Wahrheitstabellen

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Wie viele Zeilen hat eine Wahrheitstabelle mit 3 Variablen?
1. a)9
2. b)3
3. c)8
4. d)6
Lösung: 8
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ Zeilen. 6 wäre $2 \times 3$ , dabei fehlen Kombinationen.
2.
Wie viele Zeilen braucht eine Wahrheitstabelle für $P$ und $Q$ ?
Lösung: 4
$2^2 = 4$ Zeilen: WW, WF, FW und FF.
3.
Fülle die Variablenspalten einer Wahrheitstabelle für $P$ , $Q$ und $R$ in der Standardreihenfolge aus.
Lösung: 8
1. Wie viele Zeilen braucht die Tabelle? 8
2. Spalte $P$ beginnt mit einem Block aus W. Wie viele W stehen in diesem ersten Block? 4
3. Spalte $Q$ wechselt doppelt so oft. Wie viele W stehen in ihrem ersten Block? 2
4. Wie viele W stehen im ersten Block der Spalte $R$ ? 1
4.
Welches Muster hat die letzte Spalte $R$ einer Wahrheitstabelle mit 8 Zeilen in der Standardreihenfolge?
1. a)F, F, F, F, W, W, W, W
2. b)W, W, F, F, W, W, F, F
3. c)W, F, W, F, W, F, W, F
4. d)W, W, W, W, F, F, F, F
Lösung: W, F, W, F, W, F, W, F
Die letzte Spalte wechselt in Einerblöcken: W, F, W, F, W, F, W, F. Viererblöcke gehören zu $P$ , Zweierblöcke zu $Q$ .
5.
Eine Wahrheitstabelle hat 64 Zeilen. Wie viele Variablen hat der Ausdruck?
Lösung: 6
$2^6 = 64$ , also hat der Ausdruck 6 Variablen (2, 4, 8, 16, 32, 64 sind sechs Verdopplungen).
6.
Stelle die Wahrheitstabelle für $\neg P \land Q$ auf. In welcher Zeile ist der Ausdruck wahr? Nutze die Standardreihenfolge der Zeilen (Zeile 1 ist $P$ = W, $Q$ = W).
Lösung: 3
1. Wie viele Zeilen hat die Tabelle? 4
2. In wie vielen Zeilen ist $\neg P$ wahr? 2
3. In welcher Zeile (Nummer 1 bis 4) sind $\neg P$ und $Q$ beide wahr? 3
7.
In wie vielen der 4 Zeilen der Wahrheitstabelle ist $\neg P \lor Q$ wahr?
Lösung: 3
$\neg P$ : F, F, W, W und $Q$ : W, F, W, F. ODER ergibt W, F, W, W, also ist der Ausdruck in 3 Zeilen wahr und nur falsch, wenn $P$ wahr und $Q$ falsch ist.
8.
Welcher Ausdruck ist eine Tautologie?
1. a) $P \land Q$
2. b) $P \lor \neg P$
3. c) $\neg P \lor Q$
4. d) $P \land \neg P$
Lösung: $P \lor \neg P$
$P \lor \neg P$ ist immer wahr: Eines von $P$ und $\neg P$ ist immer wahr. $P \land \neg P$ ist immer falsch, und $P \land Q$ sowie $\neg P \lor Q$ sind jeweils in mindestens einer Zeile falsch.
9.
In wie vielen der 8 Zeilen ist $P \land (Q \lor R)$ wahr?
Lösung: 3
1. In wie vielen der 8 Zeilen ist $Q \lor R$ wahr? 6
2. In wie vielen Zeilen ist $P$ wahr? 4
3. In wie vielen Zeilen sind $P$ und $Q \lor R$ beide wahr? 3
10.
In wie vielen der 8 Zeilen der Wahrheitstabelle ist $P \lor (Q \land R)$ wahr?
Lösung: 5
$P$ ist in den Zeilen 1 bis 4 wahr, das ergibt 4 wahre Zeilen. In den Zeilen 5 bis 8 ( $P$ falsch) ist $Q \land R$ nur in Zeile 5 wahr. Insgesamt: $4 + 1 = 5$ Zeilen.
11.
Prüfe mit einer Wahrheitstabelle, ob $(P \lor Q) \lor \neg Q$ eine Tautologie ist.
Lösung: 0
1. In wie vielen der 4 Zeilen ist $P \lor Q$ wahr? 3
2. In wie vielen Zeilen ist $\neg Q$ wahr? 2
3. In wie vielen Zeilen ist $(P \lor Q) \lor \neg Q$ wahr? 4
4. Wie viele Zeilen sind falsch? (0 falsche Zeilen bedeutet Tautologie) 0
12.
Welcher Ausdruck ist logisch äquivalent zu $\neg(P \lor Q)$ ?
1. a) $P \land Q$
2. b) $\neg P \lor \neg Q$
3. c) $\neg P \land \neg Q$
4. d) $\neg P \lor Q$
Lösung: $\neg P \land \neg Q$
$\neg(P \lor Q)$ : F, F, F, W. $\neg P \land \neg Q$ : F, F, F, W. Die Spalten stimmen in jeder Zeile überein (De Morgan). $\neg P \lor \neg Q$ ergibt F, W, W, W, also etwas anderes.
13.
Prüfe mit einer Wahrheitstabelle, ob $(P \land Q) \land \neg P$ ein Widerspruch ist. Nutze die Standardreihenfolge der Zeilen (Zeile 1 ist $P$ = W, $Q$ = W).
Lösung: 0
1. In welcher Zeile (Nummer 1 bis 4) ist $P \land Q$ wahr? Es gibt nur eine. 1
2. In wie vielen Zeilen ist $\neg P$ wahr? 2
3. In wie vielen Zeilen ist $(P \land Q) \land \neg P$ wahr? 0
14.
Was zeigt die Wahrheitstabelle von $(P \lor Q) \land \neg P$ ?
1. a)Er ist ein Widerspruch
2. b)Er ist äquivalent zu $P$
3. c)Keins von beiden: in genau 1 Zeile wahr
4. d)Er ist eine Tautologie
Lösung: Keins von beiden: in genau 1 Zeile wahr
$P \lor Q$ : W, W, W, F und $\neg P$ : F, F, W, W. UND ergibt F, F, W, F. Der Ausdruck ist in genau 1 Zeile wahr (Zeile 3), also weder Tautologie noch Widerspruch, und er ist nicht äquivalent zu $P$ (W, W, F, F).
15.
In wie vielen der 4 Zeilen ist $(P \land \neg Q) \lor (\neg P \land Q)$ wahr?
Lösung: 2
$P \land \neg Q$ ist nur in Zeile 2 (W, F) wahr und $\neg P \land Q$ nur in Zeile 3 (F, W). ODER ergibt F, W, W, F: 2 wahre Zeilen. Der Ausdruck ist genau dann wahr, wenn $P$ und $Q$ verschieden sind.
16.
Prüfe mit einer Wahrheitstabelle, ob $P \land (Q \lor R)$ und $(P \land Q) \lor (P \land R)$ äquivalent sind.
Lösung: 0
1. Wie viele Zeilen hat die Tabelle? 8
2. In wie vielen Zeilen ist $P \land (Q \lor R)$ wahr? 3
3. In wie vielen Zeilen ist $(P \land Q) \lor (P \land R)$ wahr? 3
4. In wie vielen Zeilen unterscheiden sich die beiden Ergebnisspalten? 0
17.
Ein Schüler behauptet, dass $\neg(P \land Q)$ äquivalent zu $\neg P \land \neg Q$ ist. Prüfe das mit einer Wahrheitstabelle. Nutze die Standardreihenfolge der Zeilen (Zeile 1 ist $P$ = W, $Q$ = W).
Lösung: 2
1. In wie vielen der 4 Zeilen ist $\neg(P \land Q)$ wahr? 3
2. In wie vielen Zeilen ist $\neg P \land \neg Q$ wahr? 1
3. In wie vielen Zeilen unterscheiden sich die beiden Ergebnisspalten? 2
4. Welche Nummer hat die erste Zeile, in der sie sich unterscheiden? 2
18.
Stelle die Wahrheitstabelle für $\neg P \lor (Q \land \neg R)$ auf. In wie vielen der 8 Zeilen ist der Ausdruck wahr?
Lösung: 5
1. In wie vielen der 8 Zeilen ist $\neg P$ wahr? 4
2. In wie vielen Zeilen ist $Q \land \neg R$ wahr? 2
3. In wie vielen Zeilen ist $\neg P \lor (Q \land \neg R)$ wahr? 5
4. Wie viele Zeilen sind falsch? 3