Leitfaden für Lehrer: Wenn-dann-Aussagen

Lerne, Aussagen in die Wenn-dann-Form zu bringen, Voraussetzung und Folgerung zu erkennen und zu entscheiden, wann eine Wenn-dann-Aussage falsch ist.

Lektion präsentierenSchülerseite anzeigen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Kostenlos, keine Schülerkonten nötig.

Mit Schülern teilen

Die Schüler öffnen die Lektion und üben mit sofortigem Feedback.

Arbeitsblatt zum Drucken

Alle Übungsaufgaben auf Papier, mit separatem Lösungsblatt.

Arbeitsblatt Lösungen

Klassenquiz

10 Fragen zu Logisches Denken. Die Schüler machen mit einem Namen mit, du siehst alle Ergebnisse.

Für Lehrer

Lernziele

Voraussetzung und Folgerung einer Wenn-dann-Aussage erkennen
Alltagssätze und mathematische Sätze in Wenn-dann-Form und in der Schreibweise p → q formulieren
Den Wahrheitswert einer Implikation aus den Wahrheitswerten ihrer Teile bestimmen
Ein Gegenbeispiel finden, um zu zeigen, dass eine Wenn-dann-Aussage falsch ist
Erklären, warum Beispiele allein eine Wenn-dann-Aussage nicht beweisen können

Voraussetzungen

• Einführung in das logische Denken: Aussagen und ihre Wahrheitswerte
• Deduktives Denken: mit einer Regel (Prämisse) zu einer Schlussfolgerung kommen
• Zahlen mit <, > und ≥ vergleichen und Grundrechenarten

Diskussionsstarter

1. Deine Mutter sagt: "Wenn du dein Zimmer aufräumst, dann darfst du rausgehen." Du hast nicht aufgeräumt, durftest aber trotzdem raus. Hat sie gelogen?
2. Finde eine Regel aus der Schule oder einem Spiel. Kannst du sie als Wenn-dann-Aussage schreiben?
3. Warum reicht ein Gegenbeispiel, um eine Behauptung zu widerlegen, aber hundert gute Beispiele reichen nicht, um sie zu beweisen?
4. "Alle Katzen sind Tiere" und "Wenn etwas eine Katze ist, dann ist es ein Tier": Ist das dieselbe Aussage?
5. Fällt dir eine wahre Aussage ein, die falsch wird, wenn du den Wenn-Teil und den Dann-Teil vertauschst?

Häufige Missverständnisse

Eine Implikation mit falscher Voraussetzung ist falsch (oder "nicht entscheidbar")

Abhilfe: Nutze das Versprechen-Modell: "Wenn du mindestens 80 Punkte hast, bekommst du einen Sticker." Frage, ob die Lehrerin ihr Versprechen bricht, wenn ein Kind mit 70 Punkten trotzdem einen Sticker bekommt. Lass die Lernenden dann die F-Zeilen in der interaktiven Wahrheitstabelle prüfen.

"Wenn $p$ , dann $q$ " bedeutet auch "wenn $q$ , dann $p$ "

Abhilfe: Gib das Paar "wenn eine Figur ein Quadrat ist, dann ist sie ein Rechteck" und die vertauschte Version und lass die Lernenden ein Gegenbeispiel zur vertauschten zeichnen. Sag ihnen, dass diese Idee in der nächsten Lektion, Umkehrung und Inversion, genauer untersucht wird.

Ein paar passende Beispiele beweisen eine Aussage

Abhilfe: Prüft gemeinsam $2^n + 1$ für $n = 1, 2, 3$ oder $n^2 + n + 1$ für $n = 2, 3, 4$ . Das Muster bricht bei $n = 3$ bzw. $n = 4$ , und das zeigt, warum Mathematiker einen Beweis verlangen.

Differenzierungsideen

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

• Satzbausteine anbieten: "Wenn ___, dann ___." und die Voraussetzung in einer Farbe, die Folgerung in einer anderen unterstreichen lassen
• Mit Alltagsregeln (Spiele, Schule) beginnen, bevor mathematische Aussagen kommen
• Die Sticker-Tabelle mit vier Kindern nutzen, damit der Fall W → F greifbar wird

Für Schüler auf Niveau:

• Sätze mit "jedes", "alle" und "sobald" in Wenn-dann-Form und in die Schreibweise p → q bringen
• Entscheiden, ob Zahlenbehauptungen wahr sind, und für die falschen Gegenbeispiele angeben
• Die Wahrheitstabelle für p → q im Quizmodus ohne Hilfe ausfüllen

Für fortgeschrittene Schüler:

• Das kleinste Gegenbeispiel zu Behauptungen wie " $n^2 + n + 1$ ist immer eine Primzahl" finden
• Das Kartenrätsel untersuchen: Welche Karten musst du umdrehen, um eine Wenn-dann-Regel zu prüfen?
• Eine wahre Implikation schreiben, deren vertauschte Version falsch ist, als Vorschau auf die Umkehrung

Standardausrichtung

MP3 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP3)
Tragfähige Argumente aufbauen und die Argumentation anderer kritisch beurteilen
MP6 (CCSS.MATH.PRACTICE.MP6)
Auf Genauigkeit achten

Lektionsressourcen

visualInteraktive Wahrheitstabelle
Die Lernenden wählen den Operator →, sehen die einzige falsche Zeile aufleuchten und füllen die Tafel danach im Quizmodus selbst aus
activityGebrochene Versprechen
In Paaren schreiben die Lernenden Klassenregeln als Wenn-dann-Aussagen und spielen die vier Fälle durch, um herauszufinden, welcher die Regel bricht
worksheetGegenbeispiel-Jagd
Eine Liste von Zahlenbehauptungen; die Lernenden markieren jede als wahr oder geben das kleinste Gegenbeispiel an

Lektionsinhalt

Alles, was die Schüler sehen: Definition, Beispiele, typische Fehler, Anwendungen. Zum Öffnen tippen.

Definition

Eine Wenn-dann-Aussage, auch Implikation oder Konditional genannt, verbindet zwei Aussagen mit den Wörtern wenn und dann:

\text{Wenn } p\text{, dann } q.

Der Teil nach "wenn" ist die Voraussetzung ( $p$ ), die Bedingung.
Der Teil nach "dann" ist die Folgerung ( $q$ ), das, was folgen muss.

In Symbolen schreiben wir

p \to q

und lesen "wenn

p

, dann

q

" oder "aus

p

folgt

q

Beispiel: Wenn eine Zahl auf 0 endet, dann ist sie durch 10 teilbar.

Voraussetzung $p$ : eine Zahl endet auf 0
Folgerung $q$ : die Zahl ist durch 10 teilbar

Stell dir eine Wenn-dann-Aussage als Versprechen vor. Das Versprechen ist nur gebrochen, wenn die Voraussetzung eintritt und die Folgerung nicht. Also ist

p \to q

in genau einem Fall falsch:

p

ist wahr und

q

ist falsch. In allen anderen Fällen ist sie wahr.

$p$	$q$	$p \to q$
W	W	W
W	F	F
F	W	W
F	F	W

Die interaktive Wahrheitstabelle in dieser Lektion zeigt dieselben vier Zeilen in umgekehrter Reihenfolge, beginnend mit F, F. Beide Reihenfolgen sind richtig.

Ein Fall, in dem die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch ist, heißt Gegenbeispiel. Ein einziges Gegenbeispiel reicht, um zu zeigen, dass eine Wenn-dann-Aussage falsch ist.

Lösungsbeispiele

Bestimme Voraussetzung und Folgerung: "Wenn ein Dreieck einen rechten Winkel hat, dann ist es ein rechtwinkliges Dreieck."

Finde den Teil nach "wenn"

"ein Dreieck hat einen rechten Winkel" → Voraussetzung $p$ : ein Dreieck hat einen rechten Winkel

Finde den Teil nach "dann"

"es ist ein rechtwinkliges Dreieck" → Folgerung $q$ : das Dreieck ist rechtwinklig

Schreibe es in Symbolen

Die Bedingung steht zuerst, das Ergebnis danach → $p \to q$

Antwort: Voraussetzung: ein Dreieck hat einen rechten Winkel. Folgerung: es ist ein rechtwinkliges Dreieck. In Symbolen: $p \to q$ .

Häufige Fehler

Den ersten Teil des Satzes für die Voraussetzung halten, etwa bei "Ich nehme einen Regenschirm mit, wenn es regnet" → Voraussetzung "ich nehme einen Regenschirm mit"

Warum es falsch ist: Die Voraussetzung ist der Teil nach dem Wort "wenn" (oder "falls", "sobald"), egal wo er im Satz steht.

Richtig: Suche zuerst die Bedingung: "es regnet". Dann schreibe: Wenn es regnet, dann nehme ich einen Regenschirm mit.

Glauben, dass $p \to q$ immer falsch ist, wenn die Voraussetzung falsch ist

Warum es falsch ist: Eine Implikation verspricht nur etwas für den Fall, dass $p$ eintritt. Tritt $p$ nicht ein, kann das Versprechen nicht gebrochen werden.

Richtig: $p \to q$ ist nur im Fall W → F falsch. Wenn $p$ falsch ist, ist die Implikation wahr, egal was $q$ ist.

Eine Zahl als Gegenbeispiel benutzen, die die Voraussetzung nicht erfüllt, zum Beispiel $x = 0$ gegen "wenn $x > 3$ , dann $x > 1$ "

Warum es falsch ist: Für $x = 0$ ist die Folgerung $x > 1$ falsch, aber auch die Voraussetzung $x > 3$ ist falsch, also kann dieser Fall die Aussage nicht widerlegen.

Richtig: Ein Gegenbeispiel muss die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch machen. Für "wenn $x > 3$ , dann $x > 1$ " gibt es keine solche Zahl, die Aussage ist also wahr.

Glauben, dass ein passendes Beispiel die Aussage beweist

Warum es falsch ist: "Wenn $n$ eine natürliche Zahl ist, dann ist $2^n + 1$ eine Primzahl" stimmt für $n = 1$ ( $3$ ) und $n = 2$ ( $5$ ), aber $n = 3$ ergibt $9$ , und das ist keine Primzahl.

Richtig: Beispiele können eine Aussage nur stützen. Zum Beweisen brauchst du ein allgemeines Argument, zum Widerlegen reicht aber ein einziges Gegenbeispiel.

Warum es wichtig ist

Wenn-dann-Aussagen sind überall, oft versteckt in ganz normalen Sätzen:

Einkaufen: "Wenn deine Bestellung mindestens 40 € beträgt, dann ist der Versand kostenlos."
Regeln und Spiele: "Wenn du eine 6 würfelst, dann darfst du noch einmal würfeln."
Naturwissenschaften: "Wenn Wasser auf Meereshöhe auf 100 °C erhitzt wird, dann kocht es."
Programmieren: Jede App steckt voller Befehle wie "wenn das Passwort stimmt, dann öffne das Konto".
Mathematik: Fast jede Regel und jeder Satz ist eine Implikation, zum Beispiel "wenn ein Dreieck einen rechten Winkel hat, dann gilt $a^2 + b^2 = c^2$ " (wobei $c$ die längste Seite ist).

In der Lektion Deduktives Denken hast du Wenn-dann-Regeln als Prämissen benutzt. Jetzt lernst du, wie sie aufgebaut sind, wie du sie selbst formulierst und wie du sie überprüfst. Das ist der Ausgangspunkt für Umkehrung, Inversion und Kontraposition, die als Nächstes in den Lektionen Umkehrung und Inversion und Kontraposition kommen.

Anwendungen im echten Leben

Online einkaufen

Shops nutzen Wenn-dann-Regeln für kostenlosen Versand, Rabatte und Geschenke. Um das Angebot zu nutzen, musst du die Voraussetzung wahr machen.

Beispiel:

"Wenn deine Bestellung mindestens 40 € beträgt, dann ist der Versand kostenlos." Bei einer Bestellung von 52 € ist die Voraussetzung wahr, also muss der Versand kostenlos sein.

1Probiere es selbst

Ein Shop verspricht: Wenn deine Bestellung mindestens 40 € beträgt, dann ist der Versand kostenlos. In deinem Warenkorb liegen ein T-Shirt für 18 € und eine Mütze für 15 €.

Wie viele Euro musst du noch ausgeben, damit die Voraussetzung wahr wird?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Ziehe deine Summe von 40 ab:

Behauptungen in der Mathematik prüfen

Mathematikerinnen und Mathematiker prüfen eine Implikation, indem sie nach einem Gegenbeispiel suchen. Finden sie eines, ist die Behauptung falsch.

Beispiel:

"Wenn eine Zahl eine Primzahl ist, dann ist sie ungerade" ist falsch, denn 2 ist eine Primzahl und gerade.

2Probiere es selbst

Ein Mitschüler behauptet: Wenn eine natürliche Zahl ein Vielfaches von 3 ist, dann ist sie ungerade.

Was ist das kleinste positive Gegenbeispiel?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Die Vielfachen von 3 sind 3, 3 + 3, 3 + 3 + 3, ... Schreibe das zweite:

Smart Home und Programmieren

Ein Thermostat arbeitet mit einer Implikation: Wenn der Raum kälter als ein eingestellter Wert ist, dann schaltet sich die Heizung ein.

Beispiel:

"Wenn die Temperatur unter 18 °C liegt, dann schaltet sich die Heizung ein." Bei 17 °C ist die Voraussetzung wahr, also muss die Heizung angehen. Bei 20 °C wird nichts versprochen.

3Probiere es selbst

Die Regel lautet: Wenn die Temperatur unter 18 °C liegt, dann schaltet sich die Heizung ein. Um 7:00 Uhr hat der Raum 22 °C und kühlt jede Stunde um 3 °C ab.

Wie warm ist es nach 2 Stunden, und läuft die Heizung?

Schritt 1: Schreibe den mathematischen Ausdruck

Beginne bei 22 und ziehe zweimal 3 ab:

Wichtige Erkenntnisse

1Eine Wenn-dann-Aussage hat die Form "wenn $p$ , dann $q$ ", geschrieben $p \to q$
2Die Voraussetzung $p$ ist die Bedingung nach "wenn"; die Folgerung $q$ ist das Ergebnis nach "dann"
3Viele Sätze verstecken eine Implikation: "jedes A ist B" bedeutet "wenn etwas ein A ist, dann ist es ein B"
4 $p \to q$ ist nur falsch, wenn $p$ wahr und $q$ falsch ist (W → F); in den anderen drei Fällen ist sie wahr
5Ein Gegenbeispiel macht die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch, und eines reicht, um eine Aussage zu widerlegen
6Passende Beispiele stützen eine Aussage, aber sie beweisen sie nicht

Häufig gestellte Fragen

Warum ist "wenn $p$ , dann $q$ " wahr, wenn $p$ falsch ist?

Weil die Aussage nur ein Versprechen für den Fall macht, dass

p

eintritt. Wenn du sagst "wenn es regnet, nehme ich einen Regenschirm mit" und es regnet nicht, hast du dein Wort nicht gebrochen, egal was du tust.

Muss das Wort "dann" immer dastehen?

Nein. "Wenn es regnet, bleibe ich zu Hause", "Ich bleibe zu Hause, falls es regnet" und "Regen bedeutet, dass ich zu Hause bleibe" sind alle dieselbe Implikation. Mit "wenn" und "dann" geschrieben sieht man Voraussetzung und Folgerung nur leichter.

Wie viele Gegenbeispiele brauche ich, um zu zeigen, dass eine Aussage falsch ist?

Nur eines. Eine Implikation behauptet, dass die Folgerung jedes Mal gilt, wenn die Voraussetzung wahr ist. Ein einziger Fall mit W → F reicht also, um sie zu widerlegen.

Was passiert, wenn ich Voraussetzung und Folgerung vertausche?

Du bekommst eine neue Aussage, die einen anderen Wahrheitswert haben kann. "Wenn eine Figur ein Quadrat ist, dann ist sie ein Rechteck" ist wahr, aber "wenn eine Figur ein Rechteck ist, dann ist sie ein Quadrat" ist falsch. Das Vertauschen und Verneinen der Teile ist Thema der nächsten Lektionen, Umkehrung und Inversion und Kontraposition.

Glossar

Wenn-dann-Aussage: Eine Aussage der Form "wenn $p$ , dann $q$ ", auch Implikation oder Konditional genannt
Voraussetzung: Die Bedingung einer Implikation, der Teil nach "wenn" ( $p$ )
Folgerung: Das Ergebnis einer Implikation, der Teil nach "dann" ( $q$ )
Implikation: Ein anderer Name für eine Wenn-dann-Aussage; $p \to q$ liest man "aus $p$ folgt $q$ "
Gegenbeispiel: Ein Fall, in dem die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch ist; er zeigt, dass eine Implikation falsch ist
Wahrheitswert: Ob eine Aussage wahr (W) oder falsch (F) ist

Formelkarte

Implikation

p \to q

Lies "wenn $p$, dann $q$": $p$ ist die Voraussetzung, $q$ die Folgerung

Einziger falscher Fall

W \to F = F

Eine Implikation ist nur falsch, wenn die Voraussetzung wahr und die Folgerung falsch ist

Gegenbeispiel

p \text{ wahr und } q \text{ falsch}

Ein solcher Fall reicht, um $p \to q$ zu widerlegen

Mehr zu diesem Thema

Leitfaden für Lehrer: Wenn-dann-Aussagen

Diese Lektion im Unterricht nutzen

Für Lehrer

Für Schüler mit Schwierigkeiten:

Für Schüler auf Niveau:

Für fortgeschrittene Schüler:

Lektionsinhalt

Definition

Lösungsbeispiele

Häufige Fehler

Warum es wichtig ist

Anwendungen im echten Leben

Online einkaufen

Behauptungen in der Mathematik prüfen

Smart Home und Programmieren

Wichtige Erkenntnisse

Häufig gestellte Fragen

Glossar

Formelkarte

Implikation

Einziger falscher Fall

Gegenbeispiel

Mehr zu diesem Thema

Einführung in das logische Denken

Deduktives Denken

Umkehrung und Inversion

Kontraposition