $\neg(P \land R) \lor Q$ ? 0
17.
In wie vielen der 8 Fälle von $P$ , $Q$ und $R$ ist $(P \lor \neg Q) \land R$ wahr?
Lösung: 3
1. Wie viele Fälle gibt es bei 3 Aussagen? 8
2. In wie vielen davon ist $R$ wahr? 4
3. In wie vielen der 4 Kombinationen von $P$ und $Q$ ist $P \lor \neg Q$ wahr? 3
4. In wie vielen Fällen ist $(P \lor \neg Q) \land R$ wahr? 3
18.
Sei $L$ : "Der Bus hat Verspätung" und $W$ : "Es regnet". Verneine $L \lor W$ und bestimme, in wie vielen der 4 Fälle die Verneinung wahr ist.
Lösung: 1
1. In wie vielen Fällen ist $L \lor W$ wahr? 3
2. Welchen Wert hat $L$ in dem Fall, in dem $L \lor W$ falsch ist? (1 = wahr, 0 = falsch) 0
3. Und welchen Wert hat $W$ in diesem Fall? 0
4. In wie vielen Fällen ist $\neg(L \lor W)$ wahr? 1