Umkehrung und Inversion

Schreibe bei jeder Aufgabe deinen Lösungsweg auf.

1.
Was ist die Umkehrung der Implikation $p \to q$ ?
1. a) $q \to p$
2. b) $\neg q \to \neg p$
3. c) $p \to \neg q$
4. d) $\neg p \to \neg q$
Lösung: $q \to p$
Die Umkehrung vertauscht die beiden Teile: $q \to p$ . Die Aussage $\neg p \to \neg q$ ist die Inversion, und $\neg q \to \neg p$ ist die Kontraposition, die du in der nächsten Lektion kennenlernst.
2.
Die Aussage Wenn $x = 5$ , dann $x^2 = 25$ ist wahr. Ihre Umkehrung, Wenn $x^2 = 25$ , dann $x = 5$ , ist falsch. Welche negative Zahl ist ein Gegenbeispiel zur Umkehrung?
Lösung: -5
$(-5)^2 = 25$ , also ist $x^2 = 25$ für $x = -5$ wahr, aber $x = 5$ ist falsch. Ein Gegenbeispiel zeigt, dass die Umkehrung falsch ist.
3.
Original: Wenn $x = 2$ , dann $3x = 6$ . Ist die Umkehrung, Wenn $3x = 6$ , dann $x = 2$ , auch wahr? Arbeite Schritt für Schritt.
Lösung: 1
1. Prüfe das Original: Was ist $3 \times 2$ ? 6
2. Löse $3x = 6$ . Was ist $x$ ? 2
3. Wie viele Werte von $x$ lösen $3x = 6$ ? 1
4.
Was ist die Inversion von: Wenn eine Figur ein Quadrat ist, dann ist sie ein Rechteck?
1. a)Wenn eine Figur kein Rechteck ist, dann ist sie kein Quadrat
2. b)Wenn eine Figur ein Rechteck ist, dann ist sie ein Quadrat
3. c)Wenn eine Figur kein Quadrat ist, dann ist sie kein Rechteck
4. d)Wenn eine Figur ein Quadrat ist, dann ist sie kein Rechteck
Lösung: Wenn eine Figur kein Quadrat ist, dann ist sie kein Rechteck
Die Inversion verneint beide Teile und behält die Reihenfolge: Wenn eine Figur kein Quadrat ist, dann ist sie kein Rechteck. Sie ist falsch: Ein Rechteck mit 5 cm mal 3 cm ist kein Quadrat, aber ein Rechteck.
5.
Umkehrung: Wenn eine Zahl gerade ist, dann ist sie durch 4 teilbar. Welche gerade Zahl zwischen 5 und 7 zeigt, dass diese Umkehrung falsch ist?
Lösung: 6
6 ist gerade, aber $6 \div 4 = 1{,}5$ , also ist 6 nicht durch 4 teilbar. Die Voraussetzung ist wahr und die Folgerung falsch, also ist 6 ein Gegenbeispiel.
6.
Original: Wenn $x = 6$ , dann $x^2 = 36$ . Finde ein Gegenbeispiel zur Umkehrung, Wenn $x^2 = 36$ , dann $x = 6$ .
Lösung: -6
1. Was ist $6^2$ ? 36
2. Was ist $(-6)^2$ ? 36
3. Für welchen Wert von $x$ gilt $x^2 = 36$ , aber $x \neq 6$ ? -6
7.
Original: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 10 ist, dann ist sie ein Vielfaches von 5. Ist die Umkehrung wahr oder falsch?
1. a)Falsch, weil 20 ein Vielfaches von 10 ist
2. b)Wahr, weil das Original wahr ist
3. c)Wahr, weil jedes Vielfache von 5 ein Vielfaches von 10 ist
4. d)Falsch, weil 15 ein Vielfaches von 5 ist, aber nicht von 10
Lösung: Falsch, weil 15 ein Vielfaches von 5 ist, aber nicht von 10
Die Umkehrung lautet: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 5 ist, dann ist sie ein Vielfaches von 10. 15 ist ein Vielfaches von 5, aber $15 \div 10 = 1{,}5$ , also ist die Umkehrung falsch. Dass das Original wahr ist, sagt nichts über die Umkehrung.
8.
Original: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 9 ist, dann ist sie ein Vielfaches von 3. Ihre Umkehrung ist falsch. Was ist das kleinste zweistellige Vielfache von 3, das kein Vielfaches von 9 ist?
Lösung: 12
Die zweistelligen Vielfachen von 3 beginnen mit 12, 15, 18. Da $12 \div 9$ keine ganze Zahl ist, ist 12 ein Vielfaches von 3, aber nicht von 9. Es widerlegt die Umkehrung, Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 3 ist, dann ist sie ein Vielfaches von 9.
9.
Original: Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, dann ist sie durch 2 teilbar. Teste die Inversion, Wenn eine Zahl nicht durch 4 teilbar ist, dann ist sie nicht durch 2 teilbar, mit der Zahl 10.
Lösung: 1
1. Welcher Rest bleibt, wenn man 10 durch 4 teilt? 2
2. Was ist $10 \div 2$ ? 5
3. 10 ist nicht durch 4, aber durch 2 teilbar. Wie viele Gegenbeispiele brauchst du, um zu zeigen, dass die Inversion falsch ist? 1
10.
Die Umkehrung einer Wenn-dann-Aussage ist falsch. Was kannst du über ihre Inversion sagen?
1. a)Sie ist wahr
2. b)Sie kann wahr oder falsch sein
3. c)Sie ist falsch
4. d)Sie ist dasselbe wie das Original
Lösung: Sie ist falsch
Umkehrung und Inversion haben immer denselben Wahrheitswert: Ihre Spalten in der Wahrheitstabelle sind gleich. Wenn die Umkehrung falsch ist, ist also auch die Inversion falsch.
11.
In wie vielen der vier Zeilen der Wahrheitstabelle haben $p \to q$ und ihre Umkehrung $q \to p$ verschiedene Wahrheitswerte?
Lösung: 2
$p \to q$ ist nur in der Zeile falsch, in der $p$ wahr und $q$ falsch ist. $q \to p$ ist nur in der Zeile falsch, in der $p$ falsch und $q$ wahr ist. In diesen 2 Zeilen unterscheiden sich die Werte, in den anderen 2 Zeilen sind beide wahr.
12.
Bestimme den Wert der Umkehrung $q \to p$ in der Zeile, in der $p$ falsch und $q$ wahr ist. Schreibe 1 für wahr und 0 für falsch.
Lösung: 0
1. Welchen Wert hat $q$ in dieser Zeile (1 oder 0)? 1
2. Welchen Wert hat $p$ in dieser Zeile (1 oder 0)? 0
3. Eine Wenn-dann-Aussage ist nur falsch, wenn die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch ist. Was ist hier $q \to p$ (1 oder 0)? 0
13.
Original: Wenn $x > 5$ , dann $x > 3$ . Prüfe die Umkehrung, Wenn $x > 3$ , dann $x > 5$ , mit ganzen Zahlen.
Lösung: 2
1. Was ist die kleinste ganze Zahl größer als 3? 4
2. Ist $4 > 5$ ? Schreibe 1 für ja und 0 für nein. 0
3. Wie viele ganze Zahlen sind größer als 3, aber nicht größer als 5? 2
14.
Welche Aussage lässt sich als wahre Äquivalenz (genau dann, wenn) schreiben?
1. a)Wenn $x = 4$ , dann $x^2 = 16$
2. b)Wenn eine Figur ein Quadrat ist, dann hat sie vier Seiten
3. c)Wenn ein Dreieck einen Winkel von $90^\circ$ hat, dann ist es rechtwinklig
4. d)Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 4 ist, dann ist sie gerade
Lösung: Wenn ein Dreieck einen Winkel von $90^\circ$ hat, dann ist es rechtwinklig
Nur die Aussage über das rechtwinklige Dreieck gilt in beide Richtungen, denn sie ist die Definition des rechtwinkligen Dreiecks. Die anderen haben falsche Umkehrungen: $x = -4$ ergibt $x^2 = 16$ , 6 ist gerade, aber kein Vielfaches von 4, und ein Rechteck mit 5 cm mal 3 cm hat vier Seiten, ist aber kein Quadrat.
15.
Original: Wenn $x > 4$ , dann $x^2 > 16$ . Die Umkehrung lautet: Wenn $x^2 > 16$ , dann $x > 4$ . Finde das ganzzahlige Gegenbeispiel zur Umkehrung, das am nächsten an null liegt.
Lösung: -5
Ein Gegenbeispiel braucht $x^2 > 16$ und $x \le 4$ . Für $x = -4$ ist $(-4)^2 = 16$ , also nicht größer als 16. Für $x = -5$ ist $(-5)^2 = 25 > 16$ , aber $-5$ ist nicht größer als 4. Also ist $-5$ das Gegenbeispiel, das am nächsten an null liegt.
16.
Original: Wenn eine Zahl ein Vielfaches von 3 ist, dann ist sie ein Vielfaches von 6. Zeige, dass das Original falsch, die Umkehrung aber wahr ist.
Lösung: 2
1. Welcher Rest bleibt, wenn man 9 durch 6 teilt? 3
2. 12 ist ein Vielfaches von 6. Was ist $12 \div 3$ ? 4
3. Jedes Vielfache von 6 lässt sich als $6k = 3 \times 2k$ schreiben. Was ist $6 \div 3$ ? 2
17.
Vergleiche die Umkehrung $q \to p$ und die Inversion $\neg p \to \neg q$ in der Wahrheitstabelle. Schreibe 1 für wahr und 0 für falsch.
Lösung: 4
1. Zeile $p = 1$ , $q = 0$ : Was ist $q \to p$ , also $0 \to 1$ ? 1
2. Gleiche Zeile: $\neg p = 0$ und $\neg q = 1$ . Was ist $\neg p \to \neg q$ , also $0 \to 1$ ? 1
3. Zeile $p = 0$ , $q = 1$ : Was ist $q \to p$ , also $1 \to 0$ ? 0
4. Gleiche Zeile: $\neg p = 1$ und $\neg q = 0$ . Was ist $\neg p \to \neg q$ , also $1 \to 0$ ? 0
5. In den Zeilen $p = q = 1$ und $p = q = 0$ sind beide 1. In wie vielen der 4 Zeilen haben Umkehrung und Inversion denselben Wert? 4
18.
Ist die Äquivalenz $x^2 = 4x$ genau dann, wenn $x = 4$ wahr? Prüfe beide Richtungen.
Lösung: 0
1. Richtung Wenn $x = 4$ , dann $x^2 = 4x$ : Was ist $4^2$ ? 16
2. Was ist $4 \times 4$ , also der Wert von $4x$ für $x = 4$ ? 16
3. Richtung Wenn $x^2 = 4x$ , dann $x = 4$ : Welche andere Zahl löst $x^2 = 4x$ ? 0